```html Συγγραφείς: Jun Gao, NVIDIA, University of Toronto, Vector Institute (jung@nvidia.com) Tianchang Shen, NVIDIA, University of Toronto, Vector Institute (frshen@nvidia.com) Zian Wang, NVIDIA, University of Toronto, Vector Institute (zianw@nvidia.com) Wenzheng Chen, NVIDIA, University of Toronto, Vector Institute (wenzchen@nvidia.com) Kangxue Yin, NVIDIA (kangxuey@nvidia.com) Daiqing Li, NVIDIA (daiqingl@nvidia.com) Or Litany, NVIDIA (olitany@nvidia.com) Zan Gojcic, NVIDIA (zgojcic@nvidia.com) Sanja Fidler, NVIDIA, University of Toronto, Vector Institute (sfidler@nvidia.com) Περίληψη Καθώς διάφοροι κλάδοι κινούνται προς τη μοντελοποίηση τεράστιων 3D εικονικών κόσμων, η ανάγκη για εργαλεία δημιουργίας περιεχομένου που μπορούν να κλιμακωθούν ως προς την ποσότητα, την ποιότητα και την ποικιλομορφία του 3D περιεχομένου γίνεται εμφανής. Στην εργασία μας, στοχεύουμε στην εκπαίδευση αποδοτικών 3D γενετικών μοντέλων που συνθέτουν υφασμένα πλέγματα που μπορούν να καταναλωθούν απευθείας από 3D μηχανές απόδοσης, καθιστώντας τα έτσι άμεσα χρησιμοποιήσιμα σε εφαρμογές κατάντη. Προηγούμενες εργασίες σε 3D γενετική μοντελοποίηση είτε στερούνται γεωμετρικών λεπτομερειών, είτε περιορίζονται στην τοπολογία πλέγματος που μπορούν να παράγουν, είτε συνήθως δεν υποστηρίζουν υφές, είτε χρησιμοποιούν νευρωνικούς αποδιδωτές στη διαδικασία σύνθεσης, γεγονός που καθιστά τη χρήση τους σε κοινά 3D λογισμικά μη τετριμμένη. Σε αυτή την εργασία, παρουσιάζουμε το GET3D, ένα ενετικό μοντέλο που παράγει απευθείας μφανή φασμένα πλέγματα με σύνθετη τοπολογία, πλούσιες γεωμετρικές λεπτομέρειες και υφές υψηλής πιστότητας. Γεφυρώνουμε την πρόσφατη επιτυχία στη διαφορίσιμη μοντελοποίηση επιφανειών, τη διαφορίσιμη απόδοση, καθώς και τα 2D Δικτυακά Ανταγωνιστικά Δίκτυα (GANs) για να εκπαιδεύσουμε το μοντέλο μας από συλλογές 2D εικόνων. Το GET3D είναι σε θέση να παράγει υψηλής ποιότητας 3D υφασμένα πλέγματα, που κυμαίνονται από αυτοκίνητα, καρέκλες, ζώα, μοτοσικλέτες και ανθρώπινους χαρακτήρες έως κτίρια, επιτυγχάνοντας σημαντικές βελτιώσεις σε σχέση με προηγούμενες μεθόδους. Η σελίδα του έργου μας: G E U 3D https://nv-tlabs.github.io/GET3D 1 Εισαγωγή Το ποικίλο, υψηλής ποιότητας 3D περιεχόμενο γίνεται όλο και πιο σημαντικό για διάφορους κλάδους, συμπεριλαμβανομένων των τυχερών παιχνιδιών, της ρομποτικής, της αρχιτεκτονικής και των κοινωνικών πλατφορμών. Ωστόσο, η χειροκίνητη δημιουργία 3D περιουσιακών στοιχείων είναι χρονοβόρα και απαιτεί συγκεκριμένες τεχνικές γνώσεις, καθώς και δεξιότητες μοντελοποίησης. Μία από τις κύριες προκλήσεις είναι η κλίμακα – ενώ μπορεί κανείς να βρει 3D μοντέλα σε 3D αγορές όπως το Turbosquid [ ] ή το Sketchfab [ ], η δημιουργία πολλών 3D μοντέλων για, ας πούμε, την πλήρωση ενός παιχνιδιού ή μιας ταινίας με ένα πλήθος διαφορετικών χαρακτήρων, εξακολουθεί να απαιτεί σημαντικό χρόνο καλλιτέχνη. 