নির্বিচারে হ্যামিলটোনিয়ান সিস্টেমের জন্য রৈখিক স্থিতিশীলতার সংমিশ্রণ: ভূমিকা

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত
• ভূমিকা
• প্রাথমিক
• বি-স্বাক্ষর
• GIT ক্রম: নিম্ন মাত্রা
• GIT ক্রম: নির্বিচারে মাত্রা
• পরিশিষ্ট A. স্থিতিশীলতা, ক্রেইন-মোজার উপপাদ্য, এবং পরিমার্জন এবং উল্লেখ

1। পরিচিতি

পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের স্থিতিশীলতা হ্যামিলটোনিয়ান সিস্টেমের অধ্যয়নের একটি কেন্দ্রীয় বিষয়, আকাশের বলবিদ্যায় সৌরজগতের স্থিতিশীলতার সমস্যায় ফিরে যাওয়া। ODE-এর অধ্যয়নে সর্বব্যাপী, যখনই পরিবারে কক্ষপথ এবং তাদের বিভাজন অধ্যয়ন করা হয় তখন স্থিতিশীলতার ধারণাটি উদ্ভূত হয়, এমন একটি অনুশীলন যা তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিক উভয় স্বার্থকে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, মহাকাশ মিশনের নকশার দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি লক্ষ্য চাঁদের চারপাশে একটি মহাকাশযান পার্ক করার জন্য ব্যবহৃত কক্ষপথগুলি যতটা সম্ভব স্থিতিশীল হওয়া উচিত, যাতে জ্বালানী সংশোধন এবং স্টেশন-কিপিং কম করা যায়। একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, একটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতার মূল ধারণাগুলি তিনটি স্বাদে আসে, যা নিম্নলিখিত প্রভাবগুলির সাথে সম্পর্কিত:

নন-লিনিয়ার (লিয়াপুনভ) স্থায়িত্ব ⇒ রৈখিক স্থায়িত্ব ⇒ বর্ণালী স্থায়িত্ব।

অ-রৈখিক স্থিতিশীলতা, মোটামুটিভাবে বলতে গেলে, এর অর্থ হল প্রদত্ত পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের কাছাকাছি শুরু হওয়া ট্র্যাজেক্টরিগুলি সর্বদা কক্ষপথের কাছাকাছি থাকে। রৈখিক স্থিতিশীলতা রৈখিক গতিবিদ্যার জন্য উত্সের স্থায়িত্বের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ লিনিয়ারাইজড সিস্টেমের কক্ষপথগুলি আবদ্ধ থাকা উচিত। হ্যামিলটোনিয়ান সিস্টেমের জন্য, এর অর্থ হল সংশ্লিষ্ট কক্ষপথের মনোড্রমি ম্যাট্রিক্সের ইজেন ভ্যালুগুলি ইউনিট বৃত্তে থাকা উচিত এবং আধা-সরল হওয়া উচিত। অন্যদিকে, বর্ণালী স্থায়িত্বের জন্য প্রয়োজন যে eigenvalues সবই একক বৃত্তের মধ্যে থাকে, কিন্তু তাদের বহুত্বের অনুমতি দেয় (যাতে কক্ষপথগুলি সূচকীয় না হয়ে বহুপদী সময়ে অসীম পর্যন্ত চলে যেতে পারে)। এই কাগজে, আমরা রৈখিক স্থিতিশীলতার ধারণার উপর ফোকাস করব।

প্রতিসাম্যের উপস্থিতিতে, প্রতিসাম্য দ্বারা সংরক্ষিত পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের রৈখিক স্থিতিশীলতার অধ্যয়ন উল্লেখযোগ্যভাবে পরিমার্জিত হতে পারে। এই উদ্দেশ্যকে মাথায় রেখে, প্রথম লেখক এবং উরস ফ্রয়েনফেল্ডার বি-স্বাক্ষরের ধারণার মাধ্যমে ব্রুক স্থায়িত্ব ডায়াগ্রাম [Br69]-এর পরিমার্জন হিসাবে GIT সিকোয়েন্সের ধারণা [FM]-এ প্রবর্তন করেন। জিআইটি সিকোয়েন্সে তিনটি স্পেস এবং তাদের মধ্যে মানচিত্রের একটি ক্রম থাকে যার টপোলজি পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের স্থায়িত্ব এবং বিভাজনের পাশাপাশি তাদের ইজেনভ্যালু কনফিগারেশনকে এনকোড করে এবং কক্ষপথের নিয়মিত সিলিন্ডারের অস্তিত্বে বাধা প্রদান করে। নিম্ন মাত্রায়, স্পেসগুলি সমতলে বা ত্রিমাত্রিক স্থানের ভিজ্যুয়ালাইজ করা যায়, যা তাদের সংখ্যাগত কাজের জন্য উপযুক্ত করে তোলে। আমাদের লক্ষ্য করা উচিত যে যখন GIT ক্রমটি রৈখিক স্থিতিশীলতা অধ্যয়ন করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, এটি বর্ণালী স্থিতিশীলতার সাথে এর পার্থক্যকে অস্পষ্ট করে।

প্রকৃতপক্ষে, স্মরণ করুন যে Krein-Moser উপপাদ্যটি কখন একটি কেরিন দ্বিবিভাজন ঘটতে পারে তার একটি মাপকাঠি দেয় (অর্থাৎ মনোড্রমি ম্যাট্রিক্সের দুটি উপবৃত্তাকার ইজেনভ্যালু একসাথে আসে এবং তারপর বৃত্তের বাইরে বিভক্ত হয়)। আমাদের পরিমার্জন পরিস্থিতির জন্য একটি অনুরূপ মাপদণ্ড দেয় যখন দুটি হাইপারবোলিক ইজেনভ্যালু বহুগুণ দুটির একটি হাইপারবোলিক ইজেনভ্যালুতে একত্রিত হয় এবং তারপর জটিল হয়ে ওঠে, কিন্তু প্রতিসম কক্ষপথের ক্ষেত্রে। এই ধরনের ট্রানজিশনকে আমরা HN -ট্রানজিশন বলি এবং উচ্চ-বহুত্বের eigenvalue, ট্রানজিট eigenvalue বলি। এই ধরনের ট্রানজিশন ঘটতে পারে কি না তা সম্পূর্ণরূপে ট্রানজিট ইজেন ভ্যালুর বি-স্বাক্ষর দ্বারা নির্ধারিত হয়। যথা, নিম্নলিখিত ফলাফলটি আমাদের সিমপ্লেটিক গ্রুপের টপোলজিকাল অধ্যয়নের ফলাফল।

উপপাদ্য A. একটি প্রতিসাম্য স্বীকার করে স্বাধীনতার স্বেচ্ছাচারী ডিগ্রী সহ একজন হ্যামিলটোনিয়ানকে বিবেচনা করুন। ধরা যাক t 7→ γt , t ∈ [0, 1], প্রতিসম পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথের একটি পরিবার, একটি HN -পরিবর্তন চলছে। তারপর ট্রানজিট eigenvalue-এর B- স্বাক্ষর অনির্দিষ্ট।

বি-স্বাক্ষরের সংজ্ঞাটি ধারা 3-এ দেওয়া হবে এবং এই উপপাদ্যটির প্রমাণ পরিশিষ্ট A-তে পাওয়া গেছে।

স্বীকৃতি লেখক উরস ফ্রয়েনফেল্ডারের কাছে কৃতজ্ঞ, যার ধারণা এই কাগজটিকে অনুপ্রাণিত করেছে। A. মোরেনো বর্তমানে জ্যামিতি, বীজগণিত এবং গতিবিদ্যার সিমপ্লেক্টিক স্ট্রাকচার দ্বারা সমর্থিত, যা DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191), এবং এছাড়াও DFG-এর অধীনে জার্মানির এক্সেলেন্স -198019 আইডেলবার্গ স্ট্রাকচার এক্সিলেন্স ক্লাস্টার)।