হিলবার্ট স্কিমগুলির সম্প্রসারণ: বিমূর্ত এবং ভূমিকা

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত এবং ভূমিকা
• গ্রীষ্মমন্ডলীয় পরিপ্রেক্ষিতে পটভূমি
• প্রসারিত নির্মাণ
• জিআইটি স্থায়িত্ব
• স্ট্যাক দৃষ্টিকোণ
• ক্যানোনিকাল মডুলি স্ট্যাক
• তথ্যসূত্র

বিমূর্ত

এই গবেষণাপত্রের লক্ষ্য হল লি এবং উ-এর সম্প্রসারিত অবক্ষয় নির্মাণকে প্রসারিত করা যাতে ভূপৃষ্ঠের অর্ধ-স্থির পরিবারের পয়েন্টগুলির হিলবার্ট স্কিমগুলির ভাল অবক্ষয় পাওয়া যায়, সেইসাথে বিকল্প স্থিতিশীলতার অবস্থা এবং গুলব্র্যান্ডসেন, হ্যালে এবং জিআইটি নির্মাণের সমান্তরাল আলোচনা করা। হুলেক এবং লগারিদমিক হিলবার্ট স্কিম নির্মাণ মৌলিক এবং রঙ্গনাথন। আমরা সঠিক ডেলিগন-মামফোর্ড স্ট্যাক হিসাবে পয়েন্টের হিলবার্ট স্কিমগুলির একটি ভাল অবক্ষয় তৈরি করি এবং দেখাই যে এটি মৌলিক এবং রঙ্গনাথনের কাজ থেকে উদ্ভূত একটি নির্মাণের জ্যামিতিকভাবে অর্থপূর্ণ উদাহরণ প্রদান করে।

1। পরিচিতি

বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে মডুলি স্পেস অধ্যয়ন একটি কেন্দ্রীয় বিষয়; মডুলি স্পেসগুলির মধ্যে, হিলবার্ট স্কিমগুলি উদাহরণগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী গঠন করে। এগুলি জ্যামিতিক উপস্থাপনা তত্ত্ব, গণনামূলক এবং সমন্বিত জ্যামিতিতে ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং হাইপারক¨হলার ম্যানিফোল্ডের দুটি প্রধান উদাহরণ, যেমন K3 পৃষ্ঠের বিন্দুর হিলবার্ট স্কিম এবং সাধারণীকৃত কুমার জাত। এই এলাকায় একটি বিশিষ্ট দিক হল এই ধরনের বস্তুর স্থানীয় মডুলি স্থান এবং বিশেষ করে, মসৃণ হিলবার্ট স্কিমগুলির অবক্ষয়কে একটি মডুলার কম্প্যাক্টিফিকেশন দেওয়া যেতে পারে এমন উপায়গুলি বোঝা।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি অধঃপতনের উপর আপেক্ষিক হিলবার্ট স্কিমগুলির জ্যামিতি বিবেচনা করতে পারি যার কেন্দ্রীয় ফাইবারের স্বাভাবিক ক্রসিং সিঙ্গুলারিটি রয়েছে। তারপরে আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি যে এই জাতীয় হিলবার্ট স্কিমের এককতাগুলি কীভাবে সমাধান করা যেতে পারে তার নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি সংরক্ষণ করার সময় বা কীভাবে এটি একটি ভাল মডুলি স্থান হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। এটি তখন একবচন অবস্থান দ্বারা প্রদত্ত সীমানার ক্ষেত্রে একটি কম্প্যাক্টিফিকেশন সমস্যা হয়ে ওঠে। ঐতিহাসিকভাবে, মডুলি এবং কম্প্যাক্টিফিকেশন সমস্যায় ব্যবহৃত একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি হল জ্যামিতিক ইনভেরিয়েন্ট থিওরি (GIT)। অতি সম্প্রতি, মৌলিক এবং রঙ্গনথান [MR20]-এর কাজ অন্বেষণ করেছে যে কীভাবে ক্রান্তীয় এবং লগারিদমিক জ্যামিতির পদ্ধতিগুলি হিলবার্ট স্কিমগুলির জন্য এই জাতীয় প্রশ্নগুলির সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এটি লি [Li13] এবং লি এবং উ [LW15]-এর পূর্ববর্তী কাজের উপর ভিত্তি করে কোট স্কিমগুলির সম্প্রসারিত অবক্ষয় এবং রঙ্গনাথন [Ran22b]-এর লগারিদমিক গ্রোমভ-উইটেন তত্ত্ব সম্প্রসারণের সাথে কাজ করে।

