Auteurs:  (1) Jendrik Voss, Institut de mécanique et de dynamique des structures, Université technique de Dortmund et auteur correspondant (jendrik.voss@tu-dortmund.de) ;  (2) Gianluca Rizzi, Institut de mécanique et de dynamique des structures, Université technique de Dortmund ;  (3) Patrizio Neff, titulaire de la chaire d'analyse et de modélisation non linéaires, Faculté de mathématiques, Université de Duisbourg-Essen ;  (4) Angela Madeo, Institut de mécanique et de dynamique des structures, Université technique de Dortmund.  Table des liens   Résumé et 1. Introduction   1.1 Un métamatériau à base de polyéthylène pour le contrôle acoustique   2 Modélisation micromorphique relaxée de métamatériaux de taille finie   2.1 Symétrie quadratique / Forme des tenseurs élastiques (en notation de Voigt)   3 Courbes de dispersion   4 Nouvelles considérations sur les paramètres micromorphes relaxés   4.1 Cohérence du modèle micromorphe relaxé par rapport à un changement des propriétés du matériau en vrac de la cellule unitaire   4.2 Cohérence du modèle micromorphe relaxé par rapport à un changement de taille de la maille élémentaire   4.3 Seuils micromorphiques relaxés   5 Ajustement des paramètres micromorphes relaxés : le cas particulier de la courbure nulle (sans Curl P et Curl P˙)   5.1 Asymptotes   5.2 Montage   5.3 Discussion   6 Ajustement des paramètres micromorphes relaxés avec la courbure (avec Curl P)   6.1 Asymptotes et 6.2 Ajustement   6.3 Discussion   7 Ajustement des paramètres micromorphes relaxés avec énergie cinétique améliorée (avec Curl P˙) et 7.1 Asymptotes   7.2 Montage   7.3 Discussion   8 Résumé des résultats obtenus   9 Conclusion et perspectives, Remerciements et Références   Un tenseur d'ordre 4 le plus général appartenant à la classe de symétrie tétragonale   B Coefficients pour les courbes de dispersion sans Curl P   C Coefficients pour les courbes de dispersion avec P   D Coefficients pour les courbes de dispersion avec P  Abstrait  Nous présentons un modèle micromorphique relaxé augmenté par l'inertie qui enrichit le modèle micromorphique relaxé précédemment introduit par les auteurs via un terme Curl P˙ dans la densité d'énergie cinétique. Ce modèle enrichi permet d'obtenir un bon ajustement global des courbes de dispersion tout en introduisant la possibilité de décrire des modes à vitesse de groupe négative, connus pour déclencher des effets de réfraction négative. Le modèle augmenté par l'inertie autorise également une plus grande liberté sur les valeurs des asymptotes correspondant aux seuils de coupure. Dans la version précédente du modèle micromorphique relaxé, l'asymptote d'une courbe (pression ou cisaillement) était toujours bornée par le seuil de coupure de la courbe suivante du même type. Cette contrainte n'est plus respectée dans la version améliorée du modèle. Si l'ajustement des courbes obtenues est globalement de bonne qualité, un accord quantitatif parfait doit encore être atteint pour les très petites longueurs d'onde proches de la taille de la maille élémentaire.  1 Introduction  Les métamatériaux sont des matériaux dont les propriétés mécaniques dépassent celles des matériaux classiques grâce à leur microstructure hétérogène. Ils peuvent présenter des réponses statiques/dynamiques inhabituelles telles qu'un coefficient de Poisson négatif [27], une torsion ou une courbure en réponse à une poussée ou une traction [18, 36], des bandes interdites [28, 46, 8, 13], un camouflage [11, 31], une focalisation [20, 16], une canalisation [24, 45], une réfraction négative [52, 25, 47], etc. La fréquence de travail de chaque métamatériau dépend fortement de la taille caractéristique et de la géométrie de la cellule unitaire sous-jacente, ainsi que du choix du matériau de base. Dans cet article, nous présentons un métamatériau labyrinthique qui, grâce à l'utilisation d'un matériau à base de polymère et à une distribution optimisée de la masse à l'intérieur de la cellule unitaire (voir Figure 1), donne naissance à une large bande interdite acoustique avec une taille de cellule unitaire caractéristique de l'ordre du centimètre.  