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Schwerkraftinseln und das Multiversumvon@multiversetheory
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Schwerkraftinseln und das Multiversum

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Dieses Kapitel befasst sich mit fortgeschrittenen Theorien und Vorschlägen, die darauf abzielen, das rätselhafte Informationsparadoxon des Schwarzen Lochs zu lösen. Entdecken Sie Konzepte wie Inselvorschläge, holographische Verschränkungsentropie in der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie, doppelt holographische Aufbauten und Keilholographie und beleuchten Sie die komplexe Dynamik von Schwarzen Löchern im Bereich der höherdimensionalen Schwerkraft.
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Autoren:

(1) Gopal Yadav, Fachbereich Physik, Indian Institute of Technology und Chennai Mathematical Institute.

Linktabelle

Abstrakt

Wissen

TEIL I

Kapitel 1 Einleitung

Kapitel 2: SU(3)-LECs aus der Typ-IIA-Stringtheorie

Kapitel 3: Übergang der Dekonfinierungsphase in thermischen QCD-ähnlichen Theorien bei Zwischenkopplung in Abwesenheit und Anwesenheit von Rotation

Kapitel 4: Fazit und Zukunftsausblick


TEIL II

Kapitel 5: Einführung

Kapitel 6: Seitenkurven des Reissner-Nordström-Schwarzen Lochs in HD-Schwerkraft

Kapitel 7: Verschränkungsentropie und Seitenkurve aus dem M-Theorie-Dual der thermischen QCD über Tc bei mittlerer Kopplung

Kapitel 8: Schwarze-Loch-Inseln in Multi-Event-Horizont-Raum-Zeiten

Kapitel 9: Multiversum in Karch-Randall Braneworld

Kapitel 10: Fazit und Zukunftsausblick


ANHANG A

ANHANG B

ANHANG C


Literaturverzeichnis

Teil II (HD) Schwerkraftinseln und Multiversum

„Gott würfelt nicht.“ - Albert Einstein


„Gott würfelt nicht nur, er wirft die Würfel manchmal auch dorthin, wo sie nicht gesehen werden können.“ - Stephen Hawking


„Wenn Gott Würfel wirft, wo sie nicht sichtbar sind, können sie uns nicht beeinflussen.“ - Don Page

KAPITEL 5 – EINFÜHRUNG

In diesem Kapitel stellen wir die Einführung der Materialien vor, die zum Verständnis des Informationsparadoxons und seiner Lösung aus der Holographie erforderlich sind. Wir beginnen mit der Diskussion der Verschränkungsentropie in Abschnitt 5.1, diskutieren das Informationsparadoxon und die Seitenkurve in Abschnitt 5.2 und schließlich diskutieren wir die Auflösung des Informationsparadoxons in 5.3 aus dem Inselvorschlag, dem doppelt holographischen Aufbau und der Keilholographie in 5.3. 1, 5.3.2 bzw. 5.3.3

5.1 Holographische Verschränkungsentropie: Vorschläge von Ryu-Takayanagi und Dong

Verschränkungsentropie in der Quantenmechanik (QM): Lassen Sie uns zunächst die Verschränkungsentropie im quantenmechanischen System diskutieren. Betrachten wir ein System, dessen Zustand mit |ψ⟩ bezeichnet wird. Die Dichtematrix des Systems ist definiert als:



Die Verschränkungsentropie wird anhand der von-Neumann-Entropie gemessen. Dazu müssen wir das System zunächst in zwei Teilsysteme A und B unterteilen. Zustände in den Teilsystemen A und B werden mit |ψ⟩A und |ψ⟩B bezeichnet, sodass |ψ⟩ = |ψ⟩AB = |ψ⟩ A ⊗ |ψ⟩B . Die Matrix mit reduzierter Dichte des Teilsystems A wird erhalten, indem die Freiheitsgrade des Teilsystems B verfolgt werden und umgekehrt.



Nun ist die von-Neumann-Entropie definiert als:



Verschränkungsentropie in der Quantenfeldtheorie (QFT): Es ist nicht einfach, die Verschränkungsentropie in Quantenfeldtheorien (QFTs) durch Faktorisierung des Systems in Subsysteme zu berechnen, da eine Faktorisierung in QFTs nicht immer möglich ist. Die Verschränkungsentropie in QFT wird mithilfe des Replikat-Tricks berechnet. Definieren wir zunächst die Renyi-Entropie:




• Wir müssen eine kodimensionale zweidimensionale Oberfläche (ϵA) in der Masse Md+1 herausfinden, die auf ∂A verankert ist.


