লেখকগণ: ইয়ংসিওক কিম অ্যান্ড্রু এডিন্স সাজান্ত আনন্দ কেন জুয়ান ওয়েই এউট ভ্যান ডেন বার্গ Sami Rosenblatt হাসান নায়েফেহ Yantao Wu মাইকেল জালেটেল ক্রিস্টান টেম্মে অভিনব কান্দালা সারসংক্ষেপ কোয়ান্টাম কম্পিউটিং নির্দিষ্ট কিছু সমস্যার জন্য ক্লাসিক্যাল কম্পিউটিংয়ের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে দ্রুত গতিতে কাজ করার প্রতিশ্রুতি দেয়। তবে, এর সম্পূর্ণ সম্ভাবনা উপলব্ধি করার ক্ষেত্রে সবচেয়ে বড় বাধা হলো এই সিস্টেমগুলিতে অন্তর্নিহিত নয়েজ (noise)। এই চ্যালেঞ্জ মোকাবেলার জন্য ব্যাপকভাবে গৃহীত সমাধান হল ফল্ট-টলারেন্ট কোয়ান্টাম সার্কিট (fault-tolerant quantum circuits) প্রয়োগ করা, যা বর্তমান প্রসেসরগুলির নাগালের বাইরে। এখানে আমরা একটি নয়েজি (noisy) ১২৭-কিউবিট প্রসেসরে পরীক্ষা-নিরীক্ষা করেছি এবং ব্রুট-ফোর্স ক্লাসিক্যাল কম্পিউটেশনের (brute-force classical computation) বাইরে থাকা সার্কিট ভলিউমগুলির (circuit volumes) জন্য সঠিক এক্সপেকটেশন ভ্যালু (expectation values) পরিমাপ প্রদর্শন করেছি। আমরা যুক্তি দিই যে এটি ফল্ট-টলারেন্ট যুগের পূর্ববর্তী সময়ে কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের উপযোগিতার প্রমাণ। এই পরীক্ষামূলক ফলাফলগুলি এই আকারের একটি সুপারকন্ডাক্টিং প্রসেসরের কোহেরেন্স (coherence) এবং ক্যালিব্রেশনের (calibration) অগ্রগতি এবং এই বিশাল ডিভাইসে নয়েজকে নিয়ন্ত্রণযোগ্যভাবে ম্যানিপুলেট (manipulate) করার ক্ষমতার দ্বারা সম্ভব হয়েছে। আমরা নির্ভুলভাবে যাচাইযোগ্য সার্কিটগুলির আউটপুটের সাথে তুলনা করে পরিমাপ করা এক্সপেকটেশন ভ্যালুগুলির নির্ভুলতা স্থাপন করি। শক্তিশালী এনট্যাঙ্গলমেন্টের (entanglement) ক্ষেত্রে, কোয়ান্টাম কম্পিউটার সঠিক ফলাফল প্রদান করে যার জন্য শীর্ষস্থানীয় ক্লাসিক্যাল অনুমান যেমন পিওর-স্টেট-ভিত্তিক ১ডি (ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেট, এম্পিএস) এবং ২ডি (আইসোমেট্রিক টেনসর নেটওয়ার্ক স্টেট, আইসোটএনএস) টেনসর নেটওয়ার্ক পদ্ধতি ভেঙে পড়ে। এই পরীক্ষাগুলি নিকট-মেয়াদী কোয়ান্টাম অ্যাপ্লিকেশন বাস্তবায়নের জন্য একটি মৌলিক হাতিয়ার প্রদর্শন করে। মূল অংশ এটি প্রায় সর্বজনীনভাবে স্বীকৃত যে অ্যাডভান্সড কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম (advanced quantum algorithms) যেমন ফ্যাক্টরিং (factoring) বা ফেজ এস্টিমেশন (phase estimation) এর জন্য কোয়ান্টাম এরর কারেকশন (quantum error correction) প্রয়োজন হবে। যাইহোক, বর্তমানে উপলব্ধ প্রসেসরগুলি ব্যবহারিক সমস্যার জন্য সুবিধা প্রদান করতে পারে এমন ছোট-ডেপথ কোয়ান্টাম সার্কিট (shorter-depth quantum circuits) চালানোর জন্য যথেষ্ট নির্ভরযোগ্যভাবে তৈরি করা যেতে পারে কিনা তা নিয়ে তীব্র বিতর্ক রয়েছে। এই মুহুর্তে, প্রচলিত প্রত্যাশা হল যে ক্লাসিক্যাল ক্ষমতাকে ছাড়িয়ে যাওয়ার সম্ভাবনা সহ সহজ কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির বাস্তবায়ন আরও উন্নত, ফল্ট-টলারেন্ট প্রসেসর আসার পরেই সম্ভব হবে। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে কোয়ান্টাম হার্ডওয়্যারের (quantum hardware) বিপুল অগ্রগতি সত্ত্বেও, সাধারণ ফিডেলিটি বাউন্ড (fidelity bounds) এই হতাশাজনক পূর্বাভাসের সমর্থন করে; কেউ অনুমান করে যে ০.