Penulis: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrak Akumulasi kesalahan fisik mencegah eksekusi algoritma skala besar di komputer kuantum saat ini. Koreksi kesalahan kuantum menjanjikan solusi dengan mengkodekan qubit logis ke dalam sejumlah besar qubit fisik, sedemikian rupa sehingga kesalahan fisik ditekan cukup untuk memungkinkan menjalankan komputasi yang diinginkan dengan fidelitas yang dapat ditoleransi. Koreksi kesalahan kuantum menjadi dapat direalisasikan secara praktis setelah tingkat kesalahan fisik berada di bawah nilai ambang batas yang bergantung pada pilihan kode kuantum, sirkuit pengukuran sindrom, dan algoritma dekoding. Kami menyajikan protokol koreksi kesalahan kuantum ujung ke ujung yang mengimplementasikan memori yang toleran terhadap kesalahan berdasarkan keluarga kode low-density parity-check (LDPC). Pendekatan kami mencapai ambang batas kesalahan 0,7% untuk model kebisingan berbasis sirkuit standar, setara dengan kode permukaan yang selama 20 tahun merupakan kode terkemuka dalam hal ambang batas kesalahan. Siklus pengukuran sindrom untuk kode sepanjang dalam keluarga kami membutuhkan qubit tambahan dan sirkuit kedalaman-8 dengan gerbang CNOT, inisialisasi qubit, dan pengukuran. Konektivitas qubit yang diperlukan adalah graf berderajat 6 yang terdiri dari dua subgraph planar yang saling lepas. Khususnya, kami menunjukkan bahwa 12 qubit logis dapat dipertahankan selama hampir 1 juta siklus sindrom menggunakan total 288 qubit fisik, dengan asumsi tingkat kesalahan fisik 0,1%, sedangkan kode permukaan akan membutuhkan hampir 3.000 qubit fisik untuk mencapai kinerja tersebut. Temuan kami membawa demonstrasi memori kuantum toleran terhadap kesalahan dengan overhead rendah dalam jangkauan prosesor kuantum jangka pendek. k n n n Utama Komputasi kuantum menarik perhatian karena kemampuannya untuk menawarkan solusi yang secara asimptotis lebih cepat untuk serangkaian masalah komputasi dibandingkan dengan algoritma klasik terbaik yang diketahui. Diyakini bahwa komputer kuantum terukur yang berfungsi dapat membantu memecahkan masalah komputasi di area seperti penemuan ilmiah, penelitian material, kimia, dan desain obat, antara lain. Hambatan utama dalam membangun komputer kuantum adalah kerapuhan informasi kuantum, karena berbagai sumber kebisingan yang mempengaruhinya. Karena mengisolasi komputer kuantum dari efek eksternal dan mengendalikannya untuk menginduksi komputasi yang diinginkan saling bertentangan, kebisingan tampaknya tidak dapat dihindari. Sumber kebisingan termasuk ketidaksempurnaan dalam qubit, material yang digunakan, peralatan kontrol, kesalahan persiapan dan pengukuran keadaan, serta berbagai faktor eksternal mulai dari buatan manusia lokal, seperti medan elektromagnetik liar, hingga yang melekat pada Alam Semesta, seperti sinar kosmik. Lihat ref. untuk ringkasan. Meskipun beberapa sumber kebisingan dapat dihilangkan dengan kontrol yang lebih baik, material, dan pelindung, beberapa sumber lain tampaknya sulit, jika tidak mustahil, untuk dihilangkan. Jenis terakhir dapat mencakup emisi spontan dan terstimulasi pada ion terjebak dan interaksi dengan lingkungan (efek Purcell) pada sirkuit superkonduktor—mencakup kedua teknologi kuantum terkemuka. Dengan demikian, koreksi kesalahan menjadi persyaratan utama untuk membangun komputer kuantum terukur yang berfungsi. Kemungkinan