Îles de gravité et multivers

Tableau des liens

Abstrait

Reconnaissance

PARTIE I

Chapitre 1 Introduction

Chapitre 2 : LEC SU(3) de la théorie des cordes de type IIA

Chapitre 3 : Transition de phase de déconfinement dans les théories de type QCD thermique à couplage intermédiaire en l'absence et en présence de rotation

Chapitre 4 : Conclusion et perspectives d'avenir

DEUXIEME PARTIE

Chapitre 5 : Introduction

Chapitre 6 : Courbes de pages du trou noir de Reissner-Nordström en gravité HD

Chapitre 7 : Entropie d'intrication et courbe de page du double de la théorie M de la QCD thermique au-dessus de Tc au couplage intermédiaire

Chapitre 8 : Îles de trous noirs dans un espace-temps à horizon multi-événements

Chapitre 9 : Multivers dans Karch-Randall Braneworld

Chapitre 10 : Conclusion et perspectives d’avenir

ANNEXE A

APPENDICE B

ANNEXE C

Bibliographie

Partie II (HD) Îles gravitationnelles et multivers

"Dieu ne joue pas aux dés." - Albert Einstein

« Dieu ne se contente pas de jouer aux dés, il lance parfois les dés là où ils ne sont pas visibles. » - Stephen Hawking

« Si Dieu lance les dés là où ils ne sont pas visibles, ils ne peuvent pas nous affecter. » -Don Page

CHAPITRE 5 - INTRODUCTION

Dans ce chapitre, nous présentons l'introduction du matériel nécessaire pour comprendre le paradoxe de l'information et sa résolution à partir de l'holographie. Nous commençons par la discussion sur l'entropie d'intrication dans la section 5.1, nous discutons du paradoxe de l'information et de la courbe de Page dans la section 5.2 et enfin nous discutons de la résolution du paradoxe de l'information en 5.3 à partir de la proposition d'île, de la configuration doublement holographique et de l'holographie en coin en 5.3. 1, 5.3.2 et 5.3.3 respectivement

5.1 Entropie d'intrication holographique : propositions de Ryu-Takayanagi et Dong

Entropie d'intrication en mécanique quantique (QM) : discutons d'abord de l'entropie d'intrication dans le système de mécanique quantique. Considérons un système dont l'état est noté |ψ⟩. La matrice de densité du système est définie comme :

L'entropie d'intrication est mesurée par l'entropie de von-Neumann. Pour cela, nous devons d'abord partitionner le système en deux sous-systèmes A et B. Les états des sous-systèmes A et B sont notés |ψ⟩A et |ψ⟩B tels que |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ UNE ⊗ |ψ⟩B . La matrice de densité réduite du sous-système A est obtenue en traçant les degrés de liberté du sous-système B et vice-versa.

Maintenant, l'entropie de von-Neumann est définie comme :

Entropie d'intrication dans la théorie quantique des champs (QFT) : il n'est pas facile de calculer l'entropie d'intrication dans les théories quantiques des champs (QFT) en factorisant le système en sous-systèmes, car la factorisation n'est pas toujours possible dans les QFT. L'entropie d'intrication dans QFT est calculée à l'aide de l'astuce de réplique. Tout d’abord, définissons l’entropie Renyi :

• Nous devons trouver une surface à deux dimensions (ϵA) dans le massif Md+1 qui est ancrée sur ∂A.

• Il existe une possibilité de nombreuses surfaces mais nous devons considérer celle qui satisfait à la contrainte d'homologie, c'est-à-dire que ϵA est doucement rétractable vers la région limite A.

