```html Συγγραφείς: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Περίληψη Η συσσώρευση φυσικών σφαλμάτων , , εμποδίζει την εκτέλεση αλγορίθμων μεγάλης κλίμακας σε τρέχοντες κβαντικούς υπολογιστές. Η διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων υπόσχεται μια λύση κωδικοποιώντας λογικά qubits σε έναν μεγαλύτερο αριθμό φυσικών qubits, έτσι ώστε τα φυσικά σφάλματα να καταστέλλονται επαρκώς ώστε να επιτρέπεται η εκτέλεση μιας επιθυμητής υπολογισμού με ανεκτή πιστότητα. Η διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων γίνεται πρακτικά εφικτή μόλις το ποσοστό φυσικών σφαλμάτων είναι κάτω από μια τιμή κατωφλίου που εξαρτάται από την επιλογή του κβαντικού κώδικα, του κυκλώματος μέτρησης συνδρόμου και του αλγορίθμου αποκωδικοποίησης . Παρουσιάζουμε ένα πρωτόκολλο διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων από άκρο σε άκρο που υλοποιεί μνήμη ανθεκτική σε σφάλματα στη βάση μιας οικογένειας κωδίκων χαμηλής πυκνότητας συνάρτησης ελέγχου (low-density parity-check codes) . Η προσέγγισή μας επιτυγχάνει κατώφλι σφάλματος 0,7% για το τυπικό μοντέλο θορύβου βάσει κυκλώματος, ισάξιο με τον κώδικα επιφάνειας , , , που για 20 χρόνια ήταν ο κορυφαίος κώδικας όσον αφορά το κατώφλι σφάλματος. Ο κύκλος μέτρησης συνδρόμου για έναν κώδικα μήκους στην οικογένειά μας απαιτεί βοηθητικά qubits και ένα κύκλωμα βάθους 8 με πύλες CNOT, αρχικοποιήσεις qubits και μετρήσεις. Η απαιτούμενη συνδεσιμότητα qubits είναι ένα γράφημα βαθμού 6 που αποτελείται από δύο υπο-γραφήματα επιπέδου χωρίς ακμές. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι 12 λογικά qubits μπορούν να διατηρηθούν για σχεδόν 1 εκατομμύριο κύκλους συνδρόμου χρησιμοποιώντας συνολικά 288 φυσικά qubits, υποθέτοντας ποσοστό φυσικού σφάλματος 0,1%, ενώ ο κώδικας επιφάνειας θα απαιτούσε σχεδόν 3.000 φυσικά qubits για να επιτύχει την εν λόγω απόδοση. Τα ευρήματά μας φέρνουν τις επιδείξεις μνήμης κβαντικής ανθεκτικής σε σφάλματα χαμηλού κόστους εντός της εμβέλειας των κβαντικών επεξεργαστών εγγύς μέλλοντος. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Κύριο Μέρος Ο κβαντικός υπολογισμός προσέλκυσε προσοχή λόγω της ικανότητάς του να προσφέρει ασυμπτωτικά ταχύτερες λύσεις σε ένα σύνολο υπολογιστικών προβλημάτων σε σύγκριση με τους καλύτερους γνωστούς κλασικούς αλγορίθμους . Πιστεύεται ότι ένας λειτουργικός κλιμακούμενος κβαντικός υπολογιστής μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων σε τομείς όπως η επιστημονική ανακάλυψη, η έρευνα υλικών, η χημεία και ο σχεδιασμός φαρμάκων, για να αναφέρουμε μόνο μερικά , , , . 