toleransi kesalahan kuantum sudah mapan. Mengkodekan qubit logis secara redundan ke banyak qubit fisik memungkinkan diagnosis dan koreksi kesalahan dengan berulang kali mengukur sindrom operator pemeriksa paritas. Namun, koreksi kesalahan hanya bermanfaat jika tingkat kesalahan perangkat keras berada di bawah nilai ambang batas tertentu yang bergantung pada protokol koreksi kesalahan tertentu. Proposal pertama untuk koreksi kesalahan kuantum, seperti kode terkonsentrasi, berfokus pada demonstrasi kemungkinan teoretis penekanan kesalahan. Seiring pemahaman tentang koreksi kesalahan kuantum dan kemampuan teknologi kuantum matang, fokus bergeser ke penemuan protokol koreksi kesalahan kuantum yang praktis. Hal ini menghasilkan pengembangan kode permukaan yang menawarkan ambang batas kesalahan tinggi mendekati 1%, algoritma dekoding cepat, dan kompatibilitas dengan prosesor kuantum yang ada yang mengandalkan konektivitas kisi kuadrat dua dimensi (2D). Contoh kecil kode permukaan dengan satu qubit logis telah didemonstrasikan secara eksperimental oleh beberapa kelompok. Namun, meningkatkan skala kode permukaan menjadi 100 atau lebih qubit logis akan sangat mahal karena efisiensi pengkodeannya yang buruk. Hal ini memicu minat pada kode kuantum yang lebih umum yang dikenal sebagai kode low-density parity-check (LDPC). Kemajuan terbaru dalam studi kode LDPC menunjukkan bahwa mereka dapat mencapai toleransi kesalahan kuantum dengan efisiensi pengkodean yang jauh lebih tinggi. Di sini, kami berfokus pada studi kode LDPC, karena tujuan kami adalah menemukan kode dan protokol koreksi kesalahan kuantum yang efisien dan dapat didemonstrasikan dalam praktik, mengingat keterbatasan teknologi komputasi kuantum. Kode koreksi kesalahan kuantum bertipe LDPC jika setiap operator pemeriksa kode hanya bertindak pada beberapa qubit dan setiap qubit berpartisipasi hanya dalam beberapa pemeriksa. Beberapa varian kode LDPC telah diusulkan baru-baru ini termasuk kode permukaan hiperbolik, produk hypergraph, kode produk seimbang, kode dua blok berdasarkan grup hingga, dan kode Tanner kuantum. Yang terakhir ditunjukkan bersifat 'baik' secara asimptotis dalam arti menawarkan laju pengkodean konstan dan jarak linier: parameter yang mengukur jumlah kesalahan yang dapat dikoreksi. Sebaliknya, kode permukaan memiliki laju pengkodean asimptotis nol dan hanya jarak akar kuadrat. Mengganti kode permukaan dengan kode LDPC berkecepatan tinggi dan jarak tinggi dapat memiliki implikasi praktis yang besar. Pertama, overhead toleransi kesalahan (rasio antara jumlah qubit fisik dan logis) dapat dikurangi secara signifikan. Kedua, kode jarak tinggi menunjukkan penurunan yang sangat tajam dalam tingkat kesalahan logis: ketika probabilitas kesalahan fisik melintasi nilai ambang batas, jumlah penekanan kesalahan yang dicapai oleh kode dapat meningkat hingga beberapa kali lipat bahkan dengan sedikit pengurangan tingkat kesalahan fisik. Fitur ini membuat kode LDPC jarak tinggi menarik untuk demonstrasi jangka pendek yang kemungkinan akan beroperasi dalam rezim mendekati ambang batas. Namun, sebelumnya diyakini bahwa melampaui kode permukaan untuk model kebisingan yang realistis termasuk kesalahan memori, gerbang, dan persiapan serta pengukuran keadaan mungkin memerlukan kode LDPC yang sangat besar dengan lebih dari 10.000 qubit fisik. Di sini kami menyajikan