Erweiterungen für Hilbert-Schemata: Stapelperspektive

Linktabelle

• Zusammenfassung und Einleitung
• Hintergrund zur tropischen Perspektive
• Der erweiterte Bau
• GIT-Stabilität
• Stapelperspektive
• Der kanonische Modulstapel
• Verweise

5. Stapelperspektive

5.1 Stapel und Stabilitätsbedingungen

Bevor wir die erweiterten Degenerationen als Stapel beschreiben, kommentieren wir die Rolle der Stapel in diesem Problem und die in Abschnitt 5.3 definierten Stabilitätsbedingungen.

Basiswechsel . Unser Ziel ist es, Degenerationen von Hilbert-Schemata von Punkten als gute Modulräume zu konstruieren. In den Beweisen der Propositionen 6.1.2 und 6.1.4 werden wir das Bewertungskriterium verwenden, um universelle Abgeschlossenheit und Getrenntheit zu beweisen. Wir werden sehen, dass dieses Argument nur bis zum Basiswechsel gilt, weshalb es für uns notwendig ist, mit Stapeln statt mit Schemata zu arbeiten.

In den folgenden Abschnitten werden wir daher bei der Untersuchung von Quotientenstapeln den Unterort des stabilen GIT-Ortes betrachten wollen, der nur nulldimensionale Unterschemata der Länge m enthält, die in einer gegebenen Faser von X[n] glatt unterstützt werden. Der Aufbau einer Kompaktifizierung, in der Grenzwerte durch glatt unterstützte Unterschemata dargestellt werden, wird auch für zukünftige Anwendungen nützlich sein, da wir damit das Problem eines Hilbert-Schemas mit m Punkten auf einer singulären Oberfläche in Produkte von Hilbert-Schemata mit weniger als m Punkten auf glatten Komponenten zerlegen können.

Definition 5.1.1. Wir sagen, dass eine Faser in einer expandierten Entartung X[n] die Basiskodimension k hat, wenn bei dieser Faser genau k Basisrichtungen verschwinden. Dies ist unabhängig vom Wert n.

Die erweiterten Degenerationen groß genug machen. Wenn wir schließlich einen eindeutigen GIT-Quotienten konstruieren, in dem nicht alle Grenzunterschemata reibungslos unterstützt werden, liegen die durch Orbitabschlüsse gegebenen Grenzen, die nur Unterschemata mit singulärer Unterstützung enthalten, nicht in einer Faser der erwarteten Basiskodimension. Dies lässt vermuten, dass die von uns gewählte Degeneration zu klein ist. Davon abgesehen kann es nützlich sein, über diesen GIT-Quotienten nachzudenken, wenn wir lediglich versuchen, Singularitäten auf eine Weise aufzulösen, die einige gute Eigenschaften des Raums bewahrt, z. B. im Zusammenhang mit der Konstruktion minimaler Modelle für Typ-III-Degenerationen von Hilbert-Schemata von Punkten auf K3-Oberflächen.

5.2 Erweiterte Konstruktion für Stapel

5.3 Stabilitätsbedingungen.

Wir bemerken, dass die glatte Ortskurve der Fasern von X[n] G-invariant ist, und dass die Beschränkung des Funktors auf diese Ortskurve die G-Invarianz bewahrt. Die Beschränkung der semistabilen und stabilen Ortskurven auf die Ortskurven glatt unterstützter Teilschemata ergibt daher G-invariante offene Teilschemata.

Wir haben folgende Einschlüsse:

Li-Wu-Stabilität. Wir erinnern hier an den in [LW15] verwendeten Stabilitätsbegriff, um ihn mit der GIT-Stabilität zu vergleichen und eine geeignete Stabilitätsbedingung für diesen Fall zu konstruieren.

Modifizierte GIT-Stabilität. Wie oben erwähnt, wollen wir nur zulassen, dass nulldimensionale Teilschemata der Länge m stabil sind, wenn ihre Unterstützung im glatten Locus einer Faser liegt. Wenn wir die GIT-Stabilitätsbedingung jedoch auf diesen Locus beschränken, ist der Raum stabiler Teilschemata nicht mehr universell abgeschlossen. Tatsächlich gibt es keine einzige GIT-Bedingung, die alle gewünschten nulldimensionalen Teilschemata der Länge m als glatt unterstützte Teilschemata darstellen kann. Wir müssen daher eine modifizierte GIT-Stabilitätsbedingung definieren, die mehrere GIT-Stabilitätsbedingungen zusammenfügt, um den gewünschten stabilen Locus zu erhalten.