हिल्बर्ट योजनाओं के लिए विस्तार: उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि

लिंक की तालिका

• सार और परिचय
• उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि
• विस्तारित निर्माण
• जीआईटी स्थिरता
• स्टैक परिप्रेक्ष्य
• विहित मॉड्यूली स्टैक
• संदर्भ

2. उष्णकटिबंधीय परिप्रेक्ष्य पर पृष्ठभूमि

हम इस समस्या के संदर्भ में यहाँ उष्णकटिबंधीय और लघुगणक ज्यामिति की भाषा का संक्षिप्त परिचय देते हैं। इस खंड की सामग्री के बारे में अधिक जानकारी के लिए, लेख [लॉग], व्याख्यान नोट्स [रान22ए], साथ ही [एमआर20] का पहला खंड देखें।

2.1 उष्णकटिबंधीयकरण और विस्तार

उष्णकटिबंधीयकरण के उपविभाजन X के विस्तार को परिभाषित करते हैं। निम्नलिखित में, हम भाजक D के चारों ओर योजना X के संभावित द्विपरमाणिक संशोधनों का अध्ययन करना चाहेंगे। उष्णकटिबंधीय भाषा में, इन्हें उपविभाजनों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ट्रॉपिकलाइज़ेशन का एक उपखंड निम्नलिखित तरीके से एक्स के बाईरेशनल संशोधन को परिभाषित करता है। उपखंड

२.२ मौलिक-रंगनाथन निर्माण

हम [MR20] के कुछ मुख्य बिंदुओं को संक्षेप में याद करेंगे। उनके काम का उद्देश्य निश्चित संख्यात्मक प्रकार के आदर्श शेव के मापांक स्थान का अध्ययन करना है जो सीमा विभाजक को अनुप्रस्थ रूप से मिलते हैं। ऐसी वस्तु के अध्ययन के लिए कुछ प्रमुख प्रेरणाएँ गणनात्मक ज्यामिति से आती हैं। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए चिकने वैरायटी में वक्र गणना की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य विधि इस वैरायटी को सरल अपरिवर्तनीय घटकों के एक विलक्षण संघ में अपघटित करना है। ट्रांसवर्सलिटी का गुण तब यह सुनिश्चित करने के लिए महत्वपूर्ण होता है कि अपघटित वस्तु पर आदर्श शेव का सभी दिलचस्प व्यवहार सरल अपरिवर्तनीय घटकों के अंदरूनी हिस्से में समर्थन के साथ होता है, जो हमें इसे और अधिक आसानी से अध्ययन करने की अनुमति देता है। इस दृष्टिकोण के साथ मुख्य कठिनाइयों में से एक यह है कि अक्सर, इस सेटिंग में, डी के संबंध में अनुप्रस्थ आदर्श शेव का स्थान गैर-कॉम्पैक्ट होता है। उपयुक्त कॉम्पैक्टीफिकेशन का निर्माण करने से एक ऐसा स्थान प्राप्त होगा जो C के ऊपर समतल और उचित होगा। [MR20] में, मौलिक और रंगनाथन जोड़ी (X, D) के डोनाल्डसन-थॉमस सिद्धांत को तैयार करते हैं, जो D के अनुप्रस्थ X में आदर्श शीव के स्थान के कॉम्पैक्टीफिकेशन का निर्माण करके शुरू होता है।

हम [MR20] पर विशेष रूप से उस मामले के संबंध में चर्चा करते हैं जो हमें यहाँ रुचिकर लगता है, अर्थात् एक अपघटन X ! C जैसा कि ऊपर वर्णित है, जहाँ हम सीमा विभाजक D = X0 के संबंध में कुछ m ∈ N के लिए स्थिर स्थिर हिल्बर्ट बहुपद m के साथ आदर्श शेव के मॉड्यूल स्पेस का अध्ययन करना चाहते हैं। मुख्य विचार X के ट्रॉपिकलाइज़ेशन का निर्माण करना है, जिसे ΣX द्वारा दर्शाया गया है, और एक संगत ट्रॉपिकलाइज़ेशन मानचित्र, जिसका उपयोग यह समझने के लिए किया जाता है कि हमारे कॉम्पैक्टिफिकेशन में वांछित ट्रांसवर्सलिटी गुण कैसे प्राप्त करें।

अनुप्रस्थ सीमाओं का अस्तित्व और विशिष्टता। मौलिक और रंगनाथन आयामी अनुप्रस्थता और मजबूत अनुप्रस्थता की धारणाओं को प्रस्तुत करते हैं, जो कि बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के विशिष्ट मामले में, ली-वू स्थिरता के बराबर होती हैं (इस स्थिरता स्थिति की परिभाषा के लिए अनुभाग 5.3 देखें)। हालाँकि, सामान्य तौर पर उच्च आयामी उपयोजनाओं के लिए ऐसा नहीं होगा।

इस ऑपरेशन के परिणामस्वरूप गैर-विशिष्टता होती है, क्योंकि हम बहुफलकीय उपविभाजन का चयन कर रहे हैं और सामान्यतः कोई प्रामाणिक विकल्प नहीं होता है।

ट्रॉपिकलाइजेशन में इन ट्यूब वर्टिस को जोड़ने का मतलब है कि प्रत्येक विस्तार में अधिक संभावित घटक हैं, जो पहले से निर्धारित अद्वितीयता परिणामों में हस्तक्षेप करता है। वास्तव में, याद रखें कि ट्रॉप (Z ◦) ने हमें उप-योजनाओं के प्रत्येक परिवार Z ◦ ⊂ X◦ के लिए एक अद्वितीय सीमा प्रतिनिधि होने के लिए द्वैत परिसर में बिल्कुल सही संख्या में वर्टिस दिए। इसलिए, इसे प्रतिबिंबित करने के लिए, डोनाल्डसन-थॉमस स्थिरता उप-योजनाओं को DT स्थिर होने के लिए कहती है यदि और केवल यदि वे ट्यूब घटकों के साथ ट्यूब योजनाएँ हैं। हम कहते हैं कि एक 1-आयामी उप-योजना एक ट्यूब है यदि यह D में एक शून्य-आयामी उप-योजना की योजनाबद्ध पूर्व-छवि है। बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाओं के मामले में, यह स्थिति केवल 0-आयामी उप-योजना Z के DT स्थिर होने के लिए अनुवाद करेगी यदि और केवल यदि किसी भी ट्यूब घटक में Z के समर्थन का कोई बिंदु नहीं होता है और हमारे ब्लो-अप द्वारा विस्तारित प्रत्येक अन्य अपरिवर्तनीय घटक में Z के समर्थन का कम से कम एक बिंदु होता है।

मौलिक और रंगनाथन एक उपयोजना को स्थिर मानते हैं यदि यह दृढ़ता से अनुप्रस्थ है

और DT स्थिर है। निश्चित संख्यात्मक अपरिवर्तनों के लिए विस्तार के स्थान में स्थिर उपयोजनाओं का उपस्टैक C पर परिमित प्रकार का एक डेलिग्ने-मम्फोर्ड, उचित, पृथक स्टैक बनाता है।

इस शोधपत्र के परिणामों के साथ तुलना। इस शोधपत्र में हम जो निर्माण प्रस्तुत करते हैं, उसमें आश्चर्यजनक गुण यह है कि स्थिर वस्तुओं के जिस ढेर को हम परिभाषित करते हैं, उसके उचित होने के लिए हमें किसी भी घटक को ट्यूब के रूप में लेबल करने की आवश्यकता नहीं है। यह हमारे विस्तारित अपघटन में शामिल किए जाने वाले विस्फोटों के विशिष्ट विकल्पों का एक आर्टिफैक्ट है। मौलिक और रंगनाथन का काम हमें दिखाता है कि यह सामान्य रूप से अपेक्षित नहीं है। जैसा कि अनुभाग 1.3 में उल्लेख किया गया है, हम आगामी शोधपत्र में चर्चा करेंगे कि स्थिर वस्तुओं के उचित ढेर का निर्माण कैसे किया जाए, जब विस्तार के विभिन्न विकल्प बनाए जाते हैं और हमारे लिए भी डोनाल्डसन-थॉमस स्थिरता की स्थिति को पेश करना आवश्यक हो जाता है।