beberapa contoh konkret kode LDPC berkecepatan tinggi dengan beberapa ratus qubit fisik yang dilengkapi dengan sirkuit pengukuran sindrom berkedalaman rendah, algoritma dekoding yang efisien, dan protokol toleran terhadap kesalahan untuk mengatasi qubit logis individual. Kode-kode ini menunjukkan ambang batas kesalahan mendekati 0,7%, menunjukkan kinerja yang sangat baik dalam rezim mendekati ambang batas, dan menawarkan pengurangan overhead pengkodean 10 kali lipat dibandingkan dengan kode permukaan. Persyaratan perangkat keras untuk mewujudkan protokol koreksi kesalahan kami relatif ringan, karena setiap qubit fisik terhubung oleh gerbang dua qubit hanya dengan enam qubit lainnya. Meskipun graf konektivitas qubit tidak dapat disematkan secara lokal ke dalam kisi 2D, ia dapat diuraikan menjadi dua subgraph planar berderajat 3. Seperti yang kami uraikan di bawah, konektivitas qubit semacam itu sangat cocok untuk arsitektur berdasarkan qubit superkonduktor. Kode kami adalah generalisasi dari kode sepeda yang diusulkan oleh MacKay dkk. dan dipelajari lebih dalam di refs.. Kami menamai kode kami sepeda bivariat (BB) karena didasarkan pada polinomial bivariat, seperti yang dirinci dalam [Metode]. Ini adalah kode stabilisator tipe Calderbank–Shor–Steane (CSS) yang dapat dijelaskan oleh kumpulan operator pemeriksa (stabilisator) enam-qubit yang terdiri dari Pauli dan . Secara umum, kode BB mirip dengan kode torus dua dimensi. Khususnya, qubit fisik dari kode BB dapat diletakkan pada kisi dua dimensi dengan kondisi batas periodik sedemikian rupa sehingga semua operator pemeriksa diperoleh dari satu pasangan pemeriksa dan dengan menerapkan pergeseran horizontal dan vertikal pada kisi. Namun, berbeda dengan stabilisator plakat dan simpul yang menggambarkan kode torus, operator pemeriksa kode BB tidak bersifat lokal secara geometris. Selain itu, setiap pemeriksa bertindak pada enam qubit daripada empat qubit. Kami akan menjelaskan kode tersebut dengan graf Tanner sedemikian rupa sehingga setiap simpul mewakili qubit data atau operator pemeriksa. Simpul pemeriksa dan simpul data dihubungkan oleh tepi jika operator pemeriksa ke- bertindak secara non-trivial pada qubit data ke- (dengan menerapkan Pauli atau ). Lihat Gbr. [1a, b] untuk contoh graf Tanner dari kode permukaan dan BB, masing-masing. Graf Tanner dari setiap kode BB memiliki derajat simpul enam dan ketebalan graf sama dengan dua, yang berarti ia dapat diuraikan menjadi dua subgraph planar yang saling lepas (Metode). Konektivitas qubit ketebalan-2 sangat cocok untuk qubit superkonduktor yang dihubungkan oleh resonator gelombang mikro. Misalnya, dua lapisan planar pengganda dan jalur kontrolnya dapat dipasang di sisi atas dan bawah chip yang menampung qubit, dan kedua sisi tersebut disambungkan. X Z X Z G G i j i j X Z , Graf Tanner dari kode permukaan, sebagai perbandingan. , Graf Tanner dari kode BB dengan parameter [] yang disematkan ke dalam torus. Setiap tepi graf Tanner menghubungkan simpul data dan pemeriksa. Qubit data yang terkait dengan register ( ) dan ( ) ditunjukkan oleh lingkaran biru dan oranye. Setiap simpul memiliki enam tepi yang masuk termasuk empat tepi jarak pendek (menunjuk ke utara, selatan, timur, dan barat) dan dua tepi jarak jauh. Kami hanya menunjukkan beberapa tepi jarak jauh untuk menghindari kekacauan. Tepi putus-putus dan solid