সংক্ষেপে বলা হয়েছে, এই কাগজের উদ্দেশ্য হল এই ধরনের কম্প্যাক্টিফিকেশনের সুস্পষ্ট উদাহরণ প্রদান করা এবং এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে সংযোগগুলি অন্বেষণ করা।

1.1 মৌলিক সেটআপ

যেমন ধারা 1.3 এ উল্লেখ করা হয়েছে, এই ধরনের নির্মাণ K3 পৃষ্ঠতলের হিলবার্ট স্কিমগুলির টাইপ III ডিজেনারেশন নির্মাণের জন্য প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি ভবিষ্যতের কাজে বর্ণনা করা হবে।

1.2 এই এলাকায় পূর্ববর্তী কাজ

[LW15] থেকে অনুসরণ করে, গুলব্র্যান্ডসেন, হ্যালে এবং হুলেক [GHH19] পয়েন্টের হিলবার্ট স্কিমের ক্ষেত্রে উপরের নির্মাণের একটি GIT সংস্করণ উপস্থাপন করেছেন। তারা একটি সুস্পষ্ট প্রসারিত অবক্ষয় তৈরি করে, অর্থাৎ একটি বৃহত্তর ভিত্তির উপর একটি পরিবর্তিত পরিবার, যার ফাইবারগুলি পরিবারে X0 এর উপাদানগুলির ব্লো-আপের সাথে মিলে যায়। তারা প্রাকৃতিক টরাস ক্রিয়াকলাপের জন্য এই স্থানটিতে একটি রৈখিক রেখা বান্ডিল উপস্থাপন করে এবং তারা দেখাতে সক্ষম হয় যে এই ক্ষেত্রে হিলবার্ট-মমফোর্ড মানদণ্ডটি সম্পূর্ণরূপে সমন্বিত মানদণ্ডে সরল করা হয়েছে। এটি ব্যবহার করে, তারা একটি GIT স্থিতিশীলতা শর্ত আরোপ করে যা Li এবং Wu-এর ট্রান্সভার্স জিরো-ডাইমেনশনাল সাবস্কিমগুলি পুনরুদ্ধার করে এবং প্রমাণ করে যে সংশ্লিষ্ট স্ট্যাকের ভাগফল Li এবং Wu-এর সমান। এই কাজের জন্য একটি অনুপ্রেরণা ছিল K3 পৃষ্ঠের বিন্দুগুলির হিলবার্ট স্কিমগুলির টাইপ II অবক্ষয় তৈরি করা। প্রকৃতপক্ষে, K3 পৃষ্ঠের টাইপ II ভাল অবক্ষয় বিশেষ ফাইবারে এই ধরনের এককতা উপস্থাপন করে, যা মসৃণ বক্ররেখা বরাবর ছেদ করা পৃষ্ঠগুলির একটি শৃঙ্খল।

মৌলিক এবং রঙ্গনাথন [MR20]-এর আরও সাম্প্রতিক কাজ রয়েছে, রঙ্গনাথন [Ran22b] এবং টেভেলেভ [Tev07]-এর ফলাফলের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যেখানে তারা X-এর উপযুক্ত বিস্তৃতি নির্মাণের জন্য লগারিদমিক এবং গ্রীষ্মমন্ডলীয় জ্যামিতির কৌশল ব্যবহার করে! C. এটি তাদের ট্রান্সভার্স সাবস্কিমগুলির মডুলি স্ট্যাকগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে দেয় যেখানে X0 হল যেকোনো সাধারণ ক্রসিং বৈচিত্র্য। তারা দেখায় যে এইভাবে নির্মিত স্ট্যাক সঠিক এবং Deligne-Mumford. এই বিষয়ে আরো বিস্তারিত জানার জন্য, বিভাগ 2.2 দেখুন।