১% গেট ত্রুটি সহ ১০০ কিউবিট চওড়া এবং ১০০ গেট-স্তর গভীরতার একটি কোয়ান্টাম সার্কিট ৫ × ১০⁻⁴ এর কম স্টেট ফিডেলিটি প্রদান করে। তবুও, প্রশ্ন থেকে যায় যে এই ধরনের কম ফিডেলিটি সহ আদর্শ অবস্থার বৈশিষ্ট্যগুলি অ্যাক্সেস করা যেতে পারে কিনা। নয়েজি ডিভাইসগুলিতে (noisy devices) নিকট-মেয়াদী কোয়ান্টাম সুবিধার জন্য এরর-মিটিগেশন (error-mitigation) পদ্ধতিটি ঠিক এই প্রশ্নের উত্তর দেয়, অর্থাৎ, ক্লাসিক্যাল পোস্ট-প্রসেসিং (classical post-processing) ব্যবহার করে নয়েজি কোয়ান্টাম সার্কিটের বেশ কয়েকটি ভিন্ন রানের (runs) এক্সপেকটেশন ভ্যালু (expectation values) নির্ভুলভাবে তৈরি করা যেতে পারে। কোয়ান্টাম সুবিধা দুটি ধাপে অর্জন করা যেতে পারে: প্রথমত, বিদ্যমান ডিভাইসগুলির ব্রুট-ফোর্স ক্লাসিক্যাল সিমুলেশনের (brute-force classical simulation) বাইরে থাকা একটি স্কেলে নির্ভুল গণনা সম্পাদনের ক্ষমতা প্রদর্শন করে, এবং দ্বিতীয়ত, এই ডিভাইসগুলি থেকে সুবিধা লাভ করে এমন সমস্যাগুলি খুঁজে বের করে। এখানে আমরা প্রথম ধাপে মনোযোগ দিচ্ছি এবং প্রমাণিত স্পিড-আপ (speed-ups) সহ সমস্যার জন্য কোয়ান্টাম সার্কিট প্রয়োগ করার লক্ষ্য রাখি না। আমরা ১২৭-কিউবিটের একটি সুপারকন্ডাক্টিং কোয়ান্টাম প্রসেসর ব্যবহার করি দুটি-কিউবিট গেটগুলির (two-qubit gates) ৬০ স্তর পর্যন্ত কোয়ান্টাম সার্কিট চালানোর জন্য, মোট ২,৮৮০ সিএনওটি গেট (CNOT gates)। এই আকারের সাধারণ কোয়ান্টাম সার্কিটগুলি ব্রুট-ফোর্স ক্লাসিক্যাল পদ্ধতির (brute-force classical methods) জন্য সম্ভবের বাইরে। আমরা তাই প্রথমে নির্দিষ্ট পরীক্ষার ক্ষেত্রে মনোনিবেশ করি যা পরিমাপ করা এক্সপেকটেশন ভ্যালুগুলির (expectation values) নির্ভুল ক্লাসিক্যাল যাচাইকরণের অনুমতি দেয়। তারপর আমরা সার্কিট রিজিম (regimes) এবং পর্যবেক্ষকগুলির (observables) দিকে যাই যেখানে ক্লাসিক্যাল সিমুলেশন চ্যালেঞ্জিং হয়ে ওঠে এবং অত্যাধুনিক আনুমানিক ক্লাসিক্যাল পদ্ধতিগুলির (state-of-the-art approximate classical methods) সাথে তুলনা করি। আমাদের বেঞ্চমার্ক (benchmark) সার্কিট হল একটি ২ডি ট্রান্সভার্স-ফিল্ড আইসিং মডেলের (2D transverse-field Ising model) ট্রটারাইজড টাইম ইভোলিউশন (Trotterized time evolution), যা কিউবিট প্রসেসরের (qubit processor) টপোলজির (topology) সাথে মিলে যায় (চিত্র ১এ)। আইসিং মডেলটি পদার্থবিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে দেখা যায় এবং সময় ক্রিস্টাল (time crystals), কোয়ান্টাম স্ক্যারস (quantum scars) এবং মায়োরানা এজ মোডস (Majorana edge modes) অনুসন্ধানকারী সাম্প্রতিক সিমুলেশনগুলিতে সৃজনশীল সম্প্রসারণ খুঁজে পেয়েছে। তবে, কোয়ান্টাম গণনার উপযোগিতার একটি পরীক্ষা হিসাবে, ২ডি ট্রান্সভার্স-ফিল্ড আইসিং মডেলের সময় বিবর্তন (time evolution) বড় এনট্যাঙ্গলমেন্ট বৃদ্ধির (entanglement growth) সীমাতে সবচেয়ে প্রাসঙ্গিক যেখানে স্কেলেবল ক্লাসিক্যাল অনুমানগুলি (scalable classical approximations) সংগ্রাম করে। , আইসিং সিমুলেশনের প্রতিটি ট্রটার স্টেপে (Trotter step) একক-কিউবিট এবং দ্বি-কিউবিট রোটেশন (rotations) অন্তর্ভুক্ত থাকে। প্রতিটি CNOT স্তরের নয়েজকে টুইল (twirl) করতে (spirals) এবং নিয়ন্ত্রণযোগ্যভাবে স্কেল (scale) করতে র্যান্ডম পলি গেট (Pauli gates) ঢোকানো হয়। ড্যাগার (dagger) আদর্শ স্তর দ্বারা কনজুগেশন (conjugation) নির্দেশ করে। , ibm_kyiv-এ সমস্ত প্রতিবেশী জোড়ার মধ্যে মিথস্ক্রিয়া উপলব্ধি করার জন্য তিনটি ডেপথ-১ (depth-1) CNOT গেটের স্তর যথেষ্ট। , চরিত্রায়ন পরীক্ষাগুলি (characterization experiments) স্থানীয় পলি ত্রুটির হার (local Pauli