menunjukkan dua subgraph planar yang membentang di graf Tanner, lihat Metode. , Sketsa ekstensi graf Tanner untuk pengukuran dan mengikuti ref., terpasang pada kode permukaan. Ancilla yang sesuai dengan pengukuran dapat dihubungkan ke kode permukaan, memungkinkan operasi muat-simpan untuk semua qubit logis dengan sarana teleportasi kuantum dan beberapa unitaris logis. Graf Tanner yang diperluas ini juga memiliki implementasi dalam arsitektur ketebalan-2 melalui tepi dan (Metode). a b q L q R c A B Kode BB dengan parameter [[ , , ]] mengkodekan qubit logis ke dalam qubit data yang menawarkan jarak kode , yang berarti setiap kesalahan logis mencakup setidaknya qubit data. Kami membagi qubit data menjadi register ( ) dan ( ) berukuran masing-masing /2. Setiap pemeriksa bertindak pada tiga qubit dari ( ) dan tiga qubit dari ( ). Kode ini bergantung pada qubit pemeriksa tambahan untuk mengukur sindrom kesalahan. Kami membagi qubit pemeriksa menjadi register ( ) dan ( ) berukuran masing-masing /2 yang mengumpulkan sindrom tipe dan . Total, pengkodean bergantung pada 2 qubit fisik. Oleh karena itu, laju pengkodean bersih adalah = /(2 ). Misalnya, arsitektur kode permukaan standar mengkodekan = 1 qubit logis ke dalam = qubit data untuk kode jarak- dan menggunakan − 1 qubit pemeriksa untuk pengukuran sindrom. Laju pengkodean bersih adalah ≈ 1/(2 ), yang dengan cepat menjadi tidak praktis karena seseorang terpaksa memilih jarak kode yang besar, karena, misalnya, kesalahan fisik mendekati nilai ambang batas. Sebaliknya, kode BB memiliki laju pengkodean ≫ 1/ , lihat Tabel untuk contoh kode. Sejauh pengetahuan kami, semua kode yang ditunjukkan dalam Tabel adalah baru. Kode jarak-12 [] mungkin yang paling menjanjikan untuk demonstrasi jangka pendek, karena menggabungkan jarak besar dan laju pengkodean bersih tinggi = 1/24. Sebagai perbandingan, kode permukaan jarak-11 memiliki laju pengkodean bersih = 1/241. Di bawah ini, kami menunjukkan bahwa kode BB jarak-12 mengungguli kode permukaan jarak-11 untuk rentang tingkat kesalahan yang relevan secara eksperimental. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 r r Untuk mencegah akumulasi kesalahan, sindrom kesalahan harus dapat diukur cukup sering. Hal ini dicapai oleh sirkuit pengukuran sindrom yang menghubungkan qubit data dalam dukungan setiap operator pemeriksa dengan qubit tambahan yang bersangkutan melalui serangkaian gerbang CNOT. Qubit pemeriksa kemudian diukur, mengungkapkan nilai sindrom kesalahan. Waktu yang dibutuhkan untuk mengimplementasikan sirkuit pengukuran sindrom sebanding dengan kedalamannya: jumlah lapisan gerbang yang terdiri dari CNOT yang tidak tumpang tindih. Karena kesalahan baru terus terjadi saat sirkuit pengukuran sindrom dieksekusi, kedalamannya harus diminimalkan. Siklus penuh pengukuran sindrom untuk kode BB diilustrasikan pada Gbr.. Siklus sindrom hanya membutuhkan tujuh lapisan CNOT terlepas dari panjang kode. Qubit pemeriksa diinisialisasi dan diukur di awal dan di akhir siklus sindrom masing-masing (lihat Metode untuk detailnya). Sirkuit menghormati simetri pergeseran siklik dari kode yang mendasarinya. Siklus pengukuran sindrom penuh yang bergantung pada tujuh lapisan CNOT. Kami menyediakan tampilan lokal sirkuit yang hanya mencakup satu qubit data dari setiap register ( ) dan ( ). Sirkuit simetris terhadap pergeseran horizontal dan