• Es gibt die Möglichkeit vieler Flächen, aber wir müssen diejenige berücksichtigen, die die Homologiebeschränkung erfüllt, d. h. ϵA lässt sich glatt auf den Randbereich A zurückziehen.


• Von den Oberflächen, die die Homologiebeschränkung erfüllen, müssen wir diejenige mit der minimalen Fläche auswählen. Dann wird die Verschränkungsentropie wie folgt definiert:



Die Ryu-Takayangi-Formel hat gewisse Einschränkungen, sie ist auf zeitunabhängige Hintergründe anwendbar. Für den zeitabhängigen Hintergrund muss die HRT-Formel [125] verwendet werden, wobei HRT für Hubney, Rangamani und Takayanagi steht. Quantenkorrekturen aller Ordnungen in ℏ der Ryu-Takayanagi-Formel wurden in [126] aufgenommen, wo man die verallgemeinerte Entropie extremisieren muss. Oberflächen, die die generalisierte Entropie extremisieren, werden als Quantenextremaloberflächen (QES) bezeichnet. Wenn es mehr als eine Quantenextremaloberfläche gibt, müssen wir diejenige mit der minimalen Fläche berücksichtigen. In [6] haben die Autoren die QES-Vorschrift auf Inseloberflächen verallgemeinert, wo wir die verallgemeinerte entropieähnliche Funktion extremisieren müssen, die den Beitrag der Inseloberflächen einschließt. In diesem Fall werden Extremalflächen als Quanten-Extremalinseln bezeichnet. Da wir uns in dieser Arbeit auf die zeitunabhängigen Hintergründe beschränken, werden wir nicht auf die HRT-Formel eingehen.




• Beschriften wir jeden Term als α-ten Term, nachdem wir den endgültigen Ausdruck des zweiten Termes erhalten haben, der sich aus der Differenzierung des Lagrange-Operators in Bezug auf den Riemann-Tensor zweimal ergibt.


• Wir müssen die folgenden Transformationen an bestimmten Komponenten der Riemann-Tensoren durchführen:





Der Grund für die Diskussion dieser Vorschläge besteht darin, dass diese Vorschläge nützlich sein werden, wenn wir die Page-Kurve von Schwarzen Löchern im doppelt holographischen Aufbau und in der Keilholographie berechnen. Die holographische Verschränkungsentropie wurde auch aus dem holographischen Spannungstensor und den Oberflächentermen in [128] bzw. [129] berechnet.

5.2 Hawkings Informationsparadoxon und Seitenkurve

Hawkings Informationsparadoxon über das Schwarze Loch ist ein langjähriges Rätsel, das mit seinen Arbeiten begann [130, 131]. Wenn Materie zu einem Schwarzen Loch kollabiert, wird die gesamte Materie in der Singularität gespeichert. Der Horizont des Schwarzen Lochs deckt die Singularität des Schwarzen Lochs ab. Das System befindet sich zunächst in einem reinen Zustand. Hawking untersuchte die Bildung von Teilchenpaaren mit negativer und positiver Energie in Gegenwart von Quanteneffekten und fand heraus, dass ein Teilchen mit negativer Energie im Schwarzen Loch gefangen bleibt, während das Teilchen mit positiver Energie ins Unendliche gestreut wird, was wir erhalten in der Hawking-Strahlung. Aufgrund der Quantenmechanik können wir die Strahlung des Schwarzen Lochs erhalten, was die Möglichkeit des Quantentunnelns durch eine Potentialbarriere ermöglicht. Im Falle eines Schwarzen Lochs fungiert der Horizont als potenzielle Barriere. Hawking berechnete das Spektrum der aus dem Schwarzen Loch austretenden Teilchen und stellte fest, dass sich das Spektrum wie das Spektrum der Wärmestrahlung mit einer als Hawking-Temperatur bekannten Temperatur verhält, was einen gemischten Zustand impliziert. Dies bedeutet, dass sich das Schwarze Loch vom reinen Zustand in den gemischten Zustand entwickelt und daher die einheitliche Entwicklung der Quantenmechanik nicht erhalten bleibt. Dies führt zum berühmten „Informationsparadoxon“.