error rates) , (রঙের স্কেল) দক্ষতার সাথে শেখে যা -তম টুইল করা CNOT স্তরের সাথে যুক্ত সামগ্রিক পলি চ্যানেলের (Pauli channel) Λ তৈরি করে। (চিত্র পরিপূরক তথ্যে প্রসারিত [cite:IV.A])। , আনুপাতিক হারে ঢোকানো পলি ত্রুটিগুলি অন্তর্নিহিত নয়েজ বাতিল (cancel) (PEC) বা বাড়াতে (amplify) (ZNE) ব্যবহার করা যেতে পারে। ক X ZZ খ গ λl i l l ঘ বিশেষ করে, আমরা হ্যামিলটোনিয়ানের (Hamiltonian) সময় গতিবিদ্যা বিবেচনা করি, যেখানে > 0 হল নিকটতম-প্রতিবেশী স্পিনগুলির (nearest-neighbour spins) কাপলিং (coupling) যেখানে < এবং হল গ্লোবাল ট্রান্সভার্স ফিল্ড (global transverse field)। একটি প্রাথমিক অবস্থা থেকে স্পিন গতিবিদ্যা (spin dynamics) সময়-বিবর্তন অপারেটরের (time-evolution operator) প্রথম-অর্ডার ট্রটার বিভাজন (first-order Trotter decomposition) ব্যবহার করে সিমুলেট করা যেতে পারে, J i j h যেখানে বিবর্তন সময় কে / ট্রটার ধাপে (Trotter steps) বিভক্ত করা হয় এবং এবং ঘূর্ণন গেট (rotation gates) যথাক্রমে । আমরা ট্রটারাইজেশন (Trotterization) ত্রুটির (error) প্রতি যত্নশীল নই এবং তাই যেকোনো ক্লাসিক্যাল তুলনার জন্য ট্রটারাইজড সার্কিটকে (Trotterized circuit) আদর্শ হিসাবে গ্রহণ করি। পরীক্ষামূলক সরলতার জন্য, আমরা = −2 = −π/2 ক্ষেত্রে মনোযোগ দিই যাতে রোটেশনের জন্য কেবল একটি CNOT প্রয়োজন হয়, T T δt ZZ X θJ Jδt ZZ যেখানে সমতা একটি গ্লোবাল ফেজ (global phase) পর্যন্ত রাখা হয়। ফলস্বরূপ সার্কিটে (চিত্র ১এ) [cite:1a], প্রতিটি ট্রটার ধাপ একক-কিউবিট রোটেশন, R ( h), এর একটি স্তর অনুসরণ করে সমান্তরাল দ্বি-কিউবিট রোটেশন, R ( ), এর স্তরগুলির সাথে মিলে যায়। X θ ZZ θJ পরীক্ষামূলক বাস্তবায়নের জন্য, আমরা প্রাথমিকভাবে IBM Eagle প্রসেসর ibm_kyiv ব্যবহার করেছি, যা ১২৭টি ফিক্সড-ফ্রিকোয়েন্সি ট্রান্সমন কিউবিট (fixed-frequency transmon qubits) দিয়ে গঠিত যার হেভি-হেক্স কানেক্টিভিটি (heavy-hex connectivity) এবং গড় 1 এবং 2 সময় যথাক্রমে ২৮৮ μs এবং ১২৭ μs। এই কোহেরেন্স সময়গুলি (coherence times) এই আকারের সুপারকন্ডাক্টিং প্রসেসরগুলির জন্য অভূতপূর্ব এবং এই কাজে অ্যাক্সেস করা সার্কিট ডেপথগুলি (circuit depths) অনুমতি দেয়। প্রতিবেশীদের মধ্যে দ্বি-কিউবিট CNOT গেটগুলি ক্রস-রেসোন্যান্স ইন্টারঅ্যাকশন (cross-resonance interaction) ক্যালিব্রেট (calibrating) করে উপলব্ধি করা হয়। যেহেতু প্রতিটি কিউবিটের সর্বাধিক তিনটি প্রতিবেশী রয়েছে, সমস্ত মিথস্ক্রিয়া তিনটি স্তরের সমান্তরাল CNOT গেটগুলিতে (চিত্র ১বি) [cite:1a] সঞ্চালিত হতে পারে। প্রতিটি স্তরের মধ্যে CNOT গেটগুলি সর্বোত্তম সমকালীন অপারেশনের (optimal simultaneous operation) জন্য ক্যালিব্রেট করা হয় (আরও তথ্যের জন্য পদ্ধতি বিভাগ দেখুন [cite:Sec2])। T T ZZ আমরা এখন দেখতে পাচ্ছি যে এই হার্ডওয়্যার পারফরম্যান্স উন্নতিগুলি এরর মিটিগেশন (error mitigation) সহ আরও বড় সমস্যাগুলিকে সফলভাবে কার্যকর করার অনুমতি দেয়, এই প্ল্যাটফর্মে সাম্প্রতিক কাজের তুলনায়। সম্ভাব্যতার ত্রুটি বাতিলকরণ (Probabilistic error cancellation - PEC) লক্ষ্যযুক্ত পর্যবেক্ষকদের (observables) পক্ষহীন অনুমান (unbiased estimates) প্রদানের জন্য অত্যন্ত কার্যকর প্রমাণিত হয়েছে। PEC-তে, একটি প্রতিনিধি নয়েজ মডেল (noise model) শেখা হয় এবং শেখা মডেলের সাথে সম্পর্কিত নয়েজি সার্কিটগুলির নমুনা (sampling) থেকে এটি কার্যকরভাবে উল্টে দেওয়া হয়। তবুও, আমাদের