5 11 12 13 14 Το κύριο εμπόδιο στην κατασκευή ενός κβαντικού υπολογιστή είναι η ευθραυστότητα της κβαντικής πληροφορίας, λόγω διαφόρων πηγών θορύβου που την επηρεάζουν. Καθώς η απομόνωση ενός κβαντικού υπολογιστή από εξωτερικές επιδράσεις και ο έλεγχός του για την πρόκληση μιας επιθυμητής υπολογισμού έρχονται σε σύγκρουση μεταξύ τους, ο θόρυβος φαίνεται αναπόφευκτος. Οι πηγές θορύβου περιλαμβάνουν ατέλειες στα qubits, στα υλικά που χρησιμοποιούνται, στον εξοπλισμό ελέγχου, σφάλματα προετοιμασίας κατάστασης και μέτρησης, καθώς και μια ποικιλία εξωτερικών παραγόντων που κυμαίνονται από τοπικούς τεχνητούς, όπως παρεμβαλλόμενα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, έως αυτούς που είναι εγγενείς στο Σύμπαν, όπως η κοσμική ακτινοβολία. Δείτε τη δημοσίευση για μια σύνοψη. Ενώ ορισμένες πηγές θορύβου μπορούν να εξαλειφθούν με καλύτερο έλεγχο , υλικά και θωράκιση , , , αρκετές άλλες πηγές φαίνεται να είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να αφαιρεθούν. Η τελευταία κατηγορία μπορεί να περιλαμβάνει αυθόρμητη και διεγερμένη εκπομπή σε παγιδευμένα ιόντα , , και την αλληλεπίδραση με το λουτρό (φαινόμενο Purcell) σε υπεραγώγιμα κυκλώματα — καλύπτοντας και τις δύο κορυφαίες κβαντικές τεχνολογίες. Έτσι, η διόρθωση σφαλμάτων γίνεται βασική απαίτηση για την κατασκευή ενός λειτουργικού κλιμακούμενου κβαντικού υπολογιστή. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Η δυνατότητα κβαντικής ανθεκτικότητας σε σφάλματα είναι καλά τεκμηριωμένη . Η κωδικοποίηση ενός λογικού qubit πλεοναστικά σε πολλά φυσικά qubits επιτρέπει τη διάγνωση και διόρθωση σφαλμάτων με επαναλαμβανόμενη μέτρηση συνδρόμων τελεστών ελέγχου ισοτιμίας. Ωστόσο, η διόρθωση σφαλμάτων είναι ωφέλιμη μόνο εάν το ποσοστό σφάλματος του υλικού είναι κάτω από μια ορισμένη τιμή κατωφλίου που εξαρτάται από ένα συγκεκριμένο πρωτόκολλο διόρθωσης σφαλμάτων. Οι πρώτες προτάσεις για κβαντική διόρθωση σφαλμάτων, όπως οι συμπτυγμένοι κώδικες , , , επικεντρώθηκαν στην επίδειξη της θεωρητικής δυνατότητας καταστολής σφαλμάτων. Καθώς η κατανόηση της κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων και των δυνατοτήτων των κβαντικών τεχνολογιών ωρίμασε, η εστίαση μετατοπίστηκε στην εύρεση πρακτικών πρωτοκόλλων κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων. Αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη του κώδικα επιφάνειας , , , που προσφέρει υψηλό κατώφλι σφάλματος κοντά στο 1%, γρήγορους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης και συμβατότητα με τους υπάρχοντες κβαντικούς επεξεργαστές που βασίζονται σε δισδιάστατη (2D) τετράγωνη διάταξη συνδεσιμότητας qubits. Μικρά παραδείγματα του κώδικα επιφάνειας με ένα λογικό qubit έχουν ήδη αποδειχθεί πειραματικά από πολλές ομάδες , , , , . Ωστόσο, η κλιμάκωση του κώδικα επιφάνειας σε 100 ή περισσότερα λογικά qubits θα ήταν απαγορευτικά δαπανηρή λόγω της