La modélisation directe par éléments finis des structures constituées de ce métamatériau labyrinthique est impossible en raison du maillage extrêmement serré nécessaire pour couvrir correctement les fines bandes de matériau à l'intérieur de chaque cellule unitaire. Il est donc évident qu'un modèle homogénéisé est nécessaire pour utiliser ce type de métamatériaux très prometteurs dans les conceptions techniques réelles. Diverses techniques d'homogénéisation ont été développées afin de fournir des prédictions rigoureuses de la réponse mécanique du métamatériau macroscopique lorsque les propriétés des matériaux de base et leur distribution spatiale sont connues. Français Ces approches d'homogénéisation se sont avérées utiles pour décrire le comportement global des métamatériaux dans les régimes statiques et quasi-statiques [6, 40, 3, 30, 21, 48, 35, 9, 12, 44, 29, 19, 22] ainsi que, plus récemment, dans le régime dynamique [5, 14, 10, 15, 4, 23, 49, 50, 51, 42, 41, 43]. Cependant, ces modèles sont souvent inadaptés pour traiter des métamatériaux de taille finie, car ils sont basés sur des techniques de mise à l'échelle valables pour les milieux non bornés. De ce fait, les structures des métamatériaux de taille finie sont principalement étudiées via des simulations par éléments finis qui sont réalisées en utilisant directement le matériau microstructuré, par exemple [26]. L'inconvénient de cette approche est que le coût de calcul devient rapidement insoutenable (en particulier pour des cellules unitaires comme celle présentée dans cet article), bien que les modèles de propagation obtenus soient très précis. Cela limite fortement la possibilité d'explorer des métastructures géométriques à grande échelle ou très complexes.  Pour surmonter ce problème et ouvrir la possibilité de concevoir des métastructures complexes en utilisant le métamatériau présenté dans cet article comme élément de base, nous proposons d'utiliser un modèle micromorphique relaxé augmenté d'inertie. Ce modèle est basé sur le modèle micromorphique relaxé que nous avons précédemment établi [34, 32, 17, 1, 2] et a été augmenté d'un nouveau terme d'inertie tenant compte des dérivées spatio-temporelles couplées du tenseur de microdistorsion. Le modèle micromorphique relaxé a largement prouvé son efficacité pour décrire le comportement à large bande de nombreux métamatériaux de taille infinie et finie [1, 2, 37, 38, 39] et est étendu dans cet article afin de pouvoir tenir compte de la vitesse de groupe négative, ce qui n'était pas le cas auparavant. Nous montrerons que le modèle proposé décrit bien la réponse du métamatériau labyrinthique pour une large gamme de fréquences (au-delà de la première bande interdite) et de nombres d'onde (approchant la taille de la maille élémentaire) et pour toutes les directions de propagation avec un nombre limité de paramètres constitutifs indépendants de la fréquence et de l'échelle. Il sera démontré que le nouveau terme augmenté d'inertie déclenche des modes à vitesses de groupe négatives, connus pour être associés à des phénomènes de réfraction négative. Les résultats présentés dans cet article nous permettront de présenter prochainement de nouvelles conceptions de structures de métamatériaux labyrinthiques de taille finie capables de contrôler l'énergie élastique en régime acoustique en vue d'une éventuelle réutilisation ultérieure.  1.1 Un métamatériau à base de polyéthylène pour le contrôle acoustique  Dans cette section, nous présentons une nouvelle conception de cellule unitaire donnant naissance à un métamatériau pour le contrôle acoustique. Cette cellule unitaire est conçue pour obtenir une bande interdite à des fréquences relativement basses (600-2000 Hz) afin de cibler les applications pour le contrôle acoustique. La cellule unitaire considérée est en polyéthylène (voir tableau 1). Comparé à l'aluminium ou au titane, que nous avons utilisés pour les métamatériaux étudiés dans [37, 38, 39], le polyéthylène donne lieu à des vitesses d'onde plus faibles, permettant ainsi l'apparition de phénomènes de bande interdite à des fréquences plus basses.   Une réduction supplémentaire de la bande interdite est obtenue par l'adoption d'une géométrie de type labyrinthe (voir figure 1). Cette structure présente une symétrie tétragonale et présente donc un nombre réduit de paramètres par rapport à un système totalement anisotrope. Le centre circulaire de la maille élémentaire est relié par de fines barres permettant au centre, plus lourd, de se déplacer facilement, ce qui donne lieu à des phénomènes de résonance locale de fréquences relativement basses, tout en offrant un comportement macro-matériau très souple.  Cet article est   sous licence CC BY 4.0 DEED.  disponible sur arxiv

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