ডিভাইসে বর্তমান ত্রুটির হারের জন্য, এই কাজের সার্কিট ভলিউমগুলির জন্য স্যাম্পলিং ওভারহেড (sampling overhead) সীমাবদ্ধতা তৈরি করে, যেমনটি নিচে আরও আলোচনা করা হয়েছে। অতএব, আমরা জিরো-নয়েজ এক্সট্রাপোলেশন (zero-noise extrapolation - ZNE) এর দিকে মনোনিবেশ করি, যা একটি নয়েজ প্যারামিটারের (noise parameter) ফাংশন হিসাবে নয়েজি এক্সপেকটেশন ভ্যালুগুলির (noisy expectation values) জন্য একটি পক্ষপাতের অনুমান (biased estimator) প্রদান করে, তবে সম্ভাব্যভাবে অনেক কম স্যাম্পলিং ব্যয়ে। ZNE হল একটি পলিনোমিয়াল (polynomial) বা এক্সপোনেনশিয়াল (exponential) এক্সট্রাপোলেশন পদ্ধতি যা নয়েজি এক্সপেকটেশন ভ্যালুগুলির জন্য, একটি নয়েজ প্যারামিটারের ফাংশন হিসাবে। এর জন্য অন্তর্নিহিত হার্ডওয়্যার নয়েজকে (intrinsic hardware noise) একটি পরিচিত গেইন ফ্যাক্টর (gain factor) দ্বারা নিয়ন্ত্রিতভাবে বাড়ানোর প্রয়োজন হয় যাতে আদর্শ = 0 ফলাফলের জন্য এক্সট্রাপোলেট (extrapolate) করা যায়। ZNE ব্যাপকভাবে গৃহীত হয়েছে আংশিকভাবে কারণ পালস স্ট্রেচিং (pulse stretching) বা সাবসার্কিট পুনরাবৃত্তি (subcircuit repetition) এর উপর ভিত্তি করে নয়েজ-অ্যামপ্লিফিকেশন স্কিমগুলি (noise-amplification schemes) ডিভাইসের নয়েজ সম্পর্কে সরল অনুমানের উপর নির্ভর করার সময় সুনির্দিষ্ট নয়েজ শেখার প্রয়োজনীয়তা এড়িয়ে গেছে। তবে, আরও সুনির্দিষ্ট নয়েজ অ্যামপ্লিফিকেশন (noise amplification) এক্সট্রাপোলেটেড অনুমানকারীর পক্ষপাতের (bias) উল্লেখযোগ্য হ্রাস সক্ষম করতে পারে, যা আমরা এখানে প্রদর্শন করি। G G রেফ. এ প্রস্তাবিত স্পারস পলি-লিন্ডব্ল্যাড নয়েজ মডেল (sparse Pauli–Lindblad noise model) ZNE-তে নয়েজ শেপিংয়ের (noise shaping) জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত। মডেলটি ( ) = ∑ᵢ ( − ) এই আকারে থাকে, যেখানে হল পলি জাম্প অপারেটর (Pauli jump operators) দ্বারা হার দ্বারা ওজনযুক্ত একটি লিন্ডব্ল্যাডিয়ান (Lindbladian)। রেফ. এ দেখানো হয়েছে যে স্থানীয় কিউবিট জোড়াগুলিতে (local pairs of qubits) কাজ করা জাম্প অপারেটরগুলিতে সীমাবদ্ধতা একটি স্পারস নয়েজ মডেল (sparse noise model) তৈরি করে যা অনেক কিউবিটের জন্য দক্ষতার সাথে শেখা যায় এবং যা র্যান্ডম পলি টুইর্লসের (random Pauli twirls) সাথে মিলিত হলে দ্বি-কিউবিট ক্লিফোর্ড গেটগুলির (two-qubit Clifford gates) স্তরের সাথে যুক্ত নয়েজকে সঠিকভাবে ধারণ করতে পারে। নয়েজি গেট স্তরকে নয়েজ চ্যানেল Λ (noise channel Λ) দ্বারা পূর্ববর্তী আদর্শ গেটগুলির একটি সেট হিসাবে মডেল করা হয়। সুতরাং, Λ প্রয়োগ করার ফলে = + 1 গেইন সহ একটি সামগ্রিক নয়েজ চ্যানেল Λ উৎপন্ন হয়। পলি-লিন্ডব্ল্যাড নয়েজ মডেলের এক্সপোনেনশিয়াল ফর্মের (exponential form) দেওয়া, ম্যাপিং কেবল পলি রেট কে দ্বারা গুণ করে প্রাপ্ত হয়। ফলস্বরূপ পলি ম্যাপ (Pauli map) উপযুক্ত সার্কিট উদাহরণ (circuit instances) পেতে নমুনা করা যেতে পারে; ≥ 0 এর জন্য, ম্যাপটি একটি পলি চ্যানেল (Pauli channel) যা সরাসরি নমুনা করা যেতে পারে, যখন < 0 এর জন্য, কিছু মডেল-নির্দিষ্ট এর জন্য স্যাম্পলিং ওভারহেড সহ কোয়াসি-প্রোবাবিলিস্টিক স্যাম্পলিং (quasi-probabilistic sampling) প্রয়োজন। PEC-তে, আমরা সামগ্রিক শূন্য-গেইন নয়েজ স্তরের জন্য = −1 বেছে নিই। ZNE-তে, আমরা পরিবর্তে বিভিন্ন গেইন স্তরে নয়েজ বাড়াই এবং এক্সট্রাপোলেশন ব্যবহার করে শূন্য-নয়েজ সীমা অনুমান করি। ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, আমাদের সময়ের সাথে সাথে শেখা নয়েজ মডেলের স্থিতিশীলতা (stability) বিবেচনা করতে হবে (পরিপূরক তথ্য [cite:III.A]), উদাহরণস্বরূপ, দুই-স্তর বিশিষ্ট সিস্টেম (two-level systems) নামক বিচ্যুতিমূলক মাইক্রোস্কোপিক ত্রুটিগুলির (fluctuating microscopic defects) সাথে কিউবিটগুলির মিথস্ক্রিয়া এর কারণে। Λ ρ λᵢ Pᵢ ρPᵢ ρ Λ Pᵢ λᵢ α G α G Λ α λᵢ α α α γ γ −2 α α ক্লিফোর্ড সার্কিটগুলি (Clifford circuits) এরর মিটিগেশন দ্বারা উৎপাদিত অনুমানের বেঞ্চমার্ক (benchmarks) হিসাবে কার্যকর, কারণ এগুলি দক্ষতার সাথে ক্লাসিক্যালি সিমুলেট (simulate) করা যেতে পারে। উল্লেখযোগ্যভাবে, পুরো আইসিং ট্রটার সার্কিটটি h কে π/2 এর গুণিতক হিসাবে বেছে নিলে ক্লিফোর্ড হয়ে যায়। তাই, প্রথম উদাহরণ হিসাবে, আমরা ট্রান্সভার্স ফিল্ডকে শূন্য (R (0) = ) সেট করি এবং প্রাথমিক অবস্থা |0⟩⊗127 বিবর্তন করি (চিত্র ১এ) [cite:1a]। CNOT গেটগুলি নামমাত্রভাবে এই অবস্থাকে অপরিবর্তিত রাখে, তাই আদর্শ ওজন-১ পর্যবেক্ষক এর সমস্ত প্রত্যাশিত মান ১; প্রতিটি স্তরের পলি টুইর্লিংয়ের (Pauli twirling) কারণে, সাধারণ CNOT গুলি অবস্থা পরিবর্তন করে। প্রতিটি ট্রটার পরীক্ষার জন্য, আমরা প্রথমে তিনটি পলি-টুইল করা CNOT স্তরগুলির (চিত্র ১সি) [cite:1c] জন্য নয়েজ মডেল Λ চিহ্নিত করি এবং তারপরে নয়েজ গেইন স্তর ∈ {1, 1.2, 1.6} সহ ট্রটার সার্কিটগুলি প্রয়োগ করতে এই মডেলগুলি ব্যবহার করি। চিত্র ২এ [cite:2a] চারটি ট্রটার ধাপ (১২ CNOT স্তর) পরে ⟨ 106⟩ এর অনুমান চিত্রিত করে। প্রতিটি এর জন্য, আমরা ২,০০০ সার্কিট উদাহরণ তৈরি করেছি যেখানে, প্রতিটি স্তর এর আগে, আমরা থেকে প্রাপ্ত এক-কিউবিট এবং দ্বি-কিউবিট পলি ত্রুটির গুণফল ঢুকিয়েছি সম্ভাবনা সহdrawn with probabilities এবং প্রতিটি উদাহরণটি ৬৪ বার কার্যকর করেছি, মোট ৩,৮৪,০০০ কার্যকর করা হয়েছে। যত বেশি সার্কিট উদাহরণ সংগ্রহ করা হয়, ⟨ 106⟩ এর অনুমান, বিভিন্ন গেইন এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, পৃথক মানে অভিসারী হয়। বিভিন্ন অনুমানগুলি তখন আদর্শ মান ⟨ 106⟩0 অনুমান করার জন্য তে একটি এক্সট্রাপোলেটিং ফাংশন (extrapolating function) দ্বারা ফিট করা হয়। চিত্র ২এ [cite:2a] তে ফলাফলগুলি রৈখিক এক্সট্রাপোলেশনের (linear extrapolation) তুলনায় এক্সপোনেনশিয়াল এক্সট্রাপোলেশনের (exponential extrapolation) হ্রাসকৃত পক্ষপাতের উপর আলোকপাত করে। তা সত্ত্বেও, এক্সপোনেনশিয়াল এক্সট্রাপোলেশন অস্থিতিশীলতা প্রদর্শন করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, যখন প্রত্যাশিত মানগুলি শূন্যের খুব কাছাকাছি হয় এবং সেই ক্ষেত্রে, আমরা পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে এক্সট্রাপোলেশন মডেলের জটিলতা হ্রাস করি (পরিপূরক তথ্য [cite:II.B])। চিত্র ২এ [cite:2a] তে বর্ণিত পদ্ধতিটি প্রতিটি কিউবিট থেকে পরিমাপ করা ফলাফলে প্রয়োগ করা হয়েছিল যাতে সমস্ত = ১২৭টি পলি এক্সপেকটেশন ⟨ ⟩0 অনুমান করা যায়। চিত্র ২বি [cite:2b] তে অ-মিটিগেটেড (unmitigated) এবং মিটিগেটেড (mitigated) পর্যবেক্ষকগুলির (observables) ভিন্নতা পুরো প্রসেসরের ত্রুটির হারের অসমতার ইঙ্গিত দেয়। আমরা চিত্র ২সি [cite:2c] তে ক্রমবর্ধমান ডেপথ সহ ⟨ ⟩ = 1/ ∑ ⟨ ⟩ এর দিকে গ্লোবাল ম্যাগনেটাইজেশন (global magnetization) রিপোর্ট করি। যদিও অ-মিটিগেটেড ফলাফল ক্রমবর্ধমান ডেপথের সাথে ১ থেকে ধীরে ধীরে ক্ষয় দেখায়, ZNE গভীর সার্কিটগুলিতেও