χαμηλής αποδοτικότητας κωδικοποίησής του. Αυτό αύξησε το ενδιαφέρον για πιο γενικούς κβαντικούς κώδικες γνωστούς ως κώδικες χαμηλής πυκνότητας συνάρτησης ελέγχου (LDPC) . Η πρόσφατη πρόοδος στη μελέτη των κωδίκων LDPC υποδηλώνει ότι μπορούν να επιτύχουν κβαντική ανθεκτικότητα σε σφάλματα με πολύ υψηλότερη αποδοτικότητα κωδικοποίησης . Εδώ, εστιάζουμε στη μελέτη των κωδίκων LDPC, καθώς στόχος μας είναι να βρούμε κβαντικούς κώδικες και πρωτόκολλα διόρθωσης σφαλμάτων που να είναι και αποδοτικά και δυνατά να επιδειχθούν στην πράξη, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς των τεχνολογιών κβαντικού υπολογισμού. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Ένας κβαντικός κώδικας διόρθωσης σφαλμάτων είναι τύπου LDPC εάν κάθε τελεστής ελέγχου του κώδικα δρα μόνο σε λίγα qubits και κάθε qubit συμμετέχει σε λίγους ελέγχους. Πρόσφατα έχουν προταθεί διάφορες παραλλαγές κωδίκων LDPC, συμπεριλαμβανομένων των κωδίκων υπερβολικής επιφάνειας , , , γινόμενο υπεργραφήματος , ισορροπημένοι κώδικες γινομένου , κώδικες δύο μπλοκ βασισμένοι σε πεπερασμένες ομάδες , , , και κώδικες Tanner , . Οι τελευταίοι αποδείχθηκε , ότι είναι ασυμπτωτικά «καλοί» με την έννοια της προσφοράς σταθερού ρυθμού κωδικοποίησης και γραμμικής απόστασης: μιας παραμέτρου που ποσοτικοποιεί τον αριθμό των διορθώσιμων σφαλμάτων. Αντίθετα, ο κώδικας επιφάνειας έχει ασυμπτωτικά μηδενικό ρυθμό κωδικοποίησης και μόνο απόσταση τετραγωνικής ρίζας. Η αντικατάσταση του κώδικα επιφάνειας με έναν κώδικα LDPC υψηλού ρυθμού, υψηλής απόστασης θα μπορούσε να έχει σημαντικές πρακτικές επιπτώσεις. Πρώτον, το πλεόνασμα ανθεκτικότητας σε σφάλματα (ο λόγος μεταξύ του αριθμού των φυσικών και λογικών qubits) θα μπορούσε να μειωθεί αισθητά. Δεύτερον, οι κώδικες υψηλής απόστασης δείχνουν μια πολύ απότομη μείωση του λογικού ποσοστού σφαλμάτων: καθώς η πιθανότητα φυσικού σφάλματος διασχίζει την τιμή κατωφλίου, η ποσότητα καταστολής σφαλμάτων που επιτυγχάνεται από τον κώδικα μπορεί να αυξηθεί κατά τάξεις μεγέθους ακόμη και με μια μικρή μείωση του ποσοστού φυσικού σφάλματος. Αυτό το χαρακτηριστικό καθιστά τους κώδικες LDPC υψηλής απόστασης ελκυστικούς για επιδείξεις εγγύς μέλλοντος που πιθανότατα θα λειτουργούν στο καθεστώς κοντά στο κατώφλι. Ωστόσο, προηγουμένως πιστευόταν ότι η υπέρβαση του κώδικα επιφάνειας για ρεαλιστικά μοντέλα θορύβου, συμπεριλαμβανομένων σφαλμάτων μνήμης, πύλης και προετοιμασίας κατάστασης και μέτρησης, μπορεί να απαιτεί πολύ μεγάλους κώδικες LDPC με περισσότερα από 10.000 φυσικά qubits . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Εδώ παρουσιάζουμε αρκετά συγκεκριμένα παραδείγματα κωδίκων LDPC υψηλού ρυθμού με λίγες εκατοντάδες φυσικά qubits, εξοπλισμένα με κύκλωμα μέτρησης συνδρόμου χαμηλού βάθους, έναν αποδοτικό αλγόριθμο αποκωδικοποίησης και ένα πρωτόκολλο ανθεκτικό σε σφάλματα για την αντιμετώπιση μεμονωμένων λογικών qubits. Αυτοί οι κώδικες δείχνουν κατώφλι σφάλματος κοντά στο 0,7%, δείχνουν εξαιρετική απόδοση στο καθεστώς κοντά στο κατώφλι και προσφέρουν 10 φορές μείωση του πλεονάσματος κωδικοποίησης σε σύγκριση με τον κώδικα επιφάνειας. Οι απαιτήσεις υλικού για την υλοποίηση των πρωτοκόλλων διόρθωσης σφαλμάτων μας είναι σχετικά ήπιες, καθώς κάθε φυσικό qubit συνδέεται με πύλες δύο qubits με μόνο έξι άλλα qubits. Παρόλο που το γράφημα συνδεσιμότητας qubits δεν ενσωματώνεται τοπικά σε ένα πλέγμα 2D, μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο επιπέδο διακριτά υπο-γραφήματα. Όπως υποστηρίζουμε παρακάτω, μια τέτοια συνδεσιμότητα qubits είναι κατάλληλη για αρχιτεκτονικές βασισμένες σε υπεραγώγιμα qubits. Οι κώδικοί μας είναι μια γενίκευση των ποδηλατικών κωδίκων που προτάθηκαν από τους MacKay et al. και μελετήθηκαν σε μεγαλύτερο βάθος στις δημοσιεύσεις , , . Ονομάσαμε τους κώδικές μας διμεταβλητούς ποδηλατικούς (bivariate bicycle - BB) επειδή βασίζονται σε διμεταβλητά πολυώνυμα, όπως λεπτομερώς περιγράφεται στις . Αυτοί είναι σταθεροποιητικοί κώδικες τύπου Calderbank–Shor–Steane (CSS) , που μπορούν να περιγραφούν από μια συλλογή τελεστών ελέγχου έξι qubits (σταθεροποιητών) που αποτελούνται από τελεστές Pauli και . Σε γενικές γραμμές, ένας κώδικας BB είναι παρόμοιος με τον δισδιάστατο κώδικα τορικού . Συγκεκριμένα, τα φυσικά qubits ενός κώδικα BB μπορούν να τοποθετηθούν σε μια δισδιάστατη διάταξη με περιοδικές οριακές συνθήκες έτσι ώστε όλοι οι τελεστές ελέγχου να προκύπτουν από ένα μόνο ζεύγος ελέγχων και με εφαρμογή οριζόντιων και κάθετων μετατοπίσεων της διάταξης. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους σταθεροποιητές πλαισίου και κορυφής που περιγράφουν τον κώδικα τορικού, οι τελεστές ελέγχου των κωδίκων BB δεν είναι γεωμετρικά τοπικοί. Επιπλέον, κάθε έλεγχος δρα σε έξι qubits αντί για τέσσερα. Θα περιγράψουμε τον κώδικα μέσω ενός γραφήματος Tanner έτσι ώστε κάθε κορυφή του να αντιπροσωπεύει είτε ένα qubit δεδομένων είτε έναν τελεστή ελέγχου. Μια κορυφή ελέγχου και μια κορυφή δεδομένων συνδέονται με μια ακμή εάν ο -οστός τελεστής ελέγχου δρα μη τετριμμένα στο -οστό qubit δεδομένων (με την εφαρμογή Pauli ή ). Δείτε το Σχ. για παραδείγματα γραφημάτων Tanner κώδικα επιφάνειας και BB, αντίστοιχα. Το γράφημα Tanner οποιουδήποτε κώδικα BB έχει βαθμό κορυφής έξι και πάχος γραφήματος ίσο με δύο, που σημαίνει ότι μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο επιπέδο διακριτά υπο-γραφήματα ( ). Η συνδεσιμότητα qubits πάχους-2 είναι κατάλληλη για υπεραγώγιμα qubits που συνδέονται με μικροκυματικούς συντονιστές. Για παράδειγμα, δύο επίπεδα συνδετήρων και οι γραμμές ελέγχου τους μπορούν να συνδεθούν στην κορυφή και στο κάτω μέρος του τσιπ που φιλοξενεί τα qubits, και οι δύο πλευρές να ενωθούν. 