হিলবার্ট স্কিমগুলির সম্প্রসারণ: গ্রীষ্মমন্ডলীয় দৃষ্টিভঙ্গির পটভূমি

লিঙ্কের টেবিল

• বিমূর্ত এবং ভূমিকা
• গ্রীষ্মমন্ডলীয় পরিপ্রেক্ষিতে পটভূমি
• সম্প্রসারিত নির্মাণ
• জিআইটি স্থায়িত্ব
• স্ট্যাক দৃষ্টিকোণ
• ক্যানোনিকাল মডুলি স্ট্যাক
• তথ্যসূত্র

2. গ্রীষ্মমন্ডলীয় পরিপ্রেক্ষিতে পটভূমি

এই সমস্যার প্রেক্ষাপটে আমরা এখানে ক্রান্তীয় এবং লগারিদমিক জ্যামিতির ভাষা সংক্ষেপে উপস্থাপন করছি। এই বিভাগের বিষয়বস্তু সম্পর্কে আরও বিশদ বিবরণের জন্য, নিবন্ধ [লগ], লেকচার নোট [Ran22a], পাশাপাশি [MR20] এর প্রথম বিভাগটি দেখুন।

2.1 ক্রান্তীয়করণ এবং সম্প্রসারণ

গ্রীষ্মমন্ডলীয়করণের উপবিভাগগুলি X-এর সম্প্রসারণকে সংজ্ঞায়িত করে৷ নিম্নলিখিতটিতে, আমরা ভাজক D এর চারপাশে X স্কিমের সম্ভাব্য দ্বিজাতিগত পরিবর্তনগুলি অধ্যয়ন করতে চাই৷ গ্রীষ্মমন্ডলীয় ভাষায়, এগুলিকে উপবিভাগ হিসাবে প্রকাশ করা হয়৷

গ্রীষ্মমন্ডলীয়করণের একটি উপবিভাগ নিম্নলিখিত উপায়ে X এর একটি দ্বিজাতিগত পরিবর্তনকে সংজ্ঞায়িত করে। মহকুমা

2.2 মৌলিক-রঙ্গনাথন নির্মাণ

আমরা সংক্ষেপে [MR20] এর কিছু মূল পয়েন্ট স্মরণ করব। তাদের কাজের লক্ষ্য হল নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক ধরনের আদর্শ শেভের মডুলি স্থান অধ্যয়ন করা যা সীমানা ভাজকের সাথে ট্রান্সভার্সিভাবে মিলিত হয়। এই ধরনের বস্তুর অধ্যয়নের জন্য কিছু মূল প্রেরণা গণনামূলক জ্যামিতি থেকে আসে। উদাহরণস্বরূপ, একটি প্রদত্ত মসৃণ বৈচিত্র্যের মধ্যে বক্ররেখা গণনার সমস্যাগুলি মোকাবেলা করার জন্য ব্যবহৃত একটি সাধারণ পদ্ধতি হল এই জাতটিকে সহজতর অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির একটি একক ইউনিয়নে অবক্ষয় করা। ট্রান্সভারসালিটির বৈশিষ্ট্যটি তখন নিশ্চিত করার জন্য গুরুত্বপূর্ণ যে ক্ষয়প্রাপ্ত বস্তুর আদর্শ শেভের সমস্ত আকর্ষণীয় আচরণ সহজতর অপরিবর্তনীয় উপাদানগুলির অভ্যন্তরের সমর্থনে ঘটে, যা আমাদের আরও সহজে এটি অধ্যয়ন করতে দেয়। এই পদ্ধতির সাথে একটি প্রধান অসুবিধা হল যে প্রায়শই, এই সেটিং হিসাবে, ডি এর ক্ষেত্রে ট্রান্সভার্স আদর্শ শেভের স্থানটি নন-কম্প্যাক্ট। উপযুক্ত কম্প্যাক্টিফিকেশন নির্মাণ করলে এমন একটি স্থান পাওয়া যাবে যা C-এর উপরে সমতল এবং সঠিক। [MR20]-এ, মৌলিক এবং রঙ্গনাথন ডোনাল্ডসন-থমাস থিওরি অফ পেয়ার (X, D) তৈরি করেছেন, যা আদর্শ শেভের স্থানের কম্প্যাক্টিফিকেশন নির্মাণের মাধ্যমে শুরু করে। X ট্রান্সভার্স থেকে D

আমরা বিশেষভাবে [MR20] নিয়ে আলোচনা করি যা এখানে আমাদের আগ্রহের বিষয়, যেমন একটি অবক্ষয় X! C উপরে বর্ণিত হিসাবে, যেখানে আমরা নির্দিষ্ট ধ্রুবক হিলবার্ট বহুপদী m সহ আদর্শ শেভের মডুলি স্থান অধ্যয়ন করতে চাই, কিছু m ∈ N এর জন্য সীমানা ভাজক D = X0। মূল ধারণাটি হল X-এর ক্রান্তীয়করণ, ΣX নির্দেশিত, এবং একটি সংশ্লিষ্ট ক্রান্তীয়করণ মানচিত্র, যা আমাদের কম্প্যাক্টিফিকেশনগুলিতে কাঙ্খিত ট্রান্সভারসালিটি বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে পেতে হয় তা বোঝার জন্য ব্যবহৃত হয়।