Page schlug vor, dass das Schwarze Loch der einheitlichen Entwicklung folgen muss, wenn wir die Quanteneffekte einbeziehen [132]. Wenn wir das Schwarze Loch und die Strahlungsregion als ein einziges System betrachten, sollte man die Page-Kurve erhalten, um das Paradoxon aufzulösen. Für das verdampfende Schwarze Loch steigt die Verschränkungsentropie der Hawking-Strahlung zunächst linear mit der Zeit bis zur Page-Zeit an und fällt dann auf Null zurück [132]. Wir interessieren uns für ewige Schwarze Löcher, und für diese schwarzen Hacken erhält man, anstatt auf Null der Verschränkungsentropie zu fallen, die konstante Verschränkungsentropie nach der Page-Zeit, und dieser konstante Wert ist gleich dem Doppelten der thermischen Entropie des Schwarzen Löcher.


In diesem Teil der Arbeit konzentrieren wir uns darauf, die Page-Kurve ewiger Schwarzer Löcher zu ermitteln, indem wir die jüngsten Vorschläge in der Literatur verwenden, z. B. den Inselvorschlag, den doppelt holographischen Aufbau und die Keilholographie. Abgesehen von der Page-Kurve haben wir auch andere spannende Ergebnisse erhalten, die in den kommenden Kapiteln besprochen werden.

5.3 Auflösung des Informationsparadoxons aus der Holographie

In der Literatur sind die folgenden drei Vorschläge verfügbar, die mit der Idee der Holographie zur Lösung des Informationsparadoxons des Schwarzen Lochs begannen.

5.3.1 Inselvorschlag und seine Erweiterung auf HD Gravity

Die Autoren in [6] schlugen eine Methode zur Lösung des Informationsparadoxons vor, die dem Erhalten der Seitenkurve entspricht. Die Idee ist, dass wir in frühen Zeiten nur einen Beitrag aus dem Strahlungsbereich erhalten, der in späteren Zeiten den divergenten Teil der Verschränkungsentropie liefert, da sich herausstellt, dass die Verschränkungsentropie der Hawking-Strahlung proportional zur Zeit ist. Laut [6] bleibt die Situation in frühen Zeiten die gleiche, während in späteren Zeiten das Innere der Schwarzen Löcher Teil des Verschränkungskeils wird und daher in späten Zeiten die Verschränkungsentropie sowohl Beiträge von der Strahlung als auch vom Inneren der Schwarzen Löcher erhält. Der Teil des Inneren der Schwarzen Löcher, der zur Verschränkungsentropie beiträgt, wird als „Insel“ bezeichnet.


Die Inselregel wurde aus einem Aufbau vorgeschlagen, bei dem wir das verdampfende JT(Jackiw Teitelboim)-Schwarze Loch plus konforme Materie auf der Planck-Brane mit dem zweidimensionalen CFT-Bad koppeln [6]. Das Schwarze Loch ist in der Planck-Brane enthalten und die Hawking-Strahlung wird im 2D-konformen Bad gesammelt. Für dieses Setup gibt es die folgenden drei Beschreibungen.


• 2D-Schwerkraft: Die Planck-Brane ist mit dem externen CFT-Bad gekoppelt, das als Senke für die Hawking-Strahlung fungiert.


• 3D-Schwerkraft: Die zweidimensionale konforme Feldtheorie hat die dreidimensionale Schwerkraft dual mit der Metrik AdS3 über AdS/CFT-Korrespondenz.


• QM: Die Grenze des externen CFT-Bades ist eindimensional, wo Quantenmechanik (QM) vorhanden ist.