• Parmi les surfaces qui satisfont la contrainte d'homologie, nous devons choisir celle avec la surface minimale, puis l'entropie d'intrication est définie comme :

La formule Ryu-Takayangi a certaines limites, elle est applicable aux arrière-plans indépendants du temps. Pour le contexte dépendant du temps, il faut utiliser la formule HRT [125] où HRT signifie Hubney, Rangamani et Takayanagi. Des corrections quantiques à tout ordre dans ℏ à la formule de Ryu-Takayanagi ont été incorporées dans [126] où il est nécessaire d'extraire l'entropie généralisée. Les surfaces qui extrémisent l'entropie généralisée sont connues sous le nom de surfaces quantiques extrêmes (QES). S’il existe plusieurs surfaces quantiques extrêmes, nous devons alors considérer celle avec une superficie minimale. Dans [6], les auteurs ont généralisé la prescription QES aux surfaces insulaires où nous devons extrémiser l'entropie généralisée comme fonctionnelle qui inclut la contribution des surfaces insulaires. Dans ce cas, les surfaces extrêmes sont appelées îles extrêmes quantiques. Puisque, dans cette thèse, nous nous limitons aux milieux indépendants du temps et nous ne discuterons donc pas de la formule HRT.

• Appelons chaque terme comme αème terme après avoir obtenu l'expression finale du deuxième terme qui est obtenue à partir de la différenciation du lagrangien par rapport au tenseur de Riemann deux fois.

• Nous devons effectuer les transformations suivantes sur certaines composantes des tenseurs de Riemann :

La raison pour laquelle nous discutons de ces propositions est que lorsque nous calculons la courbe de Page des trous noirs dans une configuration doublement holographique et une holographie en coin, ces propositions seront utiles. L'entropie d'intrication holographique a également été calculée à partir du tenseur de contrainte holographique et des termes de surface dans [128] et [129] respectivement.

5.2 Paradoxe de l'information et courbe de page de Hawking

Le paradoxe de l'information sur les trous noirs de Hawking est une énigme de longue date qui a commencé avec ses articles [130, 131]. Lorsque la matière s’effondre pour former un trou noir, la matière entière est stockée dans la singularité. L'horizon du trou noir recouvre la singularité du trou noir. Initialement, le système est à l’état pur. Hawking a étudié la création de particules par paires avec une énergie négative et positive en présence d'effets quantiques, et il a découvert qu'une particule avec une énergie négative est piégée à l'intérieur du trou noir, alors que la particule avec une énergie positive dispersée à l'infini est ce que nous recevons. dans le rayonnement de Hawking. Nous pouvons obtenir le rayonnement du trou noir grâce à la mécanique quantique, ce qui permet la possibilité d'un tunnel quantique à travers une barrière de potentiel. Dans le cas d’un trou noir, l’horizon joue le rôle de barrière potentielle. Hawking a calculé le spectre des particules sortant du trou noir et a découvert que le spectre se comporte comme le spectre du rayonnement thermique avec une température connue sous le nom de température de Hawking, ce qui implique un état mixte. Cela signifie que le trou noir évolue de l’état pur à l’état mixte et que l’évolution unitaire de la mécanique quantique n’est donc pas préservée. Cela conduit au fameux « paradoxe de l’information ».

Page a suggéré que lorsque nous incluons les effets quantiques, alors le trou noir doit suivre l'évolution unitaire [132]. Si nous considérons le trou noir et la région de rayonnement comme un système unique, il faudrait alors obtenir la courbe de Page pour résoudre le paradoxe. Pour le trou noir en évaporation, l'entropie d'intrication du rayonnement de Hawking augmente d'abord linéairement avec le temps jusqu'au temps de Page, puis retombe à zéro [132]. Nous nous intéressons aux trous noirs éternels, et pour ces houes noires, au lieu de tomber à zéro de l'entropie d'intrication, on obtient l'entropie d'intrication constante après le temps de Page, et cette valeur constante est égale au double de l'entropie thermique du trou noir. des trous.

Dans cette partie de la thèse, nous nous concentrons sur l'obtention de la courbe de Page des trous noirs éternels en utilisant les propositions récentes données dans la littérature, par exemple la proposition d'île, la configuration doublement holographique et l'holographie en coin. En plus d'obtenir la courbe de Page, nous avons également obtenu d'autres résultats intéressants, qui seront discutés dans les prochains chapitres.

5.3 Résolution du paradoxe de l'information provenant de l'holographie

Les trois propositions suivantes sont disponibles dans la littérature, qui ont commencé avec l'idée de l'holographie pour résoudre le paradoxe de l'information sur les trous noirs.