তির্যক সীমার অস্তিত্ব এবং স্বতন্ত্রতা। মৌলিক এবং রঙ্গনাথন মাত্রিক ট্রান্সভারসালিটি এবং শক্তিশালী ট্রান্সভারসালিটির ধারণা প্রবর্তন করে, যা হিলবার্ট স্কিম অফ পয়েন্টের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, লি-উ স্থায়িত্বের সমতুল্য হয় (এই স্থিতিশীলতার অবস্থার সংজ্ঞার জন্য বিভাগ 5.3 দেখুন)। সাধারণভাবে উচ্চমাত্রিক সাবস্কিমগুলির ক্ষেত্রে এটি হবে না।

এই ক্রিয়াকলাপের ফলে অ-স্বতন্ত্রতা দেখা যায়, কারণ আমরা পলিহেড্রাল উপবিভাগের একটি পছন্দ করছি এবং সাধারণভাবে কোন প্রামাণিক পছন্দ নেই।

গ্রীষ্মমন্ডলীয়করণে এই টিউব শীর্ষবিন্দুগুলি যোগ করার অর্থ হল প্রতিটি সম্প্রসারণে আরও সম্ভাব্য উপাদান রয়েছে, যা পূর্বে সেট আপ করা স্বতন্ত্রতা ফলাফলগুলিতে হস্তক্ষেপ করে। প্রকৃতপক্ষে, স্মরণ করুন যে trop(Z ◦ ) আমাদেরকে দ্বৈত কমপ্লেক্সে সঠিক সংখ্যক শীর্ষবিন্দু দিয়েছে যাতে Z ◦ ⊂ X◦ সাবস্কিমের প্রতিটি পরিবারের জন্য একটি অনন্য সীমা প্রতিনিধি থাকে। অতএব, এটি প্রতিফলিত করার জন্য, ডোনাল্ডসন-থমাস স্থিতিশীলতা সাবস্কিমগুলিকে DT স্থিতিশীল হতে বলে এবং শুধুমাত্র যদি তারা টিউব উপাদানগুলির সাথে অবিকল টিউব স্কিম হয়। আমরা বলি যে একটি 1-মাত্রিক সাবস্কিম হল একটি টিউব যদি এটি ডি-তে একটি শূন্যমাত্রিক সাবস্কিমের পরিকল্পিত প্রিমেজ হয়। হিলবার্ট স্কিম অফ পয়েন্টের ক্ষেত্রে, এই শর্তটি কেবল একটি 0-মাত্রিক সাবস্কিম Z-এ অনুবাদ করবে যদি DT স্থিতিশীল হয় এবং শুধুমাত্র যদি কোন টিউব কম্পোনেন্টে Z-এর সমর্থনের একটি বিন্দু থাকে না এবং আমাদের ব্লো-আপের মাধ্যমে প্রসারিত অন্যান্য অপরিবর্তনীয় উপাদানে Z-এর সমর্থনের অন্তত একটি বিন্দু থাকে।

মৌলিক এবং রঙ্গনাথন একটি সাবস্কিমকে স্থিতিশীল বলে সংজ্ঞায়িত করেন যদি এটি দৃঢ়ভাবে ট্রান্সভার্স হয়

এবং DT স্থিতিশীল। স্থির সাংখ্যিক অপরিবর্তনগুলির জন্য বিস্তৃতির স্থানে স্থিতিশীল সাবস্কিমগুলির সাবস্ট্যাক একটি Deligne-Mumford গঠন করে, C এর উপরে সসীম প্রকারের সঠিক, পৃথক করা স্ট্যাক।

এই কাগজের ফলাফলের সাথে তুলনা করুন। এই কাগজে আমরা যে নির্মাণটি উপস্থাপন করেছি তাতে আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে আমাদের সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত স্থিতিশীল বস্তুর স্ট্যাকের জন্য টিউব হিসাবে কোনও উপাদান লেবেল করার দরকার নেই। এটি আমাদের সম্প্রসারিত অবক্ষয় অন্তর্ভুক্ত করার জন্য ব্লো-আপের নির্দিষ্ট পছন্দগুলির একটি নিদর্শন। মৌলিক এবং রঙ্গনাথনের কাজ আমাদের দেখায় যে এটি সাধারণভাবে প্রত্যাশিত নয়। ধারা 1.3-এ উল্লিখিত হিসাবে, আমরা একটি আসন্ন গবেষণাপত্রে আলোচনা করব যে কীভাবে স্থিতিশীল বস্তুর সঠিক স্ট্যাক তৈরি করা যায় যেখানে বিভিন্ন ধরনের সম্প্রসারণ করা হয় এবং আমাদের জন্য ডোনাল্ডসন-থমাস স্থিতিশীলতার শর্ত প্রবর্তন করাও প্রয়োজনীয় হয়ে ওঠে।