任意次元のハミルトン系の線形安定性の組合せ論：序論

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• 付録A. 安定性、クライン・モーザー定理、改良点と参考文献

1. はじめに

周期軌道の安定性は、ハミルトン系の研究における中心的なテーマであり、天体力学における太陽系の安定性の問題に遡ります。常微分方程式の研究で広く見られる安定性の概念は、軌道族とその分岐を研究する際に必ず生じ、理論的にも実際的にも関心を惹く実践です。たとえば、宇宙ミッションの設計の観点からは、燃料補正と軌道維持を最小限に抑えるために、目標の月の周りに宇宙船を駐機させるために使用される軌道は、可能な限り安定している必要があります。数学的観点からは、システムの安定性の主要な概念は 3 種類あり、次の意味合いで関連しています。

非線形（リャプノフ）安定性 ⇒ 線形安定性 ⇒ スペクトル安定性。

非線形安定性とは、大まかに言えば、与えられた周期軌道の近くで始まる軌道が、常にその軌道の近くに留まることを意味します。線形安定性は、線形化されたダイナミクスの原点の安定性に対応します。つまり、線形化されたシステムの軌道は有界のままである必要があります。ハミルトン システムの場合、これは、対応する軌道のモノドロミー マトリックスの固有値が単位円内にあり、半単純である必要があることを意味します。一方、スペクトル安定性では、固有値がすべて単位円内にある必要がありますが、固有値が重複していてもかまいません (軌道が指数時間ではなく多項式時間で無限に逃げることができるように)。この論文では、線形安定性の概念に焦点を当てます。

対称性が存在する場合、対称性によって保存される周期軌道の線形安定性の研究は大幅に洗練される。この目的を念頭に、第一著者と Urs Frauenfelder は [FM] で、B-signature の概念を介して Broucke 安定性図 [Br69] を洗練したものとして GIT シーケンスの概念を導入した。GIT シーケンスは、3 つの空間のシーケンスとそれらの間のマップで構成され、そのトポロジーは周期軌道の安定性と分岐、およびそれらの固有値構成をエンコードし、軌道の規則的な円筒の存在に対する障害を提供します。低次元では、空間は平面または 3 次元空間で視覚化できるため、数値作業に適しています。GIT シーケンスは線形安定性を研究するために設計されていますが、スペクトル安定性との区別が曖昧になっていることに注意してください。

実際、クライン・モーザー定理は、クライン分岐（モノドロミー行列の 2 つの楕円固有値が一緒になって円から分岐する）が発生する可能性がある場合の基準を与えることを思い出してください。私たちの改良は、対称軌道の場合を除いて、2 つの双曲固有値が多重度 2 の双曲固有値で一緒になって複素数になる状況に対して同様の基準を与えます。このような遷移を HN 遷移と呼び、多重度の高い固有値をトランジット固有値と呼びます。このような遷移が発生するかどうかは、トランジット固有値の B 署名によって完全に決定されます。つまり、次の結果は、シンプレクティック群のトポロジカルな研究の結果です。

定理A.対称性を許容する任意の自由度を持つハミルトニアンを考えます。t 7→ γt 、t ∈ [0, 1] を HN 遷移を起こす対称周期軌道の族とします。すると、遷移固有値の B 符号は不定になります。

B 署名の定義はセクション 3 で示され、この定理の証明は付録 A で得られます。

謝辞。著者は、本論文の着想を与えてくれた Urs Frauenfelder 氏に感謝の意を表します。A. Moreno 氏は現在、DFG (プロジェクト番号 281071066 – TRR 191) の資金提供による Sonderforschungsbereich TRR 191 Symplectic Structures in Geometry, Algebra and Dynamics、およびドイツの Excellence Strategy EXC 2181/1 - 390900948 (Heidelberg STRUCTURES Excellence Cluster) に基づく DFG の支援を受けています。