Kombinatorik der linearen Stabilität für Hamiltonsysteme beliebiger Dimension: Einführung

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• Abstrakt
• Einführung
• Vorbemerkungen
• Die B-Signatur
• GIT-Sequenz: niedrige Dimensionen
• GIT-Sequenz: beliebige Dimension
• Anhang A. Stabilität, Krein-Moser-Theorem, Verfeinerungen und Referenzen

1. Einleitung

Die Stabilität periodischer Umlaufbahnen ist ein zentrales Thema bei der Untersuchung von Hamiltonschen Systemen, das auf das Problem der Stabilität des Sonnensystems in der Himmelsmechanik zurückgeht. Der Begriff der Stabilität ist bei der Untersuchung von Differentialgleichungen allgegenwärtig und taucht immer dann auf, wenn Umlaufbahnen in Familien und deren Aufzweigungen untersucht werden, eine Praxis, die sowohl theoretisches als auch praktisches Interesse weckt. Aus der Perspektive der Planung von Weltraummissionen sollten beispielsweise Umlaufbahnen, die zum Parken eines Raumfahrzeugs um einen Zielmond verwendet werden, so stabil wie möglich sein, um Treibstoffkorrekturen und Stationierung zu minimieren. Aus mathematischer Sicht gibt es drei Schlüsselbegriffe der Stabilität eines Systems, die durch die folgenden Implikationen miteinander verbunden sind:

Nichtlineare (Ljapunow-)Stabilität ⇒ lineare Stabilität ⇒ spektrale Stabilität.

Nichtlineare Stabilität bedeutet grob gesagt, dass Bahnen, die in der Nähe einer bestimmten periodischen Umlaufbahn beginnen, für alle Zeit in der Nähe dieser Umlaufbahn bleiben. Lineare Stabilität entspricht der Stabilität des Ursprungs für die linearisierte Dynamik, d. h. die Umlaufbahnen des linearisierten Systems sollten begrenzt bleiben. Für ein Hamiltonsches System bedeutet dies, dass die Eigenwerte der Monodromiematrix der entsprechenden Umlaufbahn im Einheitskreis liegen und halb einfach sein sollten. Spektrale Stabilität hingegen erfordert, dass alle Eigenwerte im Einheitskreis liegen, erlaubt ihnen aber eine Vielfachheit (so dass Umlaufbahnen in polynomialer statt exponentieller Zeit ins Unendliche entweichen können). In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf den Begriff der linearen Stabilität.

Bei Vorhandensein von Symmetrie kann die Untersuchung der linearen Stabilität periodischer Bahnen, die durch die Symmetrie erhalten bleiben, erheblich verfeinert werden. Zu diesem Zweck führten der Erstautor und Urs Frauenfelder in [FM] den Begriff der GIT-Folge als Verfeinerung des Broucke-Stabilitätsdiagramms [Br69] über den Begriff der B-Signatur ein. Die GIT-Folge besteht aus einer Folge von drei Räumen und Abbildungen zwischen ihnen, deren Topologie Stabilität und Verzweigungen periodischer Bahnen sowie ihre Eigenwertkonfigurationen kodiert und Hindernisse für die Existenz regulärer Zylinder von Bahnen aufzeigt. In niedrigen Dimensionen können die Räume in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum visualisiert werden, was sie für numerische Arbeiten zugänglich macht. Wir sollten beachten, dass die GIT-Folge zwar zur Untersuchung der linearen Stabilität konzipiert ist, ihre Unterscheidung zur spektralen Stabilität jedoch verwischt.

Erinnern Sie sich, dass der Krein-Moser-Satz ein Kriterium dafür liefert, wann eine Krein-Biurkation auftreten kann (d. h. zwei elliptische Eigenwerte der Monodromiematrix kommen zusammen und verzweigen sich dann aus dem Kreis). Unsere Verfeinerung liefert ein ähnliches Kriterium für die Situation, wenn zwei hyperbolische Eigenwerte bei einem hyperbolischen Eigenwert der Multiplizität zwei zusammenkommen und dann komplex werden, allerdings für den Fall symmetrischer Orbits. Wir nennen einen solchen Übergang einen HN-Übergang und den Eigenwert mit hoher Multiplizität den Transit-Eigenwert. Ob ein solcher Übergang auftreten kann oder nicht, wird vollständig durch die B-Signatur des Transit-Eigenwerts bestimmt. Das folgende Ergebnis ist nämlich eine Folge unserer topologischen Untersuchung der symplektischen Gruppe.

Theorem A. Betrachten Sie einen Hamiltonoperator mit beliebigen Freiheitsgraden, der eine Symmetrie zulässt. Seien t 7→ γt , t ∈ [0, 1] eine Familie symmetrischer periodischer Bahnen, die einen HN-Übergang durchlaufen. Dann ist die B-Signatur des Transiteigenwertes unbestimmt.

Die Definition der B-Signatur erfolgt in Abschnitt 3, der Beweis dieses Theorems ist in Anhang A zu finden.

Danksagungen . Die Autoren danken Urs Frauenfelder, dessen Ideen diesen Aufsatz inspiriert haben. A. Moreno wird derzeit vom Sonderforschungsbereich TRR 191 Symplektische Strukturen in Geometrie, Algebra und Dynamik unterstützt, der von der DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191) finanziert wird, sowie von der DFG im Rahmen der deutschen Exzellenzstrategie EXC 2181/1 – 390900948 (dem Heidelberger Exzellenzcluster STRUCTURES).