Die Inselformel wurde aus dem Gravitationspfadintegral mithilfe des Replikattricks für spezielle JT-Schwarze Löcher in [133, 134] abgeleitet. Die Autoren ermittelten die Page-Kurve aus den getrennten und verbundenen Sätteln. Die lineare Zeitabhängigkeit in der Page-Kurve erhält man aus den getrennten Sätteln, wohingegen verbundene Sättel den endlichen Teil der Page-Kurve ergeben. Die Diskussion von [133] gilt auch für die Replika-Wurmlöcher mit n- Grenze. Die verallgemeinerte Entropie bei Vorhandensein einer Inseloberfläche wird wie folgt geschrieben:



wobei R, GN und I den Strahlungsbereich, die Newton-Konstante und die Inseloberfläche darstellen. Gleichung (5.11) enthält zwei Terme: die Fläche der Inseloberfläche und den Materiebeitrag der Strahlungs- und Inselregionen. Aus (5.11) können wir leicht erkennen, dass bei fehlender Inseloberfläche S gen (r) = S matte r(R) ist. In der Literatur wurde gezeigt, dass die Inseloberfläche zu späten Zeiten entsteht und man daher zunächst die lineare Zeitabhängigkeit in der Page-Kurve erhält, und zu späten Zeiten, wenn der Beitrag der Inseloberfläche dominiert, erhält man den Abfall der Verschränkungsentropie für das verdampfende Schwarz Löcher, wohingegen ein konstanter Teil (das Doppelte ihrer thermischen Entropie) für die ewigen Schwarzen Löcher gilt. Wenn wir also diese Beiträge einbeziehen, erhalten wir die Page-Kurve. Wenn es mehr als eine Inselfläche gibt, müssen wir diejenige mit der kleinsten Fläche berücksichtigen. Wir sind diesem Vorschlag zur Ermittlung der Page-Kurve des Schwarzschild-de-Sitter-Schwarzen Lochs in [12] gefolgt und haben ihn im Kapitel 8 dieser Arbeit ausführlich besprochen. Siehe [135–137] für die Anwendung des Inselvorschlags im Zusammenhang mit der JT-Schwerkraft und anderen Problemen [138–140].


Der Inselvorschlag wurde in [141] für eine höhere abgeleitete Schwerkraft erweitert. Der Vorschlag ähnelt [6] genau, aber wir müssen den ersten Term von (5.11) durch den Term ersetzen, der Informationen über die Verschränkungsentropie der höheren abgeleiteten Schwerkraft liefern kann, und die Formel dafür wurde von X. Dong in vorgeschlagen [127] und daher wird der Inselvorschlag bei Vorhandensein höherer Ableitungsterme in der Gravitationswirkung als [141] geschrieben.



wobei Smatter mit der S- Materie (R ∪ I) von (5.11) identisch ist und die S- Gravitation mithilfe der Dong-Formel [127] berechnet wird. Für die AdSd+1/CF Td-Korrespondenz sind die Dong-Formeln unten angegeben[1].



Wo



Abbildung 5.1: Beschreibung des doppelt holographischen Aufbaus. Blaue Kurven sind die Inseloberflächen und rote Kurve ist die Hartman-Maldacena-Oberfläche. δM ist die konforme Grenze, z∗ und zT sind die Wendepunkte von Hartman-Maldacena- und Inseloberflächen.


5.3.2 Doppelholographischer Aufbau

Der doppelt holographische Aufbau ist ein guter Aufbau zur Berechnung der Page-Kurve von Schwarzen Löchern. Wie der Name schon sagt, handelt es sich um die doppelte Kopie der von J. Maldacena vorgeschlagenen üblichen Holographie. Zuerst müssen wir die Masse nehmen und die Geometrie entlang einer der Raumkoordinaten abschneiden [142, 143]. Dadurch wird eine d-dimensionale Geometrie erzeugt, die in die (d + 1)-dimensionale Masse eingebettet ist. Die d-dimensionale Geometrie ist in der Literatur als End-of-the-World-Brane oder KarchRandall-Brane bekannt, und diese Holographie wird „Braneworld-Holographie“ genannt. Der doppelt holographische Aufbau entsteht durch die Verbindung der beiden Kopien des Karch-Randall-Modells. Der Aufbau besteht aus einem ewigen Schwarzen Loch, das auf der Brane lebt, und zwei Bädern, in denen wir die Hawking-Strahlung sammeln können. Diese beiden Bäder verhalten sich wie Thermofeld-Doppelzustände, da sie wie zwei Kopien der Boundary Conformal Field Theory (BCFT) sind. Lassen Sie uns die Doppelholographie im Kontext der AdS d+1/BCFTd- Korrespondenz mit einem Bottom-up-Ansatz diskutieren. Der Aufbau ist in Abbildung 5.1 dargestellt.