4 3 Για να διευκολυνθεί η διαδικασία δημιουργίας περιεχομένου και να γίνει προσιτή σε μια ποικιλία (αρχάριων) χρηστών, τα γενετικά 3D δίκτυα που μπορούν να παράγουν υψηλής ποιότητας και ποικίλα 3D περιουσιακά στοιχεία έχουν γίνει πρόσφατα ενεργό πεδίο έρευνας [ , , , , , , , , , , ]. Ωστόσο, για να είναι πρακτικά χρήσιμα για τις τρέχουσες εφαρμογές στον πραγματικό κόσμο, τα 3D γενετικά μοντέλα θα πρέπει ιδανικά να πληρούν τις ακόλουθες απαιτήσεις: Πρέπει να έχουν την ικανότητα να παράγουν σχήματα με λεπτομερή γεωμετρία και αυθαίρετη τοπολογία, Η έξοδος πρέπει να είναι ένα υφασμένο πλέγμα, το οποίο είναι η κύρια αναπαράσταση που χρησιμοποιείται από τυπικά πακέτα λογισμικού γραφικών όπως το Blender [ ] και το Maya [ ], και Θα πρέπει να είμαστε σε θέση να αξιοποιήσουμε 2D εικόνες για επίβλεψη, καθώς είναι πιο ευρέως διαθέσιμες από τα ρητά 3D σχήματα. 5 14 43 46 53 68 75 60 59 69 23 (α) (β) 15 1 (γ) Προηγούμενες εργασίες σε 3D γενετική μοντελοποίηση έχουν επικεντρωθεί σε υποσύνολα των παραπάνω απαιτήσεων, αλλά καμία μέθοδος μέχρι σήμερα δεν τις ικανοποιεί όλες (Πίνακας ). Για παράδειγμα, μέθοδοι που παράγουν 3D νέφη σημείων [ , 68, 75] συνήθως δεν παράγουν υφές και πρέπει να μετατραπούν σε πλέγμα σε μετα-επεξεργασία. 1 5 Μέθοδοι που παράγουν voxels συχνά στερούνται γεωμετρικών λεπτομερειών και δεν παράγουν υφή [ , , , ]. Γενετικά μοντέλα που βασίζονται σε νευρωνικά πεδία [ , ] εστιάζουν στην εξαγωγή γεωμετρίας αλλά παραβλέπουν την υφή. Τα περισσότερα από αυτά απαιτούν επίσης ρητή 3D επίβλεψη. Τέλος, μέθοδοι που παράγουν απευθείας υφασμένα 3D πλέγματα [ , ] συνήθως απαιτούν προκαθορισμένα πρότυπα σχήματος και δεν μπορούν να παράγουν σχήματα με σύνθετη τοπολογία και μεταβλητή γένος. 66 20 27 40 43 14 54 53 Πρόσφατα, η ραγδαία πρόοδος στη νευρωνική απόδοση όγκου [ ] και στα 2D Δικτυακά Ανταγωνιστικά Δίκτυα (GANs) [ , , , , ] έχει οδηγήσει στην άνοδο της 3D-συνειδητής σύνθεσης εικόνων [ , , , , , ]. Ωστόσο, αυτή η γραμμή εργασίας στοχεύει στη σύνθεση εικόνων συνεπών σε πολλαπλές όψεις χρησιμοποιώντας νευρωνική απόδοση στη διαδικασία σύνθεσης και δεν εγγυάται ότι μπορούν να παραχθούν ουσιαστικά 3D σχήματα. Ενώ ένα πλέγμα μπορεί δυνητικά να ληφθεί από την υποκείμενη αναπαράσταση νευρωνικού πεδίου χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο marching cube [ ], η εξαγωγή της αντίστοιχης υφής δεν είναι τετριμμένη. 