vertikal graf Tanner. Setiap qubit data dihubungkan oleh CNOT dengan tiga pemeriksa dan tiga pemeriksa : lihat Metode untuk detail lebih lanjut. q L q R X Z Protokol koreksi kesalahan penuh melakukan ≫ 1 siklus pengukuran sindrom dan kemudian memanggil dekoder: algoritma klasik yang mengambil sindrom terukur sebagai input dan menghasilkan tebakan kesalahan akhir pada qubit data. Koreksi kesalahan berhasil jika tebakan dan kesalahan aktual bertepatan modulo produk operator pemeriksa. Dalam kasus ini, kedua kesalahan memiliki aksi yang sama pada keadaan logis yang dikodekan (logis). Dengan demikian, menerapkan invers dari kesalahan yang ditebak mengembalikan qubit data ke keadaan logis awal. Sebaliknya, jika tebakan dan kesalahan aktual berbeda oleh operator logis non-trivial, koreksi kesalahan gagal yang mengakibatkan kesalahan logis. Eksperimen numerik kami didasarkan pada propagasi keyakinan dengan dekoder statistik terurut (BP-OSD) yang diusulkan oleh Panteleev dan Kalachev. Karya asli menjelaskan BP-OSD dalam konteks model kebisingan mainan hanya dengan kesalahan memori. Di sini kami menunjukkan cara memperluas BP-OSD ke model kebisingan berbasis sirkuit, lihat Informasi Tambahan untuk detailnya. Pendekatan kami sangat mengikuti ref.. N c Versi bising dari sirkuit pengukuran sindrom dapat mencakup beberapa jenis operasi yang salah seperti kesalahan memori pada qubit data atau pemeriksa yang idle, gerbang CNOT yang salah, inisialisasi dan pengukuran qubit. Kami mempertimbangkan model kebisingan berbasis sirkuit di mana setiap operasi gagal secara independen dengan probabilitas . Probabilitas kesalahan logis bergantung pada tingkat kesalahan , detail sirkuit pengukuran sindrom, dan algoritma dekoding. Biarkan ( ) menjadi probabilitas kesalahan logis setelah melakukan siklus sindrom. Definisikan tingkat kesalahan logis sebagai . Secara informal, dapat dilihat sebagai probabilitas kesalahan logis per siklus sindrom. Mengikuti praktik umum, kami memilih = untuk kode jarak- . Gbr. menunjukkan tingkat kesalahan logis yang dicapai oleh kode dari Tabel. Tingkat kesalahan logis dihitung secara numerik untuk ≥ 10 dan diekstrapolasi ke tingkat kesalahan yang lebih rendah menggunakan formula fitting (Metode). Pseudo-ambang batas didefinisikan sebagai solusi persamaan impas ( ) = . Di sini adalah perkiraan probabilitas bahwa setidaknya satu dari qubit yang tidak dikodekan mengalami kesalahan. Kode BB menawarkan pseudo-ambang batas mendekati 0,7%, lihat Tabel, yang hampir sama dengan ambang batas kesalahan kode permukaan dan melebihi ambang batas semua kode LDPC berkecepatan tinggi yang diketahui oleh penulis. p p L p P L N c N c p L N c d d p -3 p 0 p L p kp kp k , Tingkat kesalahan logis versus fisik untuk contoh kecil kode LDPC BB. Perkiraan numerik (belah ketupat) diperoleh dengan menyimulasikan siklus sindrom untuk kode jarak- . Sebagian besar titik data memiliki bar error kira-kira sama dengan /10 karena kesalahan sampling. , Perbandingan antara kode LDPC BB [] dan kode permukaan dengan 12 qubit logis dan jarak ∈ {9, 11, 13, 15}. Kode permukaan jarak- dengan 12 qubit logis memiliki panjang = 12 karena setiap qubit logis dikodekan ke dalam petak kode permukaan berukuran × secara terpisah. a p L d d p L b d d n d 2 d d Misalnya, anggaplah tingkat kesalahan fisik adalah = 10 , yang merupakan tujuan realistis untuk