ヒルベルトスキームの拡張: スタックの観点

に Eigenvector Initialization Publication3m2024/06/11

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この論文では、表面上の「ヒルベルトスキーム」(幾何学的オブジェクト) を退化させる方法を改善し、安定性と他の構造との関連性を探ります。

著者：

（１）カラ・ツァンツ

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5. スタックの視点

5.1 スタックと安定条件

拡張された退化をスタックとして説明する前に、この問題におけるスタックの役割と、セクション 5.3 で定義された安定性条件について説明します。

基底の変更。私たちの目的は、点のヒルベルトスキームの退化を良いモジュライ空間として構築することです。命題 6.1.2 と 6.1.4 の証明では、普遍的な閉包と分離性を証明するために評価基準を使用します。この議論は基底の変更までしか成り立たないことがわかります。そのため、スキームではなくスタックを扱う必要があります。

したがって、次のセクションでは、商スタックを研究する際に、X[n]の特定のファイバーで滑らかにサポートされている長さmのゼロ次元サブスキームのみを含むGIT安定安定軌跡のサブロケーションを検討する必要があります。限界が滑らかにサポートされているサブスキームによって表されるコンパクト化を構築すると、特異面上のm点のヒルベルトスキームの問題を、滑らかなコンポーネント上のm点未満のヒルベルトスキームの積に分解できるため、将来のアプリケーションにも役立ちます。

定義 5.1.1.ある拡張退化 X[n] のファイバーが基底余次元 k を持つとは、このファイバーでちょうど k 個の基底方向が消えることを意味する。これは値 n とは無関係である。

拡張退化を十分に大きくする。最後に、すべての極限サブスキームが滑らかにサポートされているわけではない一意の GIT 商を構成すると、特異サポートを持つサブスキームのみを含む軌道閉包によって与えられる極限は、期待される基本余次元のファイバー内に収まりません。これにより、選択した退化が小さすぎるという直感が得られます。そうは言っても、私たちがしようとしているのが、単に空間のいくつかの優れた特性を保存する方法で特異点を解決することである場合、この GIT 商について考えることは有用です。たとえば、K3 面上の点のヒルベルトスキームのタイプ III 退化の最小モデルを構築するコンテキストで。

5.2 スタックの拡張構造

5.3 安定条件

X[n]のファイバーの滑らかな軌跡はG不変なので、関数をこの軌跡に制限するとG不変が保たれることに注目してください。したがって、半安定軌跡と安定軌跡を滑らかに支えられたサブスキームの軌跡に制限すると、G不変の開いたサブスキームが生成されます。

以下の内容が含まれます:

Li-Wu安定性。ここでは[LW15]で使用されている安定性の概念を思い出し、それをGIT安定性と比較し、この場合の適切な安定性条件を構築します。

修正された GIT 安定性。前述のように、長さ m のゼロ次元サブスキームが安定するのは、そのサポートがファイバーの滑らかな軌跡にある場合のみです。ただし、GIT 安定性条件をこの軌跡に制限すると、安定したサブスキームの空間は普遍的に閉じられなくなります。実際、すべての望ましい長さ m のゼロ次元サブスキームを滑らかにサポートされたサブスキームとして表すことができる単一の GIT 条件は存在しません。したがって、望ましい安定した軌跡を得るために、いくつかの GIT 安定性条件をパッチでつなぎ合わせる修正された GIT 安定性条件を定義する必要があります。