임의 차원의 해밀턴 시스템에 대한 선형 안정성 조합: 소개

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• GIT 시퀀스: 임의의 차원
• 부록 A. 안정성, Krein-Moser 정리, 개선 사항 및 참고 자료

1. 소개

주기 궤도의 안정성은 천체 역학에서 태양계의 안정성 문제로 돌아가는 해밀턴 시스템 연구의 중심 주제입니다. ODE 연구에서 어디에나 존재하는 안정성의 개념은 가족의 궤도와 분기점을 연구할 때마다 발생하며, 이는 이론적 및 실제적 관심을 모두 수반합니다. 예를 들어, 우주 임무 설계의 관점에서 볼 때, 목표 달 주위에 우주선을 주차하는 데 사용되는 궤도는 연료 수정 및 스테이션 유지를 최소화하기 위해 최대한 안정적이어야 합니다. 수학적 관점에서 시스템 안정성의 핵심 개념은 다음과 같은 의미와 관련하여 세 가지 형태로 나타납니다.

비선형(Lyapunov) 안정성 ⇒ 선형 안정성 ⇒ 스펙트럼 안정성.

대략적으로 말하면 비선형 안정성은 주어진 주기 궤도 근처에서 시작하는 궤도가 항상 궤도 근처에 유지된다는 것을 의미합니다. 선형 안정성은 선형화된 역학에 대한 원점의 안정성에 해당합니다. 즉, 선형화된 시스템의 궤도는 경계를 유지해야 합니다. 해밀턴 시스템의 경우 이는 해당 궤도의 모노드로미 행렬의 고유값이 단위원에 있어야 하며 반단순해야 함을 의미합니다. 반면, 스펙트럼 안정성은 고유값이 모두 단위원에 있어야 하지만 다중성을 가질 수 있도록 허용합니다(따라서 궤도는 지수적 시간이 아닌 다항식 시간으로 무한대로 벗어날 수 있습니다). 본 논문에서는 선형 안정성의 개념에 중점을 둘 것입니다.

대칭이 있는 경우 대칭에 의해 보존되는 주기 궤도의 선형 안정성에 대한 연구가 크게 개선될 수 있습니다. 이러한 목적을 염두에 두고 제1저자와 Urs Frauenfelder는 [FM]에서 B-서명 개념을 통해 Broucke 안정성 다이어그램[Br69]을 개선한 GIT 시퀀스 개념을 도입했습니다. GIT 시퀀스는 세 개의 공간과 그 사이의 맵으로 구성되며, 그 토폴로지는 주기 궤도의 안정성과 분기점 및 고유값 구성을 인코딩하고 정규 궤도 원통의 존재를 방해합니다. 저차원에서는 공간을 평면이나 3차원 공간으로 시각화할 수 있으므로 수치 작업이 용이합니다. GIT 시퀀스는 선형 안정성을 연구하도록 설계되었지만 스펙트럼 안정성과의 구별이 모호하다는 점에 유의해야 합니다.

실제로, Krein-Moser 정리는 Kerin 분기가 발생할 수 있는 시기에 대한 기준을 제공한다는 점을 기억하십시오(즉, 단극 행렬의 두 타원 고유값이 함께 모인 다음 원에서 분기됩니다). 우리의 개선은 두 개의 쌍곡선 고유값이 다중도 2의 쌍곡선 고유값에서 합쳐진 다음 복잡해지는 상황에 대해 유사한 기준을 제공합니다. 그러나 대칭 궤도의 경우입니다. 우리는 그러한 전이를 HN 전이라고 부르고, 다중도 고유값을 대중교통 고유값이라고 부릅니다. 그러한 전이가 발생할 수 있는지 여부는 통과 고유값의 B-서명에 의해 완전히 결정됩니다. 즉, 다음과 같은 결과는 교감군에 대한 위상학적 연구의 결과이다.

정리 A. 대칭을 인정하면서 임의의 자유도를 갖는 해밀턴을 고려하십시오. t 7→ γt , t ∈ [0, 1]이 HN -전이를 겪는 대칭 주기 궤도 계열이라고 가정합니다. 그러면 대중교통 고유값의 B-서명은 무한합니다.

B-서명에 대한 정의는 섹션 3에 제공되며 이 정리의 증명은 부록 A에서 얻습니다.

감사의 말씀 . 저자들은 이 논문에 영감을 준 Urs Frauenfelder에게 감사를 표합니다. A. Moreno는 현재 DFG(Projektnummer 281071066 – TRR 191)가 자금을 지원하는 기하학, 대수학 및 역학의 Sonderforschungsbereich TRR 191 대칭 구조와 독일의 Excellence Strategy EXC 2181/1 - 390900948(하이델베르그)에 따라 DFG의 지원을 받고 있습니다. 구조 우수 클러스터).