Der doppelt holographische Aufbau weist die drei unten zusammengefassten Beschreibungen auf.


• Grenzbeschreibung: d -dimensionale BCFT an der konformen Grenze des Massen-AdS d+1 . Die Grenze von BCFTd ist der Dimensionsfehler ( d − 1 ).


• Zwischenbeschreibung: Die Schwerkraft auf der Weltuntergangsbrane ist über eine transparente Randbedingung am Defekt mit der BCFT gekoppelt.


• Massenbeschreibung: Das holographische Dual von BCFTd ist AdSd+1 Raumzeit.


Die Zwischenbeschreibung ist für die Lösung des Informationsparadoxons von entscheidender Bedeutung. Denn in dieser Beschreibung ist das schwarze Loch, das auf der Brane am Ende der Welt lebt, direkt mit dem externen CFT-Bad gekoppelt. Definieren Sie S(R) als die von Neumann-Entropie der Teilregion R auf einer konstanten Zeitscheibe in Beschreibung 1. Man kann S(R) in zweiter Beschreibung aus der Inselregel [6] erhalten:



wobei die verallgemeinerte Entropiefunktion (S gen (R ∪ I)) ist [126]:



Ein doppelt holographischer Aufbau ist insofern vorteilhaft, als wir S(R) sehr einfach mithilfe der klassischen Ryu-Takayanagi-Formel [107] erhalten können. Wenn die Masse (d + 1)-dimensional ist, dann [107]:



wobei γ die minimale Co-Dimension zweier Massenflächen ist.


In Abbildung 5.1 gibt es zwei BCFTs an der konformen Grenze der Masse. Die vertikale Linie ist die Weltuntergangslinie, die das Schwarze Loch enthält. Das CFT-Bad sammelt die vom Schwarzen Loch emittierte Hawking-Strahlung. Dieser Aufbau hat zwei mögliche Extremalflächen: Hartman-Maldacena [144] und Inselflächen. Die Hartman-Maldacena-Oberfläche verbindet die beiden BCFTs; Es beginnt am CFT-Bad, überquert den Horizont, reicht bis zum Wendepunkt und trifft dann auf den Thermofeld-Doppelpartner von BCFT. Die Verschränkungsentropie ist zu späten Zeiten für die Hartman-Maldacena-Oberfläche divergent, was Hawkings Informationsparadoxon impliziert. Die Inseloberfläche beginnt am externen CFT-Bad und landet auf der Weltuntergangsbrane. Es stellt sich heraus, dass die Verschränkungsentropie der Inseloberfläche ein konstanter Wert ist (das Doppelte der thermischen Entropie des Schwarzen Lochs). Daher stellt man die Page-Kurve wieder her, indem man die Beiträge der Verschränkungsentropien dieser beiden Extremflächen kombiniert. Siehe [7, 145–161] für die umfangreiche Literatur zum doppelt holographischen Aufbau.


Einige Autoren fanden heraus, dass die Schwerkraft auf der Brane am Ende der Welt enorm ist [162–165], wenn wir die Brane an das externe CFT-Bad koppeln. In einigen Arbeiten wurde von den Autoren gezeigt, dass wir den doppelt holographischen Aufbau mit masseloser Schwerkraft auf der Brane konstruieren könnten [11, 154, 166, 167]. Wir haben den doppelt holographischen Aufbau aus einem Top-Down-Ansatz in [11] konstruiert und Einzelheiten finden Sie in Kapitel 7. Wir haben ein nichtkonformes Bad (QCD2+1) und das holographische Dual ist die M-Theorie einschließlich O(R4)-Korrekturen [1]. Der Grund für die Existenz von masselosem Graviton in unserem Aufbau ist, dass wir eine Normalisierung der Wellenfunktion des Gravitons benötigten, der zweite Grund ist auf die Dirichlet-Randbedingung für die Wellenfunktion des Gravitons zurückzuführen und der dritte Grund ist dieser Zweck -der-Welt-Brane hatte eine Spannung ungleich Null und daher ist die Lokalisierung von Graviton auf der Brane in einem „vulkanähnlichen“ Potential möglich. Wir haben in unserem Aufbau die Page-Kurve mit masseloser Schwerkraft erhalten, was in anderen doppelt holographischen Aufbauten ohne den DGP-Term unmöglich war. Eine alternative Methode zur Ableitung der masselosen Schwerkraft auf der Brane besteht darin, den Dvali-Gabadadze-Porrati (DGP)-Term [168] in die Brane einzubeziehen [166].5.3.3 Keilholographie