1.3 প্রধান ফলাফল

যাক এক্স! C পৃষ্ঠের একটি অর্ধস্থির অবক্ষয়। নিম্নলিখিত বিভাগগুলিতে, আমরা এই সম্প্রসারিত পরিবারগুলিতে প্রসারিত অবক্ষয় এবং স্থিতিশীল দৈর্ঘ্য m শূন্য-মাত্রিক সাবস্কিমগুলির সুস্পষ্ট নির্মাণের প্রস্তাব করি, যা আমরা ভাল বৈশিষ্ট্যগুলি দেখাই।

সম্প্রসারণের বিভিন্ন পছন্দের জন্য অনুমতি দেওয়া। এই কাগজে, আমরা শুধুমাত্র হিলবার্ট স্কিমের পয়েন্টগুলির জন্য মডেলের একটি নির্দিষ্ট পছন্দ নিয়ে আলোচনা করি যাকে আমরা ক্যানোনিকাল মডুলি স্ট্যাক বলি। আসন্ন কাজে, আমরা তদন্ত করব কীভাবে এই পদ্ধতিগুলিকে মডেলের অন্যান্য পছন্দগুলি বর্ণনা করতে প্রসারিত করা যেতে পারে। আমরা একটি পদ্ধতি বিবেচনা করব যা লগারিদমিক কোট স্কিমগুলিতে কেনেডি-হান্টের কাজকে সমান্তরাল করে [Ken23], সেইসাথে মৌলিক এবং রঙ্গনাথন [MR20] এর পদ্ধতিগুলি থেকে উদ্ভূত মডুলি স্ট্যাকের কিছু জ্যামিতিকভাবে অর্থপূর্ণ পছন্দগুলি পুনরুদ্ধার করবে। বিশেষ করে, আমরা আলোচনা করব কীভাবে টিউব উপাদান এবং ডোনাল্ডসন থমাস স্থায়িত্ব এই আরও সাধারণ ক্ষেত্রে ছবিতে প্রবেশ করে (সংজ্ঞার জন্য বিভাগ 2.2 দেখুন)।

1.4 সংগঠন

লগারিদমিক এবং গ্রীষ্মমন্ডলীয় জ্যামিতির কিছু পটভূমি এবং [MR20] থেকে মৌলিক এবং রঙ্গনাথনের কাজের একটি ওভারভিউ দিয়ে আমরা বিভাগ 2 এ শুরু করি যা আমরা পরবর্তী বিভাগে উল্লেখ করতে চাই। তারপর, বিভাগ 3-এ, আমরা স্কিমগুলির উপর একটি সম্প্রসারিত নির্মাণ নির্ধারণ করেছি এবং, 4-এ, আমরা আলোচনা করি কিভাবে এই নির্মাণের উপর বিভিন্ন GIT স্থিতিশীলতার অবস্থা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। অনুচ্ছেদ 5-এ, আমরা সম্প্রসারণ এবং এর উপর পরিবারের একটি সম্পর্কিত স্ট্যাক বর্ণনা করি, আমরা স্কিম হিসাবে যে প্রসারিত অবক্ষয় তৈরি করেছি তার উপর ভিত্তি করে। বিভাগ 6-এ, আমরা আমাদের স্থিতিশীলতার শর্তগুলি এই সেটিং পর্যন্ত প্রসারিত করি। তারপরে আমরা দেখাই যে সংজ্ঞায়িত স্থিতিশীল বস্তুর স্তুপে কাঙ্খিত ডেলাইন-মামফোর্ড এবং যথাযথ বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

স্বীকৃতি আমি গ্রেগরি শঙ্করনকে ধন্যবাদ জানাতে চাই এই প্রজেক্ট জুড়ে তার সমস্ত সমর্থনের জন্য। আমার পিএইচডি পরীক্ষক, অ্যালিস্টার ক্র এবং ধ্রুব রঙ্গনাথনকেও ধন্যবাদ, তাদের অনেক সহায়ক মন্তব্যের জন্য। ইউনিভার্সিটি অফ বাথ রিসার্চ স্টুডেন্টশিপ অ্যাওয়ার্ড দ্বারা অর্থায়নের সময় এই কাজটি করা হয়েছিল। অনেক আকর্ষণীয় কথোপকথনের জন্য আমি প্যাট্রিক কেনেডি-হান্ট এবং থিবল্ট পোয়েরেটের কাছেও কৃতজ্ঞ।