আদর্শ মানের সাথে ভাল চুক্তি উন্নত করে, যদিও একটি ছোট পক্ষপাতের সাথে। উল্লেখযোগ্যভাবে, এখানে ব্যবহৃত নমুনার সংখ্যা এই কাজের জন্য একটি সরল PEC বাস্তবায়নের জন্য প্রয়োজনীয় স্যাম্পলিং ওভারহেডের অনুমানের চেয়ে অনেক কম (পরিপূরক তথ্য [cite:IV.B])। নীতিগতভাবে, এই পার্থক্যটি আলো- शंकু ট্রেসিং (light-cone tracing) ব্যবহার করে আরও উন্নত PEC বাস্তবায়ন দ্বারা বা হার্ডওয়্যারের ত্রুটির হার উন্নত করার মাধ্যমে হ্রাস করা যেতে পারে। হার্ডওয়্যার এবং সফ্টওয়্যার উন্নয়নের সাথে সাথে স্যাম্পলিং খরচ কমতে থাকায়, ZNE-এর সম্ভাব্য পক্ষপাতের প্রকৃতি এড়াতে PEC পছন্দসই হতে পারে যখন তা সাশ্রয়ী হয়। θ X I Zq l G Z G l Pᵢ Π ∈ i S P i nᵢ pᵢ pᵢ Z G G Z G q N Zq Z N q Z q ক্লিফোর্ড শর্ত h = 0 এ ট্রটার সার্কিট থেকে মিটিগেটেড এক্সপেকটেশন ভ্যালু। , চারটি ট্রটার ধাপের পরে ⟨ 106⟩ এর অ-মিটিগেটেড ( = 1), নয়েজ-অ্যামপ্লিফাইড ( > 1) এবং নয়েজ-মিটিগেটেড (ZNE) অনুমানের অভিসৃতি। সমস্ত প্যানেলে, ত্রুটির বারগুলি পার্সেন্টাইল বুটস্ট্র্যাপ (percentile bootstrap) দ্বারা প্রাপ্ত ৬৮% আত্মবিশ্বাস ব্যবধান (confidence intervals) নির্দেশ করে। এক্সপোনেনশিয়াল এক্সট্রাপোলেশন (exp, গাঢ় নীল) লিনিয়ার এক্সট্রাপোলেশনের (linear, হালকা নীল) চেয়ে ভাল কাজ করে যখন ⟨ 106⟩ ≠0 এর অভিসৃত অনুমানের মধ্যে পার্থক্যগুলি ভালভাবে সমাধান করা হয়। , ম্যাগনেটাইজেশন (বড় মার্কার) সমস্ত কিউবিটের (ছোট মার্কার) জন্য ⟨ ⟩ এর পৃথক অনুমানের গড় হিসাবে গণনা করা হয়। , সার্কিটের গভীরতা বৃদ্ধির সাথে সাথে, এর অ-মিটিগেটেড অনুমানগুলি ১ এর আদর্শ মান থেকে মনোটোনিকালি ক্ষয় হয়। ZNE ২০ ট্রটার ধাপ পর্যন্ত (পরিপূরক তথ্য [cite:II] ZNE বিশদ বিবরণের জন্য) এমনকি অনুমানগুলিকে ব্যাপকভাবে উন্নত করে। θ ক Z G G Z G খ Zq গ Mz এর পরে, আমরা নন-ক্লিফোর্ড সার্কিট (non-Clifford circuits) এবং ক্লিফোর্ড h = π/2 বিন্দুর জন্য আমাদের পদ্ধতির কার্যকারিতা পরীক্ষা করি, যেখানে চিত্র ২ তে আলোচিত আইডেন্টিটি-সমতুল্য সার্কিটগুলির (identity-equivalent circuits) তুলনায় নন-ট্রিভিয়াল এনট্যাঙ্গলিং ডাইনামিক্স (non-trivial entangling dynamics) রয়েছে। নন-ক্লিফোর্ড সার্কিটগুলি পরীক্ষা করার জন্য বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এক্সপোনেনশিয়াল এক্সট্রাপোলেশনের বৈধতা আর নিশ্চিত নয় (পরিপূরক তথ্য [cite:V] এবং রেফ.)। আমরা সার্কিট ডেপথকে পাঁচটি ট্রটার ধাপে (১৫ CNOT স্তর) সীমাবদ্ধ করি এবং ক্রমবর্ধমান ওজনের তিনটি পর্যবেক্ষকের জন্য যত্নসহকারে পর্যবেক্ষণগুলি নির্বাচন করি যা নির্ভুলভাবে যাচাইযোগ্য। চিত্র ৩ তিনটি ক্রমবর্ধমান ওজনের পর্যবেক্ষকের জন্য ০ এবং π/2 এর মধ্যে h সুইপের (sweep) ফলাফল দেখায়। চিত্র ৩এ [cite:3a] দেখায় আগের মতো, ওজন-১ ⟨ ⟩ পর্যবেক্ষকদের গড়, যখন চিত্র ৩বি [cite:3b] এবং ৩সি [cite:3c] ওজন-১০ এবং ওজন-১৭ পর্যবেক্ষক দেখায়। পরবর্তী অপারেটরগুলি h = π/2 তে ক্লিফোর্ড সার্কিটের স্টেবিলাইজার (stabilizers) [cite:3a], যথাক্রমে |0⟩⊗127 এর প্রাথমিক স্টেবিলাইজার 13 এবং 58 এর বিবর্তন থেকে প্রাপ্ত, যা বিশেষ আগ্রহের শক্তিশালী এনট্যাঙ্গলিং রিজিমের (strongly entangling regime) মধ্যে অ-শূন্য প্রত্যাশিত মান নিশ্চিত করে। যদিও পুরো ১২৭-কিউবিট সার্কিটটি পরীক্ষামূলকভাবে কার্যকর করা হয়, আলো- शंकু এবং ডেপথ-রিডিউসড (light-cone and depth-reduced - LCDR) সার্কিটগুলি এই ডেপথের ম্যাগনেটাইজেশন এবং ওজন-১০ অপারেটরের জন্য ব্রুট-ফোর্স ক্লাসিক্যাল সিমুলেশন (brute-force classical simulation) সক্ষম করে (পরিপূরক তথ্য [cite:VII])। h সুইপের সম্পূর্ণ পরিধি জুড়ে, এরর-মিটিগেটেড পর্যবেক্ষকগুলি (error-mitigated observables) নির্ভুল বিবর্তনের (exact evolution) সাথে ভাল চুক্তি দেখায় (চিত্র ৩এ, ৩বি [cite:3a, 3b])। তবে, ওজন-১৭ অপারেটরের জন্য, আলো- शंकু ৬৮ কিউবিট পর্যন্ত প্রসারিত হয়, যা ব্রুট-ফোর্স ক্লাসিক্যাল সিমুলেশনের (brute-force classical simulation) বাইরে একটি স্কেল, তাই আমরা টেনসর নেটওয়ার্ক পদ্ধতিগুলিতে (tensor network methods) মনোনিবেশ করি। θ θ Mz Z θ Z Z θ চিত্র ১এ [cite:1a] এর সার্কিটের জন্য পাঁচটি ট্রটার ধাপের নির্দিষ্ট ডেপথের h সুইপের জন্য এক্সপেকটেশন ভ্যালু অনুমান। বিবেচিত সার্কিটগুলি h = 0, π/2 তে ক্লিফোর্ড ছাড়া নন-ক্লিফোর্ড। ডেপথ রিডাকশন সহ আলো- शंकু (light-cone and depth reductions) সমস্ত h এর জন্য পর্যবেক্ষকদের নির্ভুল ক্লাসিক্যাল সিমুলেশন সক্ষম করে। প্লট করা তিনটি রাশির জন্য (প্যানেলের শিরোনাম), মিটিগেটেড পরীক্ষামূলক ফলাফল (নীল) নির্ভুল আচরণের (ধূসর) সাথে ঘনিষ্ঠভাবে ট্র্যাক করে। সমস্ত প্যানেলে, ত্রুটির বারগুলি পার্সেন্টাইল বুটস্ট্র্যাপ দ্বারা প্রাপ্ত ৬৮% আত্মবিশ্বাস ব্যবধান নির্দেশ করে। এবং তে ওজন-১০ এবং ওজন-১৭ পর্যবেক্ষকগুলি যথাক্রমে +১ এবং -১ Eigenvalue সহ h = π/2 তে সার্কিটের স্টেবিলাইজার। এর সমস্ত মান ভিজ্যুয়াল সরলতার জন্য নেগেটেড (negated) করা হয়েছে। এর নিচের ইনসেট (inset) ডিভাইস জুড়ে h = 0.2 এ ⟨ ⟩ এর ভিন্নতা দেখায়, যা মিটিগেশনের আগে এবং পরে এবং নির্ভুল ফলাফলের সাথে তুলনা করে। সমস্ত প্যানেলের উপরের ইনসেটগুলি কার্যকারণ আলো- शंकু (causal light cones) চিত্রিত করে, যা শীর্ষ পরিমাপ করা চূড়ান্ত কিউবিট এবং নীচের চূড়ান্ত কিউবিটগুলির অবস্থাকে প্রভাবিত করতে পারে এমন প্রাথমিক কিউবিটগুলির নামমাত্র সেটকে নীল রঙে নির্দেশ করে। এছাড়াও দেখানো উদাহরণ ছাড়াও ১২৬টি অন্যান্য शंकুর উপর নির্ভর করে। যদিও সমস্ত প্যানেলে নির্ভুল ফলাফলগুলি কেবল কার্যকারণ কিউবিটগুলির সিমুলেশন থেকে পাওয়া যায়, আমরা এই কৌশলগুলির বৈধতার ডোমেইন (domain of validity) নির্ধারণে সহায়তা করার জন্য সমস্ত ১২৭টি কিউবিটের (MPS, isoTNS) টেনসর নেটওয়ার্ক সিমুলেশন অন্তর্ভুক্ত করি, যেমনটি মূল পাঠ্যে আলোচনা করা হয়েছে। isoTNS ফলাফল তে ওজন-১৭ অপারেটরের জন্য বর্তমান পদ্ধতিগুলির সাথে অ্যাক্সেসযোগ্য নয় (পরিপূরক তথ্য [cite:VI])। সমস্ত পরীক্ষা = 1, 1.2, 1.6 এর জন্য সঞ্চালিত হয়েছিল এবং পরিপূরক তথ্য [cite:II.B] অনুসারে এক্সট্রাপোলেট করা হয়েছিল। প্রতিটি এর জন্য, আমরা এবং এর জন্য ১,৮০০–২,০০০ এবং এর জন্য ২,৫০০–৩,০০০ র্যান্ডম সার্কিট উদাহরণ তৈরি করেছি। θ θ θ খ গ θ গ ক θ Zq Mz গ G G ক খ গ টেনসর নেটওয়ার্কগুলি (Tensor networks) কোয়ান্টাম স্টেট ভেক্টরগুলি (quantum state vectors) অনুমান এবং সংকুচিত করতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছে যা স্থানীয় হ্যামিলটোনিয়ানগুলির (local Hamiltonians) নিম্ন-শক্তি আইগেনস্টেট (low-energy eigenstates) এবং সময় বিবর্তনের (time evolution) গবেষণায় উদ্ভূত হয় এবং সম্প্রতি, কম-ডেপথের নয়েজি কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির (low-depth noisy quantum circuits) সিমুলেশনে সফলভাবে ব্যবহৃত হয়েছে। সিমুলেশনের নির্ভুলতা বন্ড ডাইমেনশন (bond dimension) বৃদ্ধি করে উন্নত করা যেতে পারে, যা