45 34 35 33 29 52 7 57 8 49 51 25 39 Στην εργασία μας, παρουσιάζουμε μια νέα προσέγγιση που στοχεύει στην αντιμετώπιση όλων των απαιτήσεων ενός πρακτικά χρήσιμου 3D γενετικού μοντέλου. Συγκεκριμένα, προτείνουμε το GET3D, ένα ενετικό μοντέλο για 3D σχήματα που παράγει απευθείας μφανή φασμένα πλέγματα με υψηλή γεωμετρική και υφασματική λεπτομέρεια και αυθαίρετη τοπολογία πλέγματος. Στην καρδιά της προσέγγισής μας βρίσκεται μια γενετική διαδικασία που χρησιμοποιεί μια διαφορίσιμη μέθοδο εξαγωγής επιφάνειας [ ] και μια τεχνική διαφορίσιμης απόδοσης [ , ]. Η πρώτη μας επιτρέπει να βελτιστοποιήσουμε απευθείας και να παράγουμε υφασμένα 3D πλέγματα με αυθαίρετη τοπολογία, ενώ η δεύτερη μας επιτρέπει να εκπαιδεύσουμε το μοντέλο μας με 2D εικόνες, αξιοποιώντας έτσι ισχυρούς και ώριμους διακριτές που αναπτύχθηκαν για 2D σύνθεση εικόνων. Δεδομένου ότι το μοντέλο μας παράγει απευθείας πλέγματα και χρησιμοποιεί έναν ιδιαίτερα αποδοτικό (διαφορίσιμο) γραφικό αποδιδωτή, μπορούμε εύκολα να κλιμακώσουμε το μοντέλο μας για να εκπαιδεύεται με ανάλυση εικόνας έως και 1024 × 1024, επιτρένοντάς μας να μάθουμε υψηλής ποιότητας γεωμετρικές και υφασματικές λεπτομέρειες. G E U 3D εμφανούς 60 47 37 Επιδεικνύουμε κορυφαίες επιδόσεις για ασυνάρτητη σύνθεση 3D σχήματος σε πολλαπλές κατηγορίες με σύνθετη γεωμετρία από το ShapeNet [ ], το Turbosquid [ ] και το Renderpeople [ ], όπως καρέκλες, μοτοσικλέτες, αυτοκίνητα, ανθρώπινους χαρακτήρες και κτίρια. Με το εμφανές πλέγμα ως αναπαράσταση εξόδου, το GET3D είναι επίσης πολύ ευέλικτο και μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί σε άλλες εργασίες, συμπεριλαμβανομένων: εκμάθηση παραγωγής διασπασμένων υλικών και φαινομένων φωτισμού ανάλογα με την όψη χρησιμοποιώντας προηγμένη διαφορίσιμη απόδοση [ ], χωρίς επίβλεψη, σύνθεση 3D σχημάτων καθοδηγούμενη από κείμενο χρησιμοποιώντας το embedding CLIP [ ]. 9 4 2 (α) 12 (β) 56 2 Σχετική Εργασία Εξετάζουμε τις πρόσφατες εξελίξεις σε 3D γενετικά μοντέλα για γεωμετρία και εμφάνιση, καθώς και 3D-συνειδητή γενετική σύνθεση εικόνων. Τα τελευταία χρόνια, τα 2D γενετικά μοντέλα έχουν επιτύχει φωτορεαλιστική ποιότητα στη σύνθεση εικόνων υψηλής ανάλυσης [ , , , , , , ]. Αυτή η πρόοδος έχει εμπνεύσει επίσης την έρευνα στη δημιουργία 3D περιεχομένου. Πρώιμες προσεγγίσεις είχαν ως στόχο την επέκταση των 2D CNN γεννητριών σε 3D πλέγματα voxels [ , , , , ], αλλά το υψηλό αποτύπωμα μνήμης και η υπολογιστική πολυπλοκότητα των 3D συνελίξεων εμποδίζουν τη διαδικασία παραγωγής σε υψηλή ανάλυση. Ως εναλλακτική λύση, άλλες εργασίες έχουν διερευνήσει αναπαραστάσεις νέφους σημείων [ , , , ], υποδείξεις [ , ] ή octree [ ]. Ωστόσο, αυτές οι εργασίες επικεντρώνονται κυρίως στην παραγωγή γεωμετρίας και παραβλέπουν την εμφάνιση. Οι αναπαραστάσεις εξόδου τους χρειάζονται επίσης μετα-επεξεργασία για να γίνουν συμβατές με τις τυπικές μηχανές γραφικών. 