ヒルベルトスキームの拡張: GIT の安定性

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4. GITの安定性

このセクションでは、[GHH19] の結果に類似した結果をいくつか設定し、前のセクションで説明した G 線形化線束の可能な選択に関して、スキーム X[n] 上のさまざまな GIT 安定性条件を説明します。特に、これらの安定性条件は、長さ m のゼロ次元サブスキームのスキーム構造に依存せず、代わりに n 点の構成の組み合わせ基準に還元できることを示します。

4.1 ヒルベルト・マンフォード基準

このセクションでは、ヒルベルト-マンフォード不変量の定義を思い出し、これらの不変量に関して安定性と半安定性の数値基準を示します。

Hを代数的に閉じた体k上に適切なスキームSに作用する簡約群とする。LをH線型化された豊富な直線束とする。すると、Hの1パラメータ部分群（便宜上1-PSと表記）は準同型として定義される。

4.2 1パラメータサブグループの作用

4.3 有界重みと組み合わせ重み

このセクションでは、[GHH19]がヒルベルト-マンフォード不変量の有界重みと組み合わせ重みと呼ぶものの関係について説明します。

[GHH19]の表記法と可能な限り一貫性を保つために、

を第一射影pと第二射影qを持つ普遍族とする。直線束

l ≫ 0の場合には比較的十分であり、[GHH19]のセクション2.2.1と全く同様にG線型化されている。

有界重みと組み合わせ重みの関係。次の補題は、ヒルベルト-マンフォード不変量を不変量の合計に分解する方法を説明します。

組み合わせ重みは線形化された線束の選択に依存しますが、有界重みは依存しないことに注意してください。[GHH19]と同様に、有界重みは、その名前が示すように、上限を与えることができることがわかります。

以下の結果は[GHH19]の補題2.3に基づいていますが、私たちの設定に合わせて若干の修正が加えられています。

ここで、制限された重みが全体の安定性条件にどのように影響するかについて議論しましょう。次の補題は [GHH19] から直接得られますが、便宜上、ここでその証明を思い出します。

証明有界重みは次のように表せることを示した。

組み合わせ重みが制限重みを上回るように、 lに十分大きな値を選択するだけです。これにより、制限重みを無視できるものとして扱い、計算で無視することができます。

注4.3.5. ここで注意すべきことは、このようなZは必ずしも滑らかに支えられるとは限らず、またZのサポートのすべての点が必ずしも∆成分に含まれるとは限らないということである。

このプロセスをすべての k ∈ {1, . . . , n} に対して繰り返すと、L の記述が得られ、このセクションの冒頭で説明した方法で、この線束から G 線形化線束 M を形成できます。これが正の組み合わせ重みを生成する理由の詳細については、次の補題の証明を参照してください。これは、Z が安定する唯一の GIT 安定性条件ではないことに注意してください。

証明組み合わせ重みは和として表せることは明らかである

4.4 半安定遺伝子座とGIT商

証明。これは補題4.3.3と4.3.7から導かれる。実際、補題4.3.3によれば、組み合わせ重みが次のように書ける場合、

証明。上記のように構築する必要はなく、任意のG線型線束Mを選択し、それに関してZはヒルベルト・マンフォード不変である。

証明。これは補題4.4.1と4.4.2から直接導かれる。

これらの構成から得られるGIT商を記述することができる。

そして補題3.1.13から同型性

上記の線形線束の全ての選択において、基底上のGIT商は以下のように振る舞う。

証明. この結果は[GHH15]の相対ヒルベルト-マンフォード基準から直接導かれる。