demonstrasi jangka pendek. Mengkodekan 12 qubit logis menggunakan kode jarak-12 dari Tabel akan menawarkan tingkat kesalahan logis 2 ×10 , yang cukup untuk mempertahankan 12 qubit logis selama hampir 1 juta siklus sindrom. Jumlah total qubit fisik yang diperlukan untuk pengkodean ini adalah 288. Kode jarak-18 dari Tabel akan membutuhkan 576 qubit fisik, sedangkan menekan tingkat kesalahan dari 10 menjadi 2 ×10 memungkinkan hampir seratus miliar siklus sindrom. Sebagai perbandingan, mengkodekan 12 qubit logis ke dalam petak terpisah dari kode permukaan akan membutuhkan lebih dari 3.000 qubit fisik untuk menekan tingkat kesalahan dari 10 menjadi 10 (Gbr.). Dalam contoh ini, kode BB jarak-12 menawarkan penghematan 10 kali lipat dalam jumlah qubit fisik dibandingkan dengan kode permukaan. p -3 -7 -3 -12 -3 -7 Proposal untuk koreksi kesalahan kuantum hanya berguna jika qubit logis dapat diakses. Untungnya, kode LDPC BB memiliki fitur yang diperlukan untuk bertindak sebagai memori logis. Seperti yang ditunjukkan pada Gbr. [1c], ekstensi graf Tanner yang memanfaatkan teknik oleh Cohen dkk. memungkinkan operasi pengukuran toleran terhadap kesalahan yang melibatkan kode permukaan tambahan. Pengukuran ini memfasilitasi operasi muat-simpan toleran terhadap kesalahan. Lihat Informasi Tambahan untuk detailnya. Karya kami menyoroti tantangan perangkat keras utama untuk memungkinkan kode baru dengan qubit superkonduktor: (1) pengembangan lapisan kedua dengan kerugian rendah dalam arsitektur ketebalan-2; (2) pengembangan qubit yang dapat dihubungkan dengan tujuh koneksi (enam bus dan satu jalur kontrol); dan (3) pengembangan pengganda jarak jauh. Semua ini sulit dipecahkan tetapi tidak mustahil. Untuk tantangan pertama, kita dapat membayangkan perubahan kecil pada pengemasan yang dikembangkan untuk prosesor IBM Quantum Eagle. Yang paling sederhana adalah menempatkan bus tambahan di sisi berlawanan dari chip qubit. Ini akan membutuhkan pengembangan vias melalui substrat ber-Q tinggi yang akan menjadi bagian dari bus pengganda dan dengan demikian memerlukan simulasi gelombang mikro intensif untuk memastikan bahwa vias melalui substrat ini dapat mendukung propagasi gelombang mikro sambil tidak menimbulkan crosstalk yang tidak diinginkan. Tantangan kedua adalah perpanjangan jumlah pengganda dari susunan kisi heksagonal berat, yang berjumlah empat (tiga pengganda dan satu kontrol) menjadi tujuh. Implikasinya adalah bahwa gerbang resonansi silang, yang telah menjadi gerbang inti yang digunakan dalam sistem kuantum besar selama beberapa tahun terakhir, tidak akan menjadi jalan ke depan. Qubit dalam gerbang resonansi silang tidak dapat disetel dan dengan demikian untuk perangkat besar dengan banyak koneksi, probabilitas tabrakan energi (tidak hanya tingkat qubit tetapi juga tingkat transmon yang lebih tinggi) cenderung menjadi satu dengan sangat cepat. Namun, dengan pengganda yang dapat disetel di IBM Quantum Egret dan sekarang sedang dikembangkan untuk IBM Quantum Heron, masalah ini tidak ada lagi karena frekuensi qubit dapat dirancang agar lebih berjauhan. Gerbang baru ini juga mirip dengan gerbang yang digunakan oleh Google Quantum AI, yang telah menunjukkan bahwa susunan kisi persegi dimungkinkan. Memperluas peta konektivitas menjadi tujuh koneksi akan membutuhkan pemodelan gelombang mikro yang signifikan; namun, transmon tipikal