3D Γενετικά Μοντέλα 34 35 33 52 29 19 16 66 20 27 40 62 5 68 75 46 43 14 30 Πιο παρόμοιες με την εργασία μας, το Textured3DGAN [ , ] και το DIBR [ ] παράγουν υφασμένα 3D πλέγματα, αλλά διατυπώνουν την παραγωγή ως παραμόρφωση ενός προτύπου πλέγματος, το οποίο τα εμποδίζει από την παραγωγή σύνθετης τοπολογίας ή σχημάτων με μεταβαλλόμενο γένος, κάτι που η μέθοδός μας μπορεί να κάνει. Το PolyGen [ ] και το SurfGen [ ] μπορούν να παράγουν πλέγματα με αυθαίρετη τοπολογία, αλλά δεν συνθέτουν υφές. 54 53 11 48 41 Εμπνευσμένη από την επιτυχία της νευρωνικής απόδοσης όγκου [ ] και των υποδεικτικών αναπαραστάσεων [ , ], η πρόσφατη εργασία άρχισε να αντιμετωπίζει το πρόβλημα της 3D-συνειδητής σύνθεσης εικόνων [ , , , , , , , , , ]. Ωστόσο, τα νευρωνικά δίκτυα απόδοσης όγκου είναι συνήθως αργά στην ερώτηση, οδηγώντας σε μεγάλους χρόνους εκπαίδευσης [ , ] και παράγουν εικόνες περιορισμένης ανάλυσης. Το GIRAFFE [ ] και το StyleNerf [ ] βελτιώνουν την απόδοση εκπαίδευσης και απόδοσης κάνοντας νευρωνική απόδοση σε χαμηλότερη ανάλυση και στη συνέχεια αυξάνοντας τα αποτελέσματα με ένα 2D CNN. Ωστόσο, το κέρδος στην απόδοση έρχεται με κόστος μειωμένης συνέπειας πολλαπλών όψεων. Χρησιμοποιώντας έναν διπλό διακριτή, το EG3D [ ] μπορεί να μετριάσει εν μέρει αυτό το πρόβλημα. Παρόλα αυτά, η εξαγωγή μιας υφασμένης επιφάνειας από μεθόδους που βασίζονται σε νευρωνική απόδοση είναι ένα μη τετριμμένο εγχείρημα. Αντίθετα, το GET3D παράγει απευθείας υφασμένα 3D πλέγματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα σε τυπικές μηχανές γραφικών. 3D-Συνειδητή Γενετική Σύνθεση Εικόνων 45 43 14 7 57 49 26 25 76 8 51 58 67 7 57 49 25 8 3 Μέθοδος Παρουσιάζουμε τώρα το πλαίσιο GET3D για τη σύνθεση υφασμένων 3D σχημάτων. Η διαδικασία παραγωγής μας χωρίζεται σε δύο μέρη: ένα γεωμετρικό κλάδο, ο οποίος διαφορίσιμα παράγει ένα πλέγμα επιφάνειας αυθαίρετης τοπολογίας, και έναν κλάδο υφής που παράγει ένα πεδίο υφής που μπορεί να ερωτηθεί στα σημεία της επιφάνειας για να παραχθούν χρώματα. Το τελευταίο μπορεί να επεκταθεί σε άλλες ιδιότητες επιφανειών, όπως για παράδειγμα υλικά (Ενότητα ). Κατά την εκπαίδευση, χρησιμοποιείται ένας αποδοτικός διαφορίσιμος ραστεροποιητής για την απόδοση του παραγόμενου υφασμένου πλέγματος σε 2D εικόνες υψηλής ανάλυσης. Ολόκληρη η διαδικασία είναι διαφορίσιμη, επιτρέποντας την ανταγωνιστική εκπαίδευση από εικόνες (με μάσκες που υποδεικνύουν ένα αντικείμενο ενδιαφέροντος) μεταδίδοντας τις κλίσεις από τον 2D διακριτή στους δύο κλάδους γεννήτριας. Το μοντέλο μας απεικονίζεται στο Σχ. . Στη συνέχεια, εισάγουμε πρώτα τη γεννήτρια 3D στην Ενότητα , προτού προχωρήσουμε στη διαφορίσιμη απόδοση και τις συναρτήσεις απώλειας στην Ενότητα . 