हिल्बर्ट योजनाओं के लिए विस्तार: सार और परिचय

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि
• विस्तारित निर्माण
• जीआईटी स्थिरता
• स्टैक परिप्रेक्ष्य
• विहित मॉड्यूली स्टैक
• संदर्भ

अमूर्त

इस शोधपत्र का उद्देश्य ली और वू के विस्तारित अपघटन निर्माण को विस्तारित करना है ताकि सतहों के अर्धस्थिर परिवारों पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के अच्छे अपघटन प्राप्त किए जा सकें, साथ ही गुलब्रांडसन, हाले और हुलेक के जीआईटी निर्माण और मौलिक और रंगनाथन के लघुगणकीय हिल्बर्ट योजना निर्माण के समानांतर वैकल्पिक स्थिरता स्थितियों और समानताओं पर चर्चा की जा सके। हम हिल्बर्ट योजनाओं के बिंदुओं के एक अच्छे अपघटन का निर्माण एक उचित डेलिग्ने-मम्फोर्ड स्टैक के रूप में करते हैं और दिखाते हैं कि यह मौलिक और रंगनाथन के काम से उत्पन्न निर्माण का एक ज्यामितीय रूप से सार्थक उदाहरण प्रदान करता है।

1 परिचय

मॉड्यूली स्पेस का अध्ययन बीजीय ज्यामिति में एक केंद्रीय विषय है; मॉड्यूली स्पेस के बीच, हिल्बर्ट योजनाएँ उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाती हैं। इनका ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत, गणनात्मक और संयोजन ज्यामिति में व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है और हाइपरकैहलर मैनिफोल्ड्स के दो मुख्य उदाहरणों के रूप में, अर्थात् K3 सतहों पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाएँ और सामान्यीकृत कुम्मर किस्में। इस क्षेत्र में एक प्रमुख दिशा ऐसी वस्तुओं के स्थानीय मॉड्यूली स्पेस को समझना है और, विशेष रूप से, वे तरीके जिनसे चिकनी हिल्बर्ट योजनाओं के अध:पतन को मॉड्यूलर कॉम्पैक्टीफिकेशन दिया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, हम एक ऐसे डिजनरेशन पर सापेक्ष हिल्बर्ट योजनाओं की ज्यामिति पर विचार कर सकते हैं जिसके केंद्रीय फाइबर में सामान्य क्रॉसिंग विलक्षणताएं हैं। फिर हम पूछ सकते हैं कि इस तरह की हिल्बर्ट योजना की विलक्षणताओं को इसके कुछ गुणों को संरक्षित करते हुए कैसे हल किया जा सकता है या इसे एक अच्छे मापांक स्थान के रूप में कैसे व्यक्त किया जा सकता है। यह तब विलक्षण स्थान द्वारा दी गई सीमा के संबंध में एक कॉम्पैक्टिफिकेशन समस्या बन जाती है। ऐतिहासिक रूप से, मापांक और कॉम्पैक्टिफिकेशन समस्याओं में उपयोग की जाने वाली एक महत्वपूर्ण विधि ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत (जीआईटी) रही है। हाल ही में, मौलिक और रंगंथन [एमआर20] के काम ने पता लगाया है कि हिल्बर्ट योजनाओं के लिए ऐसे सवालों को संबोधित करने के लिए उष्णकटिबंधीय और लघुगणक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

संक्षेप में कहा जाए तो, इस पत्र का उद्देश्य ऐसे कॉम्पैक्टीफिकेशन के स्पष्ट उदाहरण प्रदान करना तथा इन विधियों के बीच संबंधों का पता लगाना है।

1.1 बुनियादी सेटअप

जैसा कि अनुभाग 1.3 में बताया गया है, इस प्रकार के निर्माण को K3 सतहों पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के प्रकार III अध:पतन के निर्माण के लिए लागू किया जा सकता है। इसका वर्णन भविष्य के कार्य में किया जाएगा।

1.2 इस क्षेत्र में पिछला कार्य

[LW15] के बाद, गुलब्रांडसन, हाले और हुलेक [GHH19] हिल्बर्ट योजनाओं के मामले में उपरोक्त निर्माण का एक GIT संस्करण प्रस्तुत करते हैं। वे एक स्पष्ट विस्तारित पतन का निर्माण करते हैं, अर्थात एक बड़े आधार पर एक संशोधित परिवार, जिसके तंतु परिवार में X0 के घटकों के विस्फोट के अनुरूप होते हैं। वे प्राकृतिक टोरस क्रिया के लिए इस स्थान पर एक रैखिक रेखा बंडल प्रस्तुत करते हैं और वे यह दिखाने में सक्षम हैं कि इस मामले में हिल्बर्ट-मम्फोर्ड मानदंड एक विशुद्ध रूप से संयोजन मानदंड तक सरल हो जाता है। इसका उपयोग करते हुए, वे एक GIT स्थिरता स्थिति लागू करते हैं जो Li और Wu की अनुप्रस्थ शून्य-आयामी उप-योजनाओं को पुनर्प्राप्त करता है और साबित करता है कि संबंधित स्टैक भागफल Li और Wu के समरूप है। इस कार्य के लिए एक प्रेरणा K3 सतहों पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के प्रकार II पतन का निर्माण करना था। वास्तव में, K3 सतहों के प्रकार II अच्छे पतन विशेष तंतु में इन प्रकार की विलक्षणताओं को प्रस्तुत करते हैं, जो चिकनी वक्रों के साथ प्रतिच्छेद करने वाली सतहों की एक श्रृंखला है।