5.3.1 Proposition d'île et son extension à la gravité HD

Les auteurs dans [6] ont proposé une méthode pour résoudre le paradoxe de l'information qui équivaut à obtenir la courbe de Page. L'idée est qu'au début, nous obtenons uniquement la contribution de la région de rayonnement qui donne la partie divergente de l'entropie d'intrication aux temps tardifs, car l'entropie d'intrication du rayonnement de Hawking s'avère être proportionnelle au temps. Selon [6], au début, la situation reste la même, tandis qu'à la fin, l'intérieur des trous noirs devient une partie du coin d'intrication et, par conséquent, à la fin, l'entropie de l'intrication reçoit les contributions du rayonnement ainsi que de l'intérieur des trous noirs. La partie de l’intérieur des trous noirs qui contribue à l’entropie d’intrication est connue sous le nom d’« île ».

La règle des îles a été proposée à partir d'une configuration dans laquelle nous couplons le trou noir JT (Jackiw Teitelboim) en évaporation et la matière conforme sur la brane de Planck avec le bain CFT bidimensionnel [6]. Le trou noir est contenu sur la brane de Planck et le rayonnement de Hawking est collecté dans le bain conforme 2D. Cette configuration comporte les trois descriptions suivantes.

• 2D-Gravité : La brane de Planck est couplée au bain CFT externe, qui fait office de puits pour le rayonnement Hawking.

• Gravité 3D : la théorie du champ conforme bidimensionnel présente la gravité tridimensionnelle duale avec la métrique AdS3 via la correspondance AdS/CFT.

• QM : La limite du bain CFT externe est unidimensionnelle où la mécanique quantique (QM) est présente.

La formule de l'île a été dérivée de l'intégrale du chemin gravitationnel en utilisant l'astuce de réplique pour les trous noirs spéciaux JT dans [133, 134]. Les auteurs ont obtenu la courbe de Page à partir des selles déconnectées et connectées. On obtient la dépendance temporelle linéaire dans la courbe de Page à partir des selles déconnectées, tandis que les selles connectées produisent la partie finie de la courbe de Page. La discussion de [133] est également valable pour les répliques de trous de ver avec une limite n . L’entropie généralisée en présence de surface insulaire s’écrit comme suit :

où R, GN et I représentent la région de rayonnement, la constante de Newton et la surface de l'île. L'équation (5.11) contient deux termes : la surface de l'île et la contribution de matière provenant du rayonnement et des régions insulaires. D’après (5.11), nous pouvons facilement voir que lorsque la surface de l’île est absente alors S gen (r) = S matte r(R). Il a été montré dans la littérature que la surface de l'île émerge tardivement et donc initialement on obtient la dépendance temporelle linéaire dans la courbe de Page et à des moments tardifs, lorsque la contribution de la surface de l'île domine alors on obtient la chute de l'entropie d'intrication pour le noir qui s'évapore. trous alors que partie constante (deux fois leurs entropies thermiques) pour les éternels trous noirs. Ainsi, lorsque nous incluons ces contributions, nous obtenons la courbe de Page. S’il y a plus d’une surface d’îlot, nous devons considérer celle qui a la superficie minimale. Nous avons suivi cette proposition pour obtenir la courbe de Page du trou noir de Schwarzschild de-Sitter dans [12] et discutée en détail dans le chapitre 8 de cette thèse. Voir [135-137] pour l'application de la proposition d'îlot dans le contexte de la gravité JT et d'autres problèmes [138-140].