4.3.1 2 3.1 3.2 3.1 Γενετικό Μοντέλο 3D Υφασμένων Πλεγμάτων Στοχεύουμε να μάθουμε μια 3D γεννήτρια = ( ) για να αντιστοιχίσουμε ένα δείγμα από μια κανονική κατανομή M, E G z ∈ N (0*,* ) σε ένα πλέγμα με υφή . z I M E Δεδομένου ότι η ίδια γεωμετρία μπορεί να έχει διαφορετικές υφές, και η ίδια υφή μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικές γεωμετρίες, δειγματίζουμε δύο τυχαία διανύσματα εισόδου 1 ∈ R512 και 2 ∈ R512. Ακολουθώντας το StyleGAN [ , , ], χρησιμοποιούμε μη γραμμικά δίκτυα αντιστοίχισης geo και tex για να αντιστοιχίσουμε τα 1 και 2 σε ενδιάμεσα λανθάνοντα διανύσματα 1 = geo( 1) και 2 = tex( 2) τα οποία χρησιμοποιούνται περαιτέρω για την παραγωγή που ελέγχουν την παραγωγή 3D σχημάτων και υφής, αντίστοιχα. Εισάγουμε επίσημα τη γεννήτρια γεωμετρίας στην Ενότητα και τη γεννήτρια υφής στην Ενότητα . z z 34 35 33 f f z z w f z w f z στυλ 3.1.1 3.1.2 3.1.1 Γεννήτρια Γεωμετρίας Σχεδιάζουμε τη γεννήτρια γεωμετρίας μας για να ενσωματώσουμε το DMTet [ ], μια πρόσφατα προτεινόμενη διαφορίσιμη αναπαράσταση επιφάνειας. Το DMTet αναπαριστά τη γεωμετρία ως ένα πεδίο απόστασης σημαίας (SDF) ορισμένο σε ένα παραμορφώσιμο τετραεδρικό πλέγμα [ , ], από το οποίο η επιφάνεια μπορεί να ανακτηθεί διαφορίσιμα μέσω marching tetrahedra [ ]. Η παραμόρφωση του πλέγματος μετακινώντας τις κορυφές του οδηγεί σε καλύτερη αξιοποίηση της ανάλυσής του. Υιοθετώντας το DMTet για εξαγωγή επιφάνειας, μπορούμε να παράγουμε εμφανή πλέγματα με αυθαίρετη τοπολογία και γένος. Παραθέτουμε στη συνέχεια μια σύντομη περίληψη του DMTet και παραπέμπουμε τον αναγνώστη στην αρχική εργασία για περισσότερες λεπτομέρειες. 60 22 24 17 Έστω ( ) η πλήρης 3D χώρος όπου βρίσκεται το αντικείμενο, όπου είναι οι κορυφές στο τετραεδρικό πλέγμα . Κάθε τετράεδρο ∈ ορίζεται χρησιμοποιώντας τέσσερις κορυφές { }, με ∈ {1*, . . . , K*}, όπου είναι ο συνολικός αριθμός των τετραέδρων, και ∈ ∈ R3. Εκτός από τις 3D συντεταγμένες του , κάθε κορυφή περιέχει την τιμή SDF ∈ R και την παραμόρφωση ∆ ∈ R3 της κορυφής από την αρχική της κανονική συντεταγμένη. Αυτή η αναπαράσταση επιτρέπει την ανάκτηση του εμφανές πλέγματος μέσω διαφορίσιμης μεθόδου marching tetrahedra [ ], όπου οι τιμές SDF στον συνεχή χώρο υπολογίζονται μέσω βαθυκεντρικής παρεμβολής της τιμής τους στις παραμορφωμένες κορυφές ′ = + ∆ . VT , T VT T Tk T v ak , v bk , v ck , v dk k K v ik VT , v ik i v i si v i 60 si v v i v i Αντιστοιχίζουμε το 1 ∈ R512 σε τιμές SDF και παραμορφώσεις σε κάθε κορυφή μέσω μιας σειράς υπό συνθήκη 3D συνελικτικών και πλήρως συνδεδεμένων επιπέδων. Συγκεκριμένα, πρώτα χρησιμοποιούμε 3D συνελικτικά επίπεδα για να παραγάγουμε έναν όγκο χαρακτηριστικών υπό συνθήκη του 1. Στη συνέχεια, ερωτούμε το χαρακτηριστικό σε κάθε κορυφή ∈ χρησιμοποιώντας τριγραμμική παρεμβολή και το τροφοδοτούμε σε MLPs που παράγουν την τιμή SDF και την παραμόρφωση ∆ . Σε περιπτώσεις όπου απαιτείται μοντελοποίηση σε υψηλή ανάλυση (π.