5.3.3 Keilholographie

Im doppelt holographischen Aufbau ist das externe Bad ein festes CFT-Bad. In einigen Arbeiten wurde festgestellt, dass die Schwerkraft auf der Brane am Ende der Welt massiv ist und dass die Inselverordnung in der masselosen Schwerkraft nicht gültig ist. Einige Autoren betrachteten das Bad auch als gravitativ [8, 9, 162, 169]. Dieser Aufbau ist in der Literatur als Keilholographie bekannt. Es wurde auch argumentiert, dass es in der Keilholographie keine Hartman-Maldacena-Oberfläche und daher keine Page-Kurve in der Keilholographie gibt. In [13] haben wir gezeigt, dass die Verschränkungsentropie der Hartman-Maldacena-Oberfläche für das AdS- und Schwarzschild-Schwarze Loch ungleich Null ist und für das De-Sitter-Schwarze Loch Null. Dies impliziert, dass man die Page-Kurve für das AdS- und Schwarzschild-Schwarze Loch erhalten könnte, nicht jedoch für den De-Sitter-Raum mithilfe der Keilholographie. Siehe Abb.5.2 für die bildliche Beschreibung der Keilholographie. Ob man die Seitenkurve in der Keilholographie erhalten kann oder nicht, ist ein umstrittenes Thema. Einige Fortschritte in dieser Richtung wurden in [166] erzielt. Der Autor hat gezeigt, dass wir die Page-Kurve mit masseloser Schwerkraft auf der Karch-Randall-Brane lokalisieren können, vorausgesetzt, wir müssen den DGP-Term auf der Karch-Randall-Brane einbeziehen; siehe [170, 171] für die detaillierte Analyse mit Beispielen .


Abbildung 5.2: Beschreibung der Keilholographie. Zwei d-dimensionale Karch-Randall-Brane, die am (d − 1)-dimensionalen Defekt verbunden sind, Karch-Randall-Brane sind in (d + 1)-dimensionale Masse eingebettet.


Berücksichtigen Sie die folgende Aktion [8, 9, 169], um die mathematische Beschreibung der Keilholographie zu beschreiben:




Die obige Gleichung hat die folgende Lösung [9]:





Ähnlich wie bei der Doppelholographie gibt es auch bei der Keilholographie die drei Beschreibungen:


• Grenzbeschreibung: BCF Td an der konformen Grenze des Volumens AdSd+1 mit dem Dimensionsdefekt ( d − 1 ).


• Zwischenbeschreibung: Zwei gravitierende Systeme sind über die transparente Randbedingung am Defekt miteinander verbunden.


• Massenbeschreibung: Das holographische Dual von BCFTd ist die klassische Schwerkraft AdSd+1 Raumzeit.


Das holographische Keilwörterbuch für die ( d + 1)-dimensionale Masse wird wie folgt angegeben: Das holographische Dual der (d−1)-dimensionalen Defekt-konformen Feldtheorie ist die klassische Schwerkraft in (d+1)-Dimensionen . Daher handelt es sich um eine Co-Dimension-Zwei-Holographie. Lassen Sie uns nun verstehen, wie diese Dualität existiert.



Die Braneworld-Holographie [142,143] verbindet die erste und zweite Linie, während die AdS/CFT-Korrespondenz [17] zwischen der dynamischen Schwerkraft auf der Karch-Randall-Brane und der Defekt-CFT die zweite und dritte Linie verbindet. Daher ist die klassische Schwerkraft im ( d + 1) -Volumen dual zu CFTd−1 am Defekt. Die Keilholographie hilft uns dabei, die Seitenkurve der Schwarzen Löcher zu erhalten, ähnlich dem in 5.3.2 besprochenen doppelt holographischen Aufbau. Man muss die Verschränkