मनमाने आयाम में हैमिल्टोनियन प्रणालियों के लिए रैखिक स्थिरता का संयोजन: परिचय

लिंक की तालिका

• अमूर्त
• परिचय
• प्रारंभिक
• बी-हस्ताक्षर
• जीआईटी अनुक्रम: निम्न आयाम
• जीआईटी अनुक्रम: मनमाना आयाम
• परिशिष्ट A. स्थिरता, क्रेन-मोजर प्रमेय, और परिशोधन और संदर्भ

1 परिचय

हैमिल्टनियन प्रणालियों के अध्ययन में आवधिक कक्षाओं की स्थिरता एक केंद्रीय विषय है, जो खगोलीय यांत्रिकी में सौर मंडल की स्थिरता की समस्या पर वापस जाता है। ODE के अध्ययन में सर्वव्यापी, स्थिरता की धारणा तब भी उत्पन्न होती है जब भी परिवारों में कक्षाओं और उनके द्विभाजनों का अध्ययन किया जाता है, एक अभ्यास जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों रुचि रखता है। उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष मिशन डिजाइन के दृष्टिकोण से, एक लक्ष्य चंद्रमा के चारों ओर एक अंतरिक्ष यान को पार्क करने के लिए उपयोग की जाने वाली कक्षाएँ यथासंभव स्थिर होनी चाहिए, ताकि ईंधन सुधार और स्टेशन-कीपिंग को कम से कम किया जा सके। गणितीय दृष्टिकोण से, एक प्रणाली की स्थिरता की मुख्य धारणाएँ तीन प्रकार की होती हैं, जो निम्नलिखित निहितार्थों से संबंधित होती हैं:

गैर-रैखिक (ल्यापुनोव) स्थिरता ⇒ रैखिक स्थिरता ⇒ वर्णक्रमीय स्थिरता।

मोटे तौर पर कहें तो गैर-रैखिक स्थिरता का मतलब है कि किसी निश्चित आवधिक कक्षा के पास से शुरू होने वाले प्रक्षेप पथ हमेशा कक्षा के पास ही रहते हैं। रैखिक स्थिरता रैखिकीकृत गतिकी के लिए मूल की स्थिरता से मेल खाती है, यानी रैखिकीकृत प्रणाली की कक्षाएँ सीमित रहनी चाहिए। हैमिल्टनियन प्रणाली के लिए, इसका मतलब है कि संबंधित कक्षा के मोनोड्रोमी मैट्रिक्स के आइगेन वैल्यू यूनिट सर्कल में होने चाहिए, और अर्ध-सरल होने चाहिए। दूसरी ओर, स्पेक्ट्रल स्थिरता के लिए आवश्यक है कि सभी आइगेन वैल्यू यूनिट सर्कल में हों, लेकिन उन्हें बहुलता रखने की अनुमति देता है (ताकि कक्षाएँ घातीय के बजाय बहुपद समय में अनंत तक पलायन कर सकें)। इस पेपर में, हम रैखिक स्थिरता की धारणा पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

समरूपता की उपस्थिति में, सममिति द्वारा संरक्षित आवधिक कक्षाओं की रैखिक स्थिरता का अध्ययन महत्वपूर्ण रूप से परिष्कृत किया जा सकता है। इस अंत को ध्यान में रखते हुए, पहले लेखक और उर्स फ्राउएनफेल्डर ने [एफएम] में जीआईटी अनुक्रम की धारणा को ब्रोके स्थिरता आरेख [Br69] के परिशोधन के रूप में बी-हस्ताक्षर की धारणा के माध्यम से पेश किया। जीआईटी अनुक्रम में तीन रिक्त स्थानों का एक अनुक्रम होता है और उनके बीच मैप होता है जिसकी टोपोलॉजी आवधिक कक्षाओं की स्थिरता और द्विभाजन के साथ-साथ उनके आइगेनवैल्यू विन्यास को भी एन्कोड करती है और कक्षाओं के नियमित सिलेंडर के अस्तित्व में बाधाएं प्रदान करती है। निम्न आयामों में, रिक्त स्थानों को समतल या त्रि-आयामी स्थान में देखा जा सकता है

वास्तव में, याद रखें कि क्रेन-मोजर प्रमेय एक मानदंड देता है कि क्रेन द्विभाजन कब हो सकता है (यानी मोनोड्रोमी मैट्रिक्स के दो अण्डाकार आइगेनवैल्यू एक साथ आते हैं और फिर सर्कल से बाहर निकल जाते हैं)। हमारा परिशोधन उस स्थिति के लिए एक समान मानदंड देता है जब दो हाइपरबोलिक आइगेनवैल्यू मल्टीप्लिसिटी दो के हाइपरबोलिक आइगेनवैल्यू पर एक साथ आते हैं और फिर जटिल हो जाते हैं, लेकिन सममित कक्षाओं के मामले में। हम इस तरह के संक्रमण को HN-संक्रमण कहते हैं, और उच्च-बहुलता आइगेनवैल्यू को ट्रांजिट आइगेनवैल्यू कहते हैं। इस तरह का संक्रमण हो सकता है या नहीं, यह पूरी तरह से ट्रांजिट आइगेनवैल्यू के बी-हस्ताक्षर द्वारा निर्धारित किया जाता है। अर्थात्, निम्नलिखित परिणाम सिम्पलेक्टिक समूह के हमारे टोपोलॉजिकल अध्ययन का परिणाम है।

प्रमेय A. स्वतंत्रता की मनमानी डिग्री के साथ एक हैमिलटोनियन पर विचार करें, जो एक समरूपता को स्वीकार करता है। मान लें कि t 7→ γt, t ∈ [0, 1], सममित आवधिक कक्षाओं का एक परिवार है, जो HN-संक्रमण से गुजर रहा है। तब पारगमन आइगेनवैल्यू का B-हस्ताक्षर अनिश्चित होता है।

बी-हस्ताक्षर की परिभाषा अनुभाग 3 में दी जाएगी, और इस प्रमेय का प्रमाण परिशिष्ट ए में प्राप्त किया गया है।

आभार । लेखक उर्स फ्राउएनफेल्डर के आभारी हैं, जिनके विचारों ने इस शोधपत्र को प्रेरित किया। ए. मोरेनो को वर्तमान में डीएफजी (प्रोजेक्टनंबर 281071066 - टीआरआर 191) द्वारा वित्तपोषित सोंडरफोर्सचुंग्सबेरिच टीआरआर 191 सिम्पलेक्टिक स्ट्रक्चर्स इन जियोमेट्री, अलजेब्रा एंड डायनेमिक्स द्वारा समर्थित किया जाता है, और जर्मनी की उत्कृष्टता रणनीति ईएक्ससी 2181/1 - 390900948 (हीडलबर्ग स्ट्रक्चर्स एक्सीलेंस क्लस्टर) के तहत डीएफजी द्वारा भी समर्थित किया जाता है।