χ. μοτοσικλέτα με λεπτές δομές στους τροχούς), χρησιμοποιούμε περαιτέρω υποδιαίρεση όγκου ακολουθώντας το [ ]. Αρχιτεκτονική Δικτύου w v i w v i VT si v i 60 Αφού λάβουμε τα και ∆ για όλες τις κορυφές, χρησιμοποιούμε τον διαφορίσιμο αλγόριθμο marching tetrahedra για να εξαγάγουμε το εμφανές πλέγμα. Η μέθοδος marching tetrahedra καθορίζει την τοπολογία της επιφάνειας μέσα σε κάθε τετράεδρο βάσει των σημείων των . Συγκεκριμένα, ένα πλέγμα όψης εξάγεται όταν sign( ) /= sign( ), όπου δηλώνουν τους δείκτες των κορυφών στην ακμή του τετραέδρου, και οι κορυφές αυτής της όψης καθορίζονται από μια γραμμική παρεμβολή ως mi,j = v 0 i sj−v 0 j si sj−si . Σημειώστε ότι η παραπάνω εξίσωση αξιολογείται μόνο όταν si 6= sj , επομένως είναι διαφορίσιμη, και η κλίση από το mi,j μπορεί να αντιστραφεί προς τις τιμές SDF si και τις παραμορφώσεις ∆vi . Με αυτή την αναπαράσταση, σχήματα με αυθαίρετη τοπολογία μπορούν να παραχθούν εύκολα προβλέποντας διαφορετικά σημάδια των si . Διαφορίσιμη Εξαγωγή Πλέγματος si v i si si sj i, j m i,j 3.1.2 Γεννήτρια Υφής Η απευθείας παραγωγή ενός χάρτη υφής συνεπή με το παραγόμενο πλέγμα δεν είναι τετριμμένη, καθώς το παραγόμενο σχήμα μπορεί να έχει αυθαίρετο γένος και τοπολογία. Έτσι, παραμετροποιούμε την υφή ως πεδίο υφής [ ]. 50 Συγκεκριμένα, μοντελοποιούμε το πεδίο υφής με μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει την 3D θέση ενός σημείου επιφάνειας ∈ R3, υπό συνθήκη του 2, στο χρώμα RGB ∈ R3 σε αυτή τη θέση. Δεδομένου ότι το πεδίο υφής εξαρτάται από τη γεωμετρία, επιπλέον υπό συνθήκη αυτής της αντιστοίχισης στην λανθάνουσα κωδικοποίηση γεωμετρίας 1, ώστε = ( *,* 1 ⊕ 2), όπου ⊕ δηλώνει συνένωση. ft p w c w c ft p w w Αναπαριστούμε το πεδίο υφής μας χρησιμοποιώντας μια αναπαράσταση τριών επιπέδων, η οποία είναι αποδοτική και εκφραστική στην ανακατασκευή 3D αντικειμένων [ ] και στην παραγωγή 3D-συνειδητών εικόνων [ ]. Συγκεκριμένα, ακολουθούμε [ , ] και χρησιμοποιούμε ένα υπό συνθήκη 2D συνελικτικό νευρωνικό δίκτυο για να αντιστοιχίσουμε τον λανθάνοντα κωδικό 1 ⊕ 2 σε τρία άξονα-ευθυγραμμισμένα ορθογώνια επίπεδα χαρακτηριστικών μεγέθους × × ( × 3), όπου = 256 δηλώνει τη χωρική ανάλυση και = 32 τον αριθμό των καναλιών. Αρχιτεκτονική Δικτύου 55 8 8 35 w w N N C N C Δεδομένων των επιπέδων χαρακτηριστικών, το διάνυσμα χαρακτηριστικών f t ∈ R 32 ενός σημείου επιφάνειας p μπορεί να ανακτηθεί ως f t = P e ρ(πe(p)), όπου πe(p) είναι η προβολή του σημείου p στο επίπεδο χαρακτηριστικών e