41 35 36 42 Μεθόδους 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Μέθοδοι , Γράφημα Tanner ενός κώδικα επιφάνειας, για σύγκριση. , Γράφημα Tanner ενός κώδικα BB με παραμέτρους [[144, 12, 12]] ενσωματωμένο σε έναν τόρο. Κάθε ακμή του γραφήματος Tanner συνδέει μια κορυφή δεδομένων και μια κορυφή ελέγχου. Τα qubits δεδομένων που σχετίζονται με τα μητρώα ( ) και ( ) φαίνονται με μπλε και πορτοκαλί κύκλους. Κάθε κορυφή έχει έξι εισερχόμενες ακμές, συμπεριλαμβανομένων τεσσάρων ακμών μικρής εμβέλειας (που δείχνουν βόρεια, νότια, ανατολικά και δυτικά) και δύο ακμών μεγάλης εμβέλειας. Δείχνουμε μόνο μερικές ακμές μεγάλης εμβέλειας για να αποφύγουμε την ακαταστασία. Οι διακεκομμένες και συνεχείς ακμές υποδεικνύουν δύο επίπεδο υπο-γραφήματα που καλύπτουν το γράφημα Tanner, δείτε τις . , Σκίτσο μιας επέκτασης γραφήματος Tanner για τη μέτρηση και σύμφωνα με τη δημοσίευση , συνδεδεμένο σε έναν κώδικα επιφάνειας. Το βοηθητικό που αντιστοιχεί στη μέτρηση μπορεί να συνδεθεί με έναν κώδικα επιφάνειας, επιτρέποντας λειτουργίες φόρτωσης-αποθήκευσης για όλα τα λογικά qubits μέσω κβαντικής τηλεμεταφοράς και ορισμένων λογικών μονοτάξεων. Αυτό το εκτεταμένο γράφημα Tanner έχει επίσης μια υλοποίηση σε αρχιτεκτονική πάχους-2 μέσω των ακμών και ( ). α β q L q R Μεθόδους γ 50 A B Μέθοδοι Ένας κώδικας BB με παραμέτρους [[ , , ]] κωδικοποιεί λογικά qubits σε qubits δεδομένων προσφέροντας απόσταση κώδικα , που σημαίνει ότι κάθε λογικό σφάλμα καλύπτει τουλάχιστον qubits δεδομένων. Χωρίζουμε τα qubits δεδομένων σε μητρώα ( ) και ( ) μεγέθους /2 το καθένα. Κάθε έλεγχος δρα σε τρία qubits από το ( ) και τρία qubits από το ( ). Ο κώδικας βασίζεται σε βοηθητικά qubits ελέγχου για τη μέτρηση του συνδρόμου σφάλματος. Χωρίζουμε τα qubits ελέγχου σε μητρώα ( ) και ( ) μεγέθους /2 που συλλέγουν συνδρόμους τύπου και , αντίστοιχα. Συνολικά, η κωδικοποίηση βασίζεται σε 2 φυσικά qubits. Ο καθαρός ρυθμός κωδικοποίησης είναι επομένως = /(2 ). Για παράδειγμα, η τυπική αρχιτεκτονική κώδικα επιφάνειας κωδικοποιεί = 1 λογικό qubit σε = qubits δεδομένων για έναν κώδικα απόστασης και χρησιμοποιεί -1 qubits ελέγχου για μετρήσεις συνδρόμου. Ο καθαρός ρυθμός κωδικοποίησης είναι ≈ 1/(2 ), ο οποίος γρήγορα γίνεται μη πρακτικός καθώς κάποιος αναγκάζεται να επιλέξει μια μεγάλη απόσταση κώδικα, λόγω, για παράδειγμα, των φυσικών σφαλμάτων που είναι κοντά στην τιμή κατωφλίου. Αντίθετα, οι κώδικες BB έχουν ρυθμό κωδικοποίησης ≫ 1/ , δείτε τον Πίνακα n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1
