Islas de gravedad y el multiverso

Tabla de enlaces

Abstracto

Reconocimiento

PARTE I

Capítulo 1 Introducción

Capítulo 2: LEC SU(3) de la teoría de cuerdas tipo IIA

Capítulo 3: Transición de fase de desconfinamiento en teorías térmicas similares a QCD en acoplamiento intermedio en ausencia y presencia de rotación

Capítulo 4: Conclusión y perspectivas futuras

PARTE II

Capítulo 5: Introducción

Capítulo 6: Curvas de página del agujero negro de Reissner-Nordström en gravedad HD

Capítulo 7: Entropía de entrelazamiento y curva de página de la teoría M dual de QCD térmica por encima de Tc en acoplamiento intermedio

Capítulo 8: Islas de agujeros negros en el espacio-tiempo del horizonte de eventos múltiples

Capítulo 9: Multiverso en Karch-Randall Braneworld

Capítulo 10: Conclusión y perspectivas de futuro

APÉNDICE A

APÉNDICE B

APÉNDICE C

Bibliografía

Parte II (HD) Islas de gravedad y multiverso

"Dios no juega a los dados." - Albert Einstein

“Dios no sólo juega a los dados, a veces los tira donde no se pueden ver”. - Stephen Hawking

“Si Dios tira los dados donde no se pueden ver, no pueden afectarnos”. - Don Página

CAPÍTULO 5 - INTRODUCCIÓN

En este capítulo presentamos la introducción de los materiales necesarios para comprender la paradoja de la información y su resolución a partir de la holografía. Comenzamos con la discusión sobre la entropía de entrelazamiento en la sección 5.1, discutimos la paradoja de la información y la curva de Page en la sección 5.2 y finalmente discutimos la resolución de la paradoja de la información en 5.3 a partir de la propuesta de isla, configuración doblemente holográfica y holografía en cuña en 5.3. 1, 5.3.2 y 5.3.3 respectivamente

5.1 Entropía de entrelazamiento holográfico: propuestas de Ryu-Takayanagi y Dong

Entropía de entrelazamiento en la mecánica cuántica (QM): analicemos primero la entropía de entrelazamiento en un sistema de mecánica cuántica. Consideremos un sistema cuyo estado se denota por |ψ⟩. La matriz de densidad del sistema se define como:

La entropía de entrelazamiento se mide mediante la entropía de von-Neumann. Para esto, primero tenemos que dividir el sistema en dos subsistemas A y B. Los estados en los subsistemas A y B se denotan por |ψ⟩A y |ψ⟩B tal que |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . La matriz de densidad reducida del subsistema A se obtiene trazando los grados de libertad del subsistema B y viceversa.

Ahora, la entropía de von-Neumann se define como:

Entropía de entrelazamiento en la teoría cuántica de campos (QFT): no es fácil calcular la entropía de entrelazamiento en las teorías cuánticas de campos (QFT) factorizando el sistema en subsistemas porque la factorización no siempre es posible en las QFT. La entropía de entrelazamiento en QFT se calcula mediante el truco de réplica. Primero, definamos la entropía de Renyi:

• Necesitamos encontrar una superficie co-dimensionada dos (ϵA) en el conjunto Md+1 que esté anclado en ∂A.

• Existe la posibilidad de que existan muchas superficies, pero debemos considerar aquella que satisface la restricción de homología, es decir, ϵA se retrae suavemente hasta la región límite A.

• De aquellas superficies que satisfacen la restricción de homología, debemos elegir la que tiene el área mínima, entonces la entropía de entrelazamiento se define como:

La fórmula Ryu-Takayangi tiene ciertas limitaciones, es aplicable a entornos independientes del tiempo. Para los antecedentes que dependen del tiempo, se requiere utilizar la fórmula HRT [125] donde HRT significa Hubney, Rangamani y Takayanagi. Las correcciones cuánticas a todo orden en ℏ a la fórmula de Ryu-Takayanagi se incorporaron en [126] donde se requiere extremar la entropía generalizada. Las superficies que extreman la entropía generalizada se conocen como superficies extremas cuánticas (QES). Si hay más de una superficie cuántica extrema, entonces debemos considerar la que tiene un área mínima. En [6], los autores generalizaron la prescripción QES a superficies de islas donde debemos extremar la entropía generalizada como funcional que incluye la contribución de las superficies de islas. En este caso, las superficies extremas se conocen como islas cuánticas extremas. Dado que en esta tesis nos limitamos a entornos independientes del tiempo, no discutiremos la fórmula de la TRH.

• Etiquetemos cada término como αésimo término después de obtener la expresión final del segundo término que se obtiene de la diferenciación del tensor lagrangiano con respecto al tensor de Riemann dos veces.

• Necesitamos realizar las siguientes transformaciones en ciertos componentes de los tensores de Riemann:

La razón para discutir estas propuestas es que cuando calculemos la curva de Page de los agujeros negros en configuración doblemente holográfica y holografía en cuña, estas propuestas serán útiles. La entropía de entrelazamiento holográfico también se ha calculado a partir del tensor de tensión holográfico y los términos de superficie en [128] y [129] respectivamente.

5.2 Paradoja de la información de Hawking y curva de página

La paradoja de la información sobre los agujeros negros de Hawking es un enigma de larga data que comenzó con sus artículos [130, 131]. Cuando la materia colapsa para formar un agujero negro, toda la materia se almacena en la singularidad. El horizonte del agujero negro cubre la singularidad del agujero negro. Inicialmente el sistema se encuentra en estado puro. Hawking estudió la creación de pares de partículas con energía negativa y positiva en presencia de efectos cuánticos, y descubrió que una partícula con energía negativa queda atrapada dentro del agujero negro, mientras que la partícula con energía positiva dispersada hasta el infinito es lo que recibimos. en la radiación de Hawking. Podemos obtener la radiación del agujero negro gracias a la mecánica cuántica, que permite la posibilidad de crear un túnel cuántico a través de una barrera de potencial. En el caso de un agujero negro, el horizonte actúa como barrera de potencial. Hawking calculó el espectro de las partículas que salen del agujero negro y descubrió que el espectro se comporta como el espectro de radiación térmica con una temperatura conocida como temperatura de Hawking, lo que implica un estado mixto. Esto significa que el agujero negro evoluciona del estado puro al estado mixto y, por tanto, no se conserva la evolución unitaria de la mecánica cuántica. Esto lleva a la famosa “paradoja de la información”.

Page sugirió que cuando incluimos los efectos cuánticos, entonces el agujero negro debe seguir la evolución unitaria [132]. Si consideramos el agujero negro y la región de radiación como un solo sistema, entonces deberíamos obtener la curva de Page para resolver la paradoja. Para el agujero negro en evaporación, la entropía de entrelazamiento de la radiación de Hawking primero aumenta linealmente con el tiempo hasta el tiempo de Page y luego vuelve a caer a cero [132]. Estamos interesados en los agujeros negros eternos, y para estos agujeros negros, en lugar de caer a cero la entropía de entrelazamiento, se obtiene la entropía de entrelazamiento constante después del tiempo de Page, y este valor constante es igual al doble de la entropía térmica del agujero negro. agujeros.

En esta parte de la tesis, nos centramos en obtener la curva de Page de los agujeros negros eternos utilizando las propuestas recientes dadas en la literatura, por ejemplo, propuesta de isla, configuración doblemente holográfica y holografía en cuña. Además de obtener la curva de Page, también obtuvimos otros resultados interesantes, que se analizarán en los próximos capítulos.

5.3 Resolución de la paradoja de la información a partir de la holografía

En la literatura se encuentran disponibles tres propuestas que comenzaron con la idea de la holografía para resolver la paradoja de la información del agujero negro.

5.3.1 Propuesta de isla y su extensión a gravedad HD

Los autores en [6] propusieron un método para resolver la paradoja de la información que equivale a obtener la curva de Page. La idea es que en los primeros momentos solo obtenemos la contribución de la región de radiación que da la parte divergente de la entropía de entrelazamiento en los momentos tardíos porque la entropía de entrelazamiento de la radiación de Hawking resulta ser proporcional al tiempo. Según [6], en los primeros tiempos la situación sigue siendo la misma, mientras que en los últimos tiempos el interior de los agujeros negros se convierte en parte de la cuña de entrelazamiento y, por lo tanto, en los últimos tiempos la entropía de entrelazamiento recibe las contribuciones de la radiación, así como del interior de los agujeros negros. La parte del interior de los agujeros negros que contribuye a la entropía de entrelazamiento se conoce como “isla”.

La regla de la isla se propuso a partir de una configuración en la que acoplamos el agujero negro JT (Jackiw Teitelboim) en evaporación más materia conforme en la brana de Planck con el baño bidimensional CFT [6]. El agujero negro está contenido en la brana de Planck y la radiación de Hawking se recoge en el baño conforme 2D. Esta configuración tiene las siguientes tres descripciones.

• Gravedad 2D: La brana de Planck está acoplada al baño CFT externo, que actúa como sumidero de la radiación de Hawking.

• Gravedad 3D: La teoría de campos conformes bidimensionales tiene la gravedad tridimensional dual con la métrica AdS3 a través de la correspondencia AdS/CFT.

• QM: El límite del baño CFT externo es unidimensional donde la mecánica cuántica (QM) está presente.

La fórmula de la isla se derivó de la integral de la trayectoria gravitacional utilizando el truco de réplica para agujeros negros especiales JT en [133, 134]. Los autores obtuvieron la curva de Page a partir de las sillas desconectadas y conectadas. Se obtiene la dependencia lineal del tiempo en la curva de Page a partir de las monturas desconectadas, mientras que las monturas conectadas producen la parte finita de la curva de Page. La discusión de [133] también es válida para las réplicas de agujeros de gusano con límite n . La entropía generalizada en presencia de superficie de isla se escribe de la siguiente manera:

donde R, GN e I representan la región de radiación, la constante de Newton y la superficie de la isla. La ecuación (5.11) contiene dos términos: el área de la superficie de la isla y la contribución de materia de las regiones insulares y de radiación. De (5.11), podemos ver fácilmente que cuando la superficie de la isla está ausente entonces S gen (r) = S matte r(R). Se ha demostrado en la literatura que la superficie de la isla emerge en momentos tardíos y, por lo tanto, inicialmente se obtiene la dependencia lineal del tiempo en la curva de Page y en momentos tardíos, cuando domina la contribución de la superficie de la isla, se obtiene la caída de la entropía de entrelazamiento para el negro que se evapora. agujeros mientras que parte constante (el doble de sus entropías térmicas) para los agujeros negros eternos. Por tanto, cuando incluimos estas contribuciones, obtenemos la curva de Page. Si hay más de una superficie de isla entonces debemos considerar la que tiene el área mínima. Hemos seguido esta propuesta para obtener la curva de Page del agujero negro de Schwarzschild de-Sitter en [12] y discutida en detalle en el capítulo 8 de esta tesis. Véase [135-137] para la aplicación de la propuesta de isla en el contexto de la gravedad JT y otras cuestiones [138-140].

La propuesta de isla se amplió para una mayor gravedad derivada en [141]. La propuesta es exactamente similar a [6] pero tenemos que reemplazar el primer término de (5.11) por el término que puede dar información sobre la entropía de entrelazamiento de la gravedad derivada superior y la fórmula para la misma fue propuesta por X. Dong en [127] y por lo tanto la propuesta de isla en presencia de términos derivados superiores en la acción gravitacional se escribe como [141]

donde Smatter es lo mismo que S materia (R ∪ I) de (5.11) y S gravedad se calculará usando la fórmula de Dong [127]. Para la correspondencia AdSd+1/CF Td, las fórmulas de Dong se dan a continuación[1].

dónde

5.3.2 Configuración doblemente holográfica

La configuración doblemente holográfica es una buena configuración para calcular la curva de Page de los agujeros negros. Como su nombre indica, se trata de la copia doble de la holografía habitual propuesta por J. Maldacena. Primero, necesitamos tomar el volumen y truncar la geometría a lo largo de una de las coordenadas espaciales [142, 143]. Al hacerlo, se genera una geometría d-dimensional incrustada en la masa (d + 1)-dimensional. La geometría d-dimensional se conoce como brana del fin del mundo o brana de KarchRandall en la literatura, y esta holografía se llama “holografía del mundobrana”. La configuración doblemente holográfica se obtiene uniendo las dos copias del modelo de Karch-Randall. La instalación consta de un agujero negro eterno que vive en la brana y dos baños donde podemos recoger la radiación de Hawking. Estos dos baños se comportan como estados dobles de termocampo porque son como dos copias de la teoría de campos conformes en los límites (BCFT). Analicemos la doble holografía en el contexto de la correspondencia AdS d+1/BCFTd utilizando un enfoque ascendente, y la configuración se muestra en la figura 5.1.

La configuración doblemente holográfica tiene las tres descripciones que se resumen a continuación.

• Descripción del límite: BCFT d -dimensional en el límite conforme del AdS masivo d+1 . El límite de BCFTd es el defecto dimensional ( d − 1 ).

• Descripción intermedia: La gravedad en la brana del fin del mundo se acopla a la BCFT mediante una condición de contorno transparente en el defecto.

• Descripción masiva: El dual holográfico de BCFTd es el espacio-tiempo AdSd+1 .

La descripción intermedia es muy crucial para resolver la paradoja de la información. Porque en esta descripción, el agujero negro que vive en la brana del fin del mundo se acopla directamente con el baño CFT externo. Defina S(R) como la entropía de von Neumann de la subregión R en un intervalo de tiempo constante en la descripción 1. Se puede obtener la S(R) en la segunda descripción de la regla de la isla [6]:

donde la entropía generalizada funcional (S gen (R ∪ I)) es [126]:

Una configuración doblemente holográfica es ventajosa en el sentido de que podemos obtener S(R) muy fácilmente utilizando la fórmula clásica de Ryu-Takayanagi [107]. Cuando el volumen es (d + 1) dimensional entonces [107]:

donde γ es la codimensión mínima de dos superficies en masa.

En la figura 5.1, hay dos BCFT en el límite conforme del volumen. La línea vertical es la brana del fin del mundo que contiene el agujero negro. El baño CFT recoge la radiación de Hawking emitida por el agujero negro. Esta configuración tiene dos posibles superficies extremas: Hartman-Maldacena [144] y superficies de isla. La superficie Hartman-Maldacena conecta los dos BCFT; comienza en el baño CFT, cruza los horizontes, llega hasta el punto de inflexión y luego se encuentra con el doble socio termocampo de BCFT. La entropía de entrelazamiento es divergente en tiempos tardíos para la superficie Hartman-Maldacena, lo que implica la paradoja de la información de Hawking. La superficie de la isla comienza en el baño CFT externo y aterriza en la brana del fin del mundo. La entropía de entrelazamiento de la superficie de la isla resulta ser un valor constante (el doble de la entropía térmica del agujero negro). Por lo tanto, se recupera la curva de Page combinando las contribuciones de las entropías de entrelazamiento de ambas superficies extremas. Véase [7, 145-161] para obtener una extensa literatura sobre la configuración doblemente holográfica.

