Hilbert Şemaları için Genişletmeler: GIT Kararlılığı

Bağlantı Tablosu

• Özet ve Giriş
• Tropikal perspektifin arka planı
• Genişletilmiş inşaat
• GIT istikrarı
• Yığın perspektifi
• Kanonik modül yığını
• Referanslar

4. GIT istikrarı

Bu bölümde, önceki bölümde açıklanan G-doğrusallaştırılmış hat demetlerinin olası seçimlerine göre X[n] şemasındaki çeşitli GIT stabilite koşullarını tanımlamak için [GHH19]'un sonuçlarına benzer bazı sonuçlar oluşturduk. Özellikle, bu kararlılık koşullarının, m uzunluğundaki sıfır boyutlu alt şemaların şema yapısına bağlı olmadığını, bunun yerine n noktanın konfigürasyonlarına ilişkin kombinatoryal kriterlere indirgenebileceğini gösterdik.

4.1 Hilbert-Mumford kriteri

Bu bölümde Hilbert-Mumford değişmezlerinin tanımını hatırlayacağız ve bu değişmezler açısından kararlılık ve yarı kararlılık için sayısal bir kriter vereceğiz.

H, cebirsel olarak kapalı bir k alanı üzerinde uygun olan S şemasına etki eden indirgeyici bir grup olsun. L, H-doğrusallaştırılmış geniş bir çizgi demeti olsun. Daha sonra H'nin 1 parametreli bir alt grubu (kolaylık olması açısından 1-PS ile gösterilir) bir homomorfizm olarak tanımlanır.

4.2 1 parametreli alt grubun eylemi

4.3 Sınırlı ve kombinatoryal ağırlıklar

Bu bölümde, Hilbert-Mumford değişmezlerinin sınırlı ve kombinatoryal ağırlıkları olarak adlandırdığımız [GHH19] arasındaki ilişkiyi açıklıyoruz.

Gösterimi [GHH19] ile mümkün olduğu kadar tutarlı tutarak,

birinci ve ikinci projeksiyonları p ve q olan evrensel aile olsun. Hat paketi

l ≫ 0 olduğunda nispeten geniştir ve tam olarak [GHH19 Bölüm 2.2.1'de olduğu gibi G-doğrusallaştırılmıştır.

Sınırlı ve kombinatoryal ağırlıklar arasındaki ilişki. Aşağıdaki lemmalar Hilbert-Mumford değişmezinin nasıl değişmezlerin toplamına ayrıştırılabileceğini açıklamaktadır.

Kombinatoryal ağırlığın doğrusallaştırılmış çizgi demetinin seçimine bağlı olmasına rağmen sınırlı ağırlığın buna bağlı olmadığını unutmayın. [GHH19]'a benzer şekilde, sınırlı ağırlığa, adından da anlaşılacağı gibi, bir üst sınır verilebileceğini gösterebiliriz.

Aşağıdaki sonuç, bizim ortamımıza uyacak bazı küçük değişikliklerle birlikte [GHH19]'un Lemma 2.3'üne dayanmaktadır.

Şimdi sınırlı ağırlığın genel stabilite durumunu nasıl etkilediğini tartışalım. Aşağıdaki lemma doğrudan [GHH19]'dan alınmıştır, ancak kolaylık olması açısından onların kanıtlarını burada hatırlatıyoruz.

Kanıt . Sınırlı ağırlığın şu şekilde ifade edilebileceğini gösterdiğimiz gibi

kombinatoryal ağırlığın sınırlı ağırlığı aşmasını sağlayacak kadar büyük bir l değeri seçmek yeterlidir. Bu, sınırlı ağırlığı etkili bir şekilde ihmal edilebilir olarak ele almamıza ve bunu hesaplamalarımızda göz ardı etmemize olanak tanır.

Açıklama 4.3.5. Burada, böyle bir Z'nin mutlaka düzgün bir şekilde desteklenmeyeceğini veya Z'nin desteğinin her noktasının mutlaka bir ∆ bileşeninde yer almayacağını unutmayın.

Bu işlemi tüm k ∈ {1, . . . , n} bize L'nin tanımını verecektir ve bu bölümün başında anlatıldığı gibi bu çizgi demetinden G-doğrusallaştırılmış M çizgi demetini oluşturabiliriz. Bunun neden pozitif bir kombinatoryal ağırlık sağladığına dair daha fazla ayrıntı için aşağıdaki lemmanın ispatına bakın. Z'nin stabil olduğu tek GIT stabilite koşulunun bu olmadığını unutmayın.

Kanıt . Kombinatoryal ağırlığın toplam olarak yazılabileceği açıktır.

4.4 Yarı kararlı konum ve GIT bölümü

Kanıt . Bu, Lemmas 4.3.3 ve 4.3.7'den gelmektedir. Aslında Lemma 4.3.3'e göre kombinatoryal ağırlık şu şekilde yazılabilir:

Kanıt . Z'nin Hilbert-Mumford değişmezine sahip olduğu, yukarıdaki gibi oluşturulması gerekmeyen, keyfi bir G-doğrusallaştırılmış M çizgi paketini seçelim.

Kanıt . Bu doğrudan Lemmas 4.4.1 ve 4.4.2'den gelmektedir.

Artık bu yapılardan kaynaklanan GIT oranlarını tanımlayabiliriz. İzin vermek

Sonra Lemma 3.1.13'ten izomorfizmi hatırlıyoruz

Yukarıda açıklanan tüm doğrusallaştırılmış hat demeti seçenekleri için tabandaki GIT bölümü bu nedenle aşağıdaki gibi davranır

Kanıt . Bu sonuç doğrudan [GHH15]'in göreceli Hilbert-Mumford kriterinden kaynaklanmaktadır.