Ampliaciones para los esquemas Hilbert: estabilidad de GIT

Tabla de enlaces

• Resumen e introducción
• Antecedentes de la perspectiva tropical
• La construcción ampliada
• Estabilidad GIT
• Perspectiva de pila
• La pila de módulos canónicos
• Referencias

4. Estabilidad de GIT

En esta sección, configuramos algunos resultados análogos a los de [GHH19] para describir varias condiciones de estabilidad GIT en el esquema X[n] con respecto a las posibles opciones de haces de líneas G-linealizadas descritas en la sección anterior. En particular, mostramos que estas condiciones de estabilidad no dependen de la estructura del esquema de los subesquemas de dimensión cero de longitud m, sino que pueden reducirse a criterios combinatorios en configuraciones de n puntos.

4.1 Criterio de Hilbert-Mumford

En esta sección recordaremos la definición de invariantes de Hilbert-Mumford y daremos un criterio numérico para la estabilidad y semiestabilidad en términos de estas invariantes.

Sea H un grupo reductor que actúa según un esquema S, que es propio sobre un campo algebraicamente cerrado k. Sea L un paquete de líneas amplias H-linealizado. Entonces, un subgrupo de 1 parámetro de H (denotado 1-PS por conveniencia) se define como un homomorfismo

4.2 Acción del subgrupo de 1 parámetro

4.3 Pesos acotados y combinatorios

En esta sección, explicamos la relación entre lo que [GHH19] llama los pesos acotados y combinatorios de las invariantes de Hilbert-Mumford.

Manteniendo la notación lo más consistente posible con [GHH19], dejemos

ser la familia universal, con primera y segunda proyecciones p y q. El paquete de líneas

es relativamente amplio cuando l ≫ 0 y está G-linealizado, exactamente como en la Sección 2.2.1 de [GHH19].

Relación entre pesos acotados y combinatorios. Los siguientes lemas describen cómo el invariante de Hilbert-Mumford se puede descomponer en una suma de invariantes.

Tenga en cuenta que, mientras que el peso combinatorio depende de la elección del paquete de líneas linealizado, el peso acotado no. De manera similar a [GHH19], podemos demostrar que al peso acotado, como su nombre indica, se le puede dar un límite superior.

El siguiente resultado se basa en el Lema 2.3 de [GHH19], con algunas ligeras modificaciones para adaptarse a nuestra configuración.

Analicemos ahora cómo el peso limitado afecta la condición de estabilidad general. El siguiente lema es inmediato de [GHH19], pero recordamos aquí su demostración por conveniencia.

Prueba . Como hemos demostrado, el peso acotado se puede expresar como

es sólo cuestión de elegir un valor de l lo suficientemente grande como para que el peso combinatorio supere al peso acotado. Esto nos permite tratar efectivamente el peso acotado como insignificante e ignorarlo en nuestros cálculos.

Observación 4.3.5. Tenga en cuenta aquí que tal Z no necesariamente estará soportado suavemente, ni todos los puntos del soporte de Z estarán necesariamente contenidos en una componente ∆.

Repitiendo este proceso en todo k ∈ {1, . . . , n} nos dará una descripción de L y podemos formar el paquete de líneas linealizado G M a partir de este paquete de líneas de la manera descrita al comienzo de esta sección. Para obtener más detalles sobre por qué esto produce un peso combinatorio positivo, consulte la prueba del siguiente lema. Tenga en cuenta que esta no es la única condición de estabilidad GIT para la cual Z es estable.

Prueba . Está claro que el peso combinatorio se puede escribir como una suma

4.4 Locus semiestable y cociente GIT

Prueba . Esto se desprende de los Lemas 4.3.3 y 4.3.7. De hecho, según el Lema 4.3.3, si el peso combinatorio se puede escribir en la forma

Prueba . Elijamos un paquete de líneas G-linealizado arbitrario M, no necesariamente construido como arriba, con respecto al cual Z tiene invariante de Hilbert-Mumford

Prueba . Esto se desprende directamente de los Lemas 4.4.1 y 4.4.2.

Ahora podemos describir los cocientes GIT resultantes de estas construcciones. Dejar

Luego recordamos del Lema 3.1.13, el isomorfismo

Para todas las opciones de paquete de líneas linealizadas descritas anteriormente, el cociente GIT en la base se comporta de la siguiente manera

Prueba . Este resultado se deriva directamente del criterio relativo de Hilbert-Mumford de [GHH15].