La proposition d'île a été étendue à une gravité dérivée plus élevée dans [141]. La proposition est exactement similaire à [6] mais nous devons remplacer le premier terme de (5.11) par le terme qui peut donner des informations sur l'entropie d'intrication de gravité dérivée supérieure et la formule pour celle-ci a été proposée par X. Dong dans [127] et donc la proposition d'île en présence de termes dérivés supérieurs dans l'action gravitationnelle s'écrit [141]

où Smatter est la même que la matière S (R ∪ I) de (5.11) et la gravité S sera calculée en utilisant la formule de Dong [127]. Pour la correspondance AdSd+1/CF Td, les formules de Dong sont données ci-dessous[1].

où

5.3.2 Configuration doublement holographique

La configuration doublement holographique est une configuration intéressante pour calculer la courbe de Page des trous noirs. Comme son nom l'indique, il s'agit de la double copie de l'holographie habituelle proposée par J. Maldacena. Tout d’abord, nous devons prendre l’essentiel et tronquer la géométrie le long de l’une des coordonnées spatiales [142, 143]. Ce faisant, on génère une géométrie à d dimensions intégrée dans le volume dimensionnel (d + 1). La géométrie de dimension D est connue sous le nom de brane de fin du monde ou brane de KarchRandall dans la littérature, et cette holographie est appelée « holographie braneworld ». La configuration doublement holographique est obtenue en joignant les deux copies du modèle Karch-Randall. L'installation se compose d'un trou noir éternel vivant sur la brane et de deux bains où l'on peut collecter le rayonnement de Hawking. Ces deux bains se comportent comme des états doubles de champ thermique car ils sont comme deux copies de la théorie des champs conformes aux limites (BCFT). Discutons de la double holographie dans le contexte de la correspondance AdS d+1/BCFTd en utilisant une approche ascendante, et la configuration est illustrée dans la figure 5.1.

La configuration doublement holographique a les trois descriptions résumées ci-dessous.

• Description de la limite : BCFT d -dimensionnel à la limite conforme de l'AdS en vrac d+1 . La limite de BCFTd est le ( d − 1 ) défaut dimensionnel.

• Description intermédiaire : La gravité sur la brane de fin du monde est couplée au BCFT via une condition aux limites transparente au niveau du défaut.

• Description globale : le dual holographique de BCFTd est l'espace-temps AdSd+1 .

La description intermédiaire est cruciale pour résoudre le paradoxe de l’information. Parce que dans cette description, le trou noir vivant sur la brane du bout du monde se couple directement au bain CFT externe. Définissez S(R) comme l'entropie de von Neumann de la sous-région R sur une tranche de temps constante dans la description 1. On peut obtenir le S(R) dans la deuxième description à partir de la règle des îles [6] :

où la fonctionnelle d'entropie généralisée (S gen (R ∪ I)) est [126] :

Une configuration doublement holographique est avantageuse dans le sens où nous pouvons obtenir S(R) très facilement en utilisant la formule classique de Ryu-Takayanagi [107]. Lorsque le volume est (d + 1) dimensionnel alors [107] :

où γ est la codimension minimale de deux surfaces en vrac.

Dans la figure 5.1, il y a deux BCFT sur la limite conforme du volume. La ligne verticale est la brane de fin du monde qui contient le trou noir. Le bain CFT collecte le rayonnement Hawking émis par le trou noir. Cette configuration a deux surfaces extrémales possibles : Hartman-Maldacena [144] et les surfaces insulaires. La surface Hartman-Maldacena relie les deux BCFT ; il commence au bain CFT, traverse les horizons, atteint le tournant, puis rencontre le double partenaire thermofield de BCFT. L'entropie d'intrication est divergente tardivement pour la surface de Hartman-Maldacena, ce qui implique le paradoxe informationnel de Hawking. La surface de l'îlot commence au bain CFT externe et atterrit sur la brane du bout du monde. L'entropie d'intrication de la surface de l'île s'avère être une valeur constante (deux fois l'entropie thermique du trou noir). On récupère donc la courbe de Page en combinant les contributions des entropies d'intrication de ces deux surfaces extrémales. Voir [7, 145-161] pour la littérature abondante sur la configuration doublement holographique.