मौलिक और रंगनाथन [एमआर20] का हालिया काम है, जो रंगनाथन [रान22बी] के पुराने विचारों और टेवेलेव [टीईवी07] के परिणामों पर आधारित है, जिसमें वे लॉगरिदमिक और ट्रॉपिकल ज्यामिति की तकनीकों का उपयोग करके एक्स ! सी के उचित विस्तार का निर्माण करते हैं। इससे उन्हें ट्रांसवर्स सबस्कीम के मॉड्यूली स्टैक को परिभाषित करने की अनुमति मिलती है, जो उस स्थिति से शुरू होता है जहां एक्स0 कोई भी सरल सामान्य क्रॉसिंग वैरायटी है। वे दिखाते हैं कि इस प्रकार निर्मित स्टैक उचित और डेलिग्ने-ममफोर्ड हैं। इस पर अधिक विवरण के लिए, अनुभाग 2.2 देखें।

1.3 मुख्य परिणाम

मान लीजिए X ! C सतहों का एक अर्धस्थिर अध:पतन है। निम्नलिखित अनुभागों में, हम इन विस्तारित परिवारों पर स्थिर लंबाई m शून्य-आयामी उप-योजनाओं के विस्तारित अध:पतन और स्टैक के स्पष्ट निर्माण का प्रस्ताव करते हैं, जिनके बारे में हम बताते हैं कि उनके अच्छे गुण हैं।

विस्तार के विभिन्न विकल्पों की अनुमति देते हुए। इस पत्र में, हम केवल हिल्बर्ट योजना के बिंदुओं के लिए मॉडल के एक विशिष्ट विकल्प पर चर्चा करते हैं जिसे हम कैनोनिकल मॉड्यूली स्टैक कहते हैं। आगामी कार्य में, हम जांच करेंगे कि इन विधियों को मॉडल के अन्य विकल्पों का वर्णन करने के लिए कैसे बढ़ाया जा सकता है। हम एक दृष्टिकोण पर विचार करेंगे जो लॉगरिदमिक कोट योजनाओं [केन23] पर कैनेडी-हंट के काम के समानांतर है, साथ ही मौलिक और रंगनाथन [एमआर20] के तरीकों से उत्पन्न मॉड्यूली स्टैक के कुछ ज्यामितीय रूप से सार्थक विकल्पों को पुनर्प्राप्त करता है। विशेष रूप से, हम चर्चा करेंगे कि इन अधिक सामान्य मामलों में ट्यूब घटक और डोनाल्डसन थॉमस स्थिरता कैसे तस्वीर में आती है (परिभाषाओं के लिए अनुभाग 2.2 देखें)।

1.4 संगठन

हम, अनुभाग 2 में, लघुगणकीय और उष्णकटिबंधीय ज्यामिति पर कुछ पृष्ठभूमि देकर, और [MR20] से मौलिक और रंगनाथन के काम का अवलोकन करके शुरू करते हैं, जिसका हम बाद के अनुभागों में उल्लेख करना चाहेंगे। फिर, अनुभाग 3 में, हम योजनाओं पर एक विस्तारित निर्माण निर्धारित करते हैं और, 4 में, हम चर्चा करते हैं कि इस निर्माण पर विभिन्न GIT स्थिरता स्थितियों को कैसे परिभाषित किया जा सकता है। अनुभाग 5 में, हम योजनाओं के रूप में हमारे द्वारा निर्मित विस्तारित अपघटन पर निर्माण करते हुए, इसके ऊपर विस्तार और परिवार के संगत स्टैक का वर्णन करते हैं। अनुभाग 6 में, हम अपनी स्थिरता स्थितियों को इस सेटिंग तक बढ़ाते हैं। फिर हम दिखाते हैं कि परिभाषित स्थिर वस्तुओं के स्टैक में वांछित डेलिग्ने-ममफोर्ड और उचितता गुण हैं।

आभार । मैं इस परियोजना में ग्रेगरी शंकरन के सहयोग के लिए उनका आभार व्यक्त करना चाहता हूँ। मेरे पीएचडी परीक्षकों, एलेस्टेयर क्रॉ और ध्रुव रंगनाथन को भी उनकी कई उपयोगी टिप्पणियों के लिए धन्यवाद। यह कार्य बाथ विश्वविद्यालय अनुसंधान छात्रवृति पुरस्कार द्वारा वित्तपोषित किया गया था। मैं पैट्रिक कैनेडी-हंट और थिबॉल्ट पोइरेट का भी कई रोचक वार्तालापों के लिए आभारी हूँ।