memiliki kapasitansi sekitar 60 fF dan setiap gerbang sekitar 5 fF untuk mendapatkan kekuatan penggandaan yang sesuai dengan bus, jadi secara fundamental dimungkinkan untuk mengembangkan peta konektivitas ini tanpa mengubah waktu koherensi dan stabilitas qubit transmon yang lama. Tantangan terakhir adalah yang paling sulit. Untuk bus yang cukup pendek sehingga mode fundamental dapat digunakan, model elektrokimia sirkuit standar berlaku. Namun, untuk mendemonstrasikan kode 144-qubit, beberapa bus akan cukup panjang sehingga kita akan memerlukan rekayasa frekuensi. Salah satu cara untuk mencapai ini adalah dengan resonator filter, dan eksperimen bukti prinsip didemonstrasikan dalam ref.. Singkatnya, kami menawarkan perspektif baru tentang bagaimana memori kuantum toleran terhadap kesalahan dapat direalisasikan menggunakan prosesor kuantum jangka pendek dengan overhead qubit yang kecil. Meskipun kode LDPC ini tidak bersifat lokal secara geometris, konektivitas qubit yang diperlukan untuk pengukuran sindrom dijelaskan oleh graf ketebalan-2 yang dapat diimplementasikan menggunakan dua lapisan planar pengganda qubit berderajat 3. Ini adalah solusi arsitektur yang valid untuk platform yang didasarkan pada qubit superkonduktor. Simulasi numerik yang dilakukan untuk model kebisingan berbasis sirkuit menunjukkan bahwa kode LDPC yang diusulkan dibandingkan secara menguntungkan dengan kode permukaan dalam rentang tingkat kesalahan yang relevan secara praktis ≥ 0,1% yang menawarkan tingkat penekanan kesalahan yang sama dengan pengurangan 10 kali lipat dalam overhead qubit. Sementara itu, masih belum jelas apakah contoh kode kami dapat ditingkatkan sambil mempertahankan laju pengkodean tinggi dalam batas panjang kode yang besar. p Metode Konstruksi Kode Kami mulai dengan definisi formal kode BB. Biarkan dan menjadi matriks identitas dan matriks pergeseran siklik berukuran ℓ × ℓ. Baris ke- dari memiliki satu-satunya entri non-nol yang sama dengan satu pada kolom . Misalnya, I ℓ S ℓ i S ℓ Pertimbangkan matriks Perhatikan bahwa = , = = , dan = = . Kode BB didefinisikan oleh pasangan matriks xy yx x T x y T y I ℓ m x ℓ y m I ℓ m di mana setiap matriks dan adalah pangkat dari atau . Di sini dan di bawah ini, penjumlahan dan perkalian matriks biner dilakukan modulo dua, kecuali dinyatakan lain. Dengan demikian, kami juga mengasumsikan bahwa berbeda dan berbeda untuk menghindari pembatalan suku. Misalnya, seseorang dapat memilih = + + dan = + + . Perhatikan bahwa dan memiliki tepat tiga entri non-nol di setiap baris dan setiap kolom. Selain itu, = karena = . Data di atas mendefinisikan kode kuantum BB yang disebut QC( , ) dengan panjang = 2ℓ dan matriks pemeriksa A i B j x y A i B j A x 3 y y 2 B y 3 x x 2 A B AB BA xy yx A B n m Di sini, garis vertikal menunjukkan penumpukan matriks secara horizontal dan menunjukkan transposisi matriks. Kedua matriks dan berukuran ( /2) × . Setiap baris dari mendefinisikan operator pemeriksa tipe . Setiap baris dari mendefinisikan operator pemeriksa tipe . Setiap pemeriksa dan berkomutasi karena mereka tumpang tindih pada jumlah qubit genap (perhatikan bahwa ). Berdasarkan konstruksi, kode QC( , ) memiliki operator pemeriksa berbobot 6 dan setiap qubit berpartisipasi dalam enam pemeriksa (tiga tipe ditambah tiga tipe ). Karenanya, kode QC( , ) memiliki graf Tanner berderajat 6. Seseorang dapat melihat matriks dan sebagai polinomial bivariat atas variabel dan . Spesialisasi kode BB pada kasus = 1 dan = menghasilkan kode sepeda asli berdasarkan polinomial univariat. Demikian pula, kode BB adalah spesialisasi dari kode sepeda umum, kode dua blok berbasis grup, dan kode berbasis polinomial. Mengingat matriks biner , biarkan menjadi ruang nolnya yang dibentang oleh semua vektor biner sedemikian rupa sehingga . Biarkan rs( ) menjadi ruang baris yang dibentang oleh baris-baris . T H X H Z n n H X X H Z Z X Z A B X Z A B A B x y m B A T M v M M M Lemma 1 Kode QC( , ) memiliki parameter [[ , , ]], di mana A B n k d Kode ini menawarkan jarak yang sama untuk kesalahan tipe dan tipe . X Z Bukti, yang bergantung pada aljabar linier elementer, ditunda ke Informasi Tambahan. Tabel Data yang Diperluas mendeskripsikan polinomial dan yang menghasilkan contoh kode BB berkecepatan tinggi dan berjarak jauh yang ditemukan melalui pencarian numerik. Ini termasuk semua kode dari Tabel dan dua contoh kode berjarak lebih jauh. Sejauh pengetahuan kami, semua contoh ini adalah baru. Kode [[360, 12, ≤24]] lebih baik dari kode [[882, 24, ≤24]] dengan pemeriksa berbobot 6 yang ditemukan oleh Panteleev dan Kalachev di ref. (dengan asumsi batas atas jarak kami ketat). Memang, mengambil dua salinan independen dari kode 360-qubit menghasilkan parameter [[720, 24, ≤24]]. Lampiran C di ref. juga menjelaskan kode [] yang memiliki parameter serupa dengan kami. Kode ini memiliki bentuk QC( , ) dengan = 1 + + , = 1 + + , ℓ = 63, dan = 1. Kami mencatat bahwa karya terbaru oleh Wang, Lin, dan Pryadko menjelaskan contoh kode berbasis grup yang sangat terkait dengan kode yang dipertimbangkan di sini. Beberapa kode berbasis grup dengan pemeriksa berbobot 8 yang ditemukan di ref. mengungguli kode BB kami dengan pemeriksa berbobot 6 dalam hal parameter , , . Masih harus dilihat apakah kode berbasis grup dapat mencapai tingkat penekanan kesalahan yang serupa atau lebih baik untuk model kebisingan berbasis sirkuit. A B A B A x 43 x 37 B x 59 x 31 m n k d Selanjutnya, kami mempartisi himpunan qubit data sebagai [ ] = , di mana ≔ ( ) dan ≔ ( ) adalah blok kiri dan kanan dari /2 = ℓ qubit data. Kemudian, qubit data dan serta pemeriksa dan masing-masing dapat diberi label oleh bilangan bulat , yang merupakan indeks ke matriks , . Alternatifnya, qubit dan pemeriksa dapat diberi label oleh monomial dari dalam urutan ini, sehingga memberi label qubit atau pemeriksa yang sama dengan untuk . Menggunakan pelabelan monomial, qubit data adalah bagian dari pemeriksa dan pemeriksa untuk = 1, 2, 3. Demikian pula, qubit data adalah bagian dari pemeriksa dan pemeriksa . Notasi terpadu memberikan setiap qubit atau pemeriksa label ( , ) di mana ∈ { , , , } menunjukkan tipenya dan label monomialnya. (Notasi monomial tidak boleh disamakan dengan notasi matriks yang digunakan sebelumnya di bagian ini. Misalnya, perkalian monomial seperti berbeda dari perkalian vektor dengan matriks .) n LR L q L R q R n m L R X Z A B L X Z i R X Z q T α T L R X Z Salah satu kerugian dari kode LDPC berkecepatan tinggi adalah bahwa graf Tanner mereka mungkin tidak dapat disematkan secara lokal ke dalam kisi 2D. Ini menimbulkan tantangan untuk implementasi perangkat keras dengan qubit superkonduktor yang dihubungkan oleh resonator gelombang mikro. Konsep desain very-large-scale integration (VL