একটি গণনা ব্যয়ে এর সাথে পলিনোমিয়ালি স্কেল করে (scales polynomially) উপস্থাপিত কোয়ান্টাম অবস্থার এনট্যাঙ্গলমেন্টের (entanglement) পরিমাণকে সীমাবদ্ধ করে। যেহেতু এনট্যাঙ্গলমেন্ট (বন্ড ডাইমেনশন) একটি জেনেরিক অবস্থার জন্য সময়ের সাথে সাথে রৈখিকভাবে (exponentially) বৃদ্ধি পায় যতক্ষণ না এটি ভলিউম ল (volume law) কে সম্পৃক্ত করে, গভীর কোয়ান্টাম সার্কিটগুলি টেনসর নেটওয়ার্কগুলির জন্য সহজাতভাবে কঠিন। আমরা কোয়াসি-১ডি ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেট (quasi-1D matrix product states - MPS) এবং ২ডি আইসোমেট্রিক টেনসর নেটওয়ার্ক স্টেট (2D isometric tensor network states - isoTNS) উভয়ই বিবেচনা করি যেগুলিতে যথাক্রমে সময়-বিবর্তন জটিলতার (time-evolution complexity) এবং স্কেলিং রয়েছে। উভয় পদ্ধতির বিস্তারিত এবং তাদের শক্তি বিভাগ [cite:Sec2] এবং পরিপূরক তথ্য [cite:VI] এ সরবরাহ করা হয়েছে। বিশেষ করে চিত্র ৩সি [cite:3c] তে দেখানো ওজন-১৭ অপারেটরের ক্ষেত্রে, আমরা খুঁজে পাই যে = ২,০৪৮ এর একটি LCDR সার্কিটের MPS সিমুলেশন সঠিক বিবর্তনের জন্য যথেষ্ট (পরিপূরক তথ্য [cite:VIII])। ওজন-১৭ পর্যবেক্ষকের বৃহত্তর কার্যকারণ शंकু (causal cone) একটি পরীক্ষামূলক সংকেত তৈরি করে যা ওজন-১০ পর্যবেক্ষকের তুলনায় দুর্বল; তবুও, মিটিগেশন এখনও সঠিক ট্রেসের (exact trace) সাথে ভাল চুক্তি প্রদান করে। এই তুলনা থেকে বোঝা যায় যে পরীক্ষামূলক নির্ভুলতার ডোমেইন (domain of experimental accuracy) নির্ভুল ক্লাসিক্যাল সিমুলেশনের স্কেলের বাইরে প্রসারিত হতে পারে। χ χ χ 3 χ 4 χ আমরা আশা করি যে এই পরীক্ষাগুলি অবশেষে সার্কিট ভলিউম এবং পর্যবেক্ষকদের কাছে প্রসারিত হবে যেখানে এই জাতীয় আলো- शंकু এবং ডেপথ হ্রাস গুরুত্বপূর্ণ নয়। অতএব, আমরা চিত্র ৩ এ কার্যকর করা সম্পূর্ণ ১২৭-কিউবিট সার্কিটের জন্য MPS এবং isoTNS এর কার্যকারিতাও অধ্যয়ন করি, যথাক্রমে = ১,০২৪ এবং = ১২ এর বন্ড ডাইমেনশনে (bond dimensions), যা প্রাথমিকভাবে মেমরি প্রয়োজনীয়তা দ্বারা সীমাবদ্ধ। চিত্র ৩ দেখায় যে টেনসর নেটওয়ার্ক পদ্ধতিগুলি h বৃদ্ধির সাথে সংগ্রাম করে, যাচাইযোগ্য ক্লিফোর্ড পয়েন্টের (verifiable Clifford point) h = π/2 এর কাছাকাছি নির্ভুলতা এবং ধারাবাহিকতা উভয়ই হারায়। এই ভাঙ্গন অবস্থার এনট্যাঙ্গলমেন্ট বৈশিষ্ট্যগুলির (entanglement properties) পরিপ্রেক্ষিতে বোঝা যেতে পারে। h = π/2 তে সার্কিটের দ্বারা উৎপাদিত স্টেবিলাইজার অবস্থা একটি নির্ভুলভাবে সমতল বাইপার্টাইট এনট্যাঙ্গলমেন্ট স্পেকট্রাম (bipartite entanglement spectrum) ধারণ করে, যা কিউবিটগুলির একটি ১ডি অর্ডারিং (1D ordering) থেকে একটি শ্মিট ডিকম্পোজিশন (Schmidt decomposition) থেকে পাওয়া যায়। সুতরাং, ছোট শ্মিট ওয়েট (small Schmidt weight) সহ অবস্থাগুলি ট্রাঙ্কেট করা (truncating) - সমস্ত টেনসর নেটওয়ার্ক অ্যালগরিদমের ভিত্তি - ন্যায্য নয়। যাইহোক, যেহেতু জেনেরিক টেনসর নেটওয়ার্ক উপস্থাপনাগুলির জন্য সার্কিট ডেপথের (circuit depth) এক্সপোনেনশিয়াল বন্ড ডাইমেনশন (exponential bond dimension) প্রয়োজন, তাই পরিচালনাযোগ্য সাংখ্যিক সিমুলেশনের জন্য ট্রাঙ্কেশন (truncation) অপরিহার্য। χ χ θ θ θ অবশেষে, চিত্র ৪ তে, আমরা আমাদের পরীক্ষাগুলি এমন রিজিমের (regimes) দিকে প্রসারিত করি যেখানে এই ক্লাসিক্যাল পদ্ধতিগুলির সাথে নির্ভুল সমাধান উপলব্ধ নয়। প্রথম উদাহরণ (চিত্র ৪এ) [cite:4a] চিত্র ৩সি [cite:3c] এর অনুরূপ কিন্তু