Algunos autores encontraron que la gravedad es masiva en la brana del fin del mundo [162-165] cuando acoplamos la brana al baño CFT externo. En algunos artículos, los autores demostraron que podríamos construir la configuración doblemente holográfica con gravedad sin masa en la brana [11, 154, 166, 167]. Construimos la configuración doblemente holográfica desde un enfoque de arriba hacia abajo en [11] y los detalles se dan en el capítulo 7. Tenemos un baño no conforme (QCD2+1) y el dual holográfico es la teoría M que incluye correcciones O(R4). [1]. La razón de la existencia del gravitón sin masa en nuestra configuración es que requerimos que la función de onda del gravitón esté normalizada, la segunda razón se debe a la condición de frontera de Dirichlet en la función de onda del gravitón, y la tercera razón es que el final La brana del mundo tenía una tensión distinta de cero y, por lo tanto, la localización del gravitón es posible en la brana en un potencial similar a un "volcán". Obtuvimos la curva de Page con gravedad sin masa en nuestra configuración, lo que era imposible en otras configuraciones doblemente holográficas sin el término DGP. Un método alternativo para deducir la gravedad sin masa en la brana es incluir el término Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP) [168] en la brana [166].5.3.3 Holografía en cuña

5.3.3 Holografía en cuña

En la configuración doblemente holográfica, el baño externo es un baño CFT fijo. En algunos de los artículos, se encontró que la gravedad es masiva en la brana del fin del mundo y la prescripción de isla no es válida en la gravedad sin masa. Algunos autores consideraron que el baño también gravitaba [8, 9, 162, 169]. Esta configuración se conoce como holografía en cuña en la literatura. También se argumentó que en la holografía en cuña, la superficie de Hartman-Maldacena no existe y, por tanto, no existe una curva de Page en la holografía en cuña. En [13], demostramos que la entropía de entrelazamiento de la superficie de HartmanMaldacena es distinta de cero para los agujeros negros AdS y Schwarzschild y es cero para el agujero negro de-Sitter. Esto implica que se podría obtener la curva de Page para los agujeros negros de AdS y Schwarzschild, pero no para el espacio de-Sitter utilizando holografía en cuña. Consulte la Fig.5.2 para obtener una descripción gráfica de la holografía en cuña. Que se pueda obtener la curva de Page o no en la holografía de cuña es un tema discutible. Se han logrado algunos avances en esta dirección en [166]. El autor demostró que podemos obtener la curva de Page con gravedad sin masa localizada en la brana de Karch-Randall siempre que tengamos que incluir el término DGP en la brana de Karch-Randall; consulte [170, 171] para un análisis detallado con ejemplos. .

Tenga en cuenta la siguiente acción, [8, 9, 169], para describir la descripción matemática de la holografía en cuña:

La ecuación anterior tiene la siguiente solución [9]:

Al igual que la holografía doble, la holografía en cuña también tiene tres descripciones:

• Descripción del límite: BCF Td en el límite conforme del AdSd+1 en masa con el defecto dimensional ( d − 1 ).

• Descripción intermedia: dos sistemas gravitantes están conectados entre sí a través de la condición límite transparente en el defecto.

• Descripción general: el dual holográfico de BCFTd es el espaciotiempo de gravedad clásica AdSd+1 .

El diccionario holográfico de cuña para la masa ( d + 1)-dimensional se establece como: el dual holográfico de la teoría del campo conforme del defecto (d-1)-dimensional es la gravedad clásica en (d+1)-dimensiones . Por lo tanto, es una holografía de dos dimensiones. Ahora entendamos cómo existe esta dualidad.

La holografía de Braneworld [142,143] relaciona la primera y la segunda línea, mientras que la correspondencia AdS/CFT [17] entre la gravedad dinámica en la brana de Karch-Randall y el defecto CFT conecta la segunda y la tercera línea. Por lo tanto, la gravedad clásica en ( d + 1 ) es dual a CFTd−1 en el defecto. La holografía en cuña nos ayuda a obtener la curva de Page de los agujeros negros similar a la configuración doblemente holográfica analizada en 5.3.2. Es necesario calcular las entropías de entrelazamiento de Hartman-Maldacena y las superficies de las islas y representar estas entropías con el tiempo dará la curva de Page.

[1] Ya hemos escrito la fórmula en (5.1), aquí estamos escribiendo la forma covariante de (5.1). En esta fórmula, aey i, j representan las direcciones tangencial y normal.