Certains auteurs ont constaté que la gravité est massive sur la brane de fin du monde [162-165] lorsque l’on couple la brane au bain CFT externe. Dans certains articles, les auteurs ont montré que nous pouvions construire une configuration doublement holographique avec une gravité sans masse sur la brane [11, 154, 166, 167]. Nous avons construit la configuration doublement holographique à partir d'une approche descendante dans [11] et les détails sont donnés au chapitre 7. Nous avons un bain non conforme (QCD2+1) et la théorie du dual holographique est M incluant les corrections O(R4 ). [1]. La raison de l'existence d'un graviton sans masse dans notre configuration est que nous avions besoin que la fonction d'onde du graviton soit normalisée, la deuxième raison est due à la condition aux limites de Dirichlet sur la fonction d'onde du graviton, et la troisième raison est que cette fin -la brane du monde avait une tension non nulle et donc la localisation du graviton est possible sur la brane dans un potentiel de type « volcan ». Nous avons obtenu la courbe de Page avec une gravité sans masse dans notre configuration, ce qui était impossible dans d'autres configurations doublement holographiques sans le terme DGP. Une autre méthode pour déduire la gravité sans masse sur la brane consiste à inclure le terme Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) [168] sur la brane [166].5.3.3 Holographie en coin

5.3.3 Holographie en coin

Dans la configuration doublement holographique, le bain externe est un bain CFT fixe. Dans certains articles, il a été constaté que la gravité est massive sur la brane de la fin du monde et que la prescription insulaire n'est pas valable dans la gravité sans masse. Certains auteurs considéraient le bain comme gravitant également [8, 9, 162, 169]. Cette configuration est connue sous le nom d’holographie en coin dans la littérature. Il a également été avancé qu'en holographie en coin, la surface Hartman-Maldacena n'existe pas et donc pas de courbe de Page dans l'holographie en coin. Dans [13], nous avons montré que l'entropie d'intrication de la surface de HartmanMaldacena est non nulle pour le trou noir AdS et Schwarzschild et elle est nulle pour le trou noir de-Sitter. Cela implique que l'on pourrait obtenir la courbe de Page pour le trou noir AdS et Schwarzschild mais pas pour l'espace de De-Sitter en utilisant l'holographie en coin. Voir la figure 5.2 pour la description picturale de l'holographie en coin. On peut obtenir ou non la courbe de Page en holographie wedge est un sujet discutable. Certains progrès dans cette direction ont été réalisés dans [166]. Il a été montré par l'auteur que nous pouvons localiser la courbe de Page avec une gravité sans masse sur la brane de Karch-Randall à condition d'inclure le terme DGP sur la brane de Karch-Randall, voir [170, 171] pour l'analyse détaillée avec des exemples. .

Prendre en considération l'action suivante, [8, 9, 169], pour décrire la description mathématique de l'holographie en coin :

L'équation ci-dessus a la solution suivante [9] :

Semblable à la double holographie, l’holographie en coin a également les trois descriptions :

• Description de la limite : BCF Td sur la frontière conforme du massif AdSd+1 avec le défaut dimensionnel ( d − 1 ).

• Description intermédiaire : deux systèmes gravitationnels sont reliés entre eux via la condition aux limites transparente au niveau du défaut.

• Description globale : le dual holographique de BCFTd est l'espace-temps gravitationnel classique AdSd+1 .

Le dictionnaire holographique en coin pour le volume dimensionnel ( d + 1) est énoncé comme suit : le dual holographique de la théorie du champ conforme du défaut (d−1) dimensionnel est la gravité classique dans les dimensions (d+1) . Il s’agit donc d’une holographie à deux dimensions codimensionnelles. Comprenons maintenant comment cette dualité existe.

L'holographie Braneworld [142,143] relie la première et la deuxième ligne tandis que la correspondance AdS/CFT [17] entre la gravité dynamique sur la brane de Karch-Randall et le défaut CFT relie la deuxième et la troisième ligne. Par conséquent, la gravité classique dans le volume ( d + 1) est double à CFTd−1 au niveau du défaut. L'holographie en coin nous aide à obtenir la courbe de Page des trous noirs similaire à la configuration doublement holographique discutée en 5.3.2. Il faut calculer les entropies d'intrication des surfaces de Hartman-Maldacena et des îles et le tracé de ces entropies avec le temps donnera la courbe de Page.

[1] Nous avons déjà écrit la formule dans (5.1), nous écrivons ici la forme covariante de (5.1). Dans cette formule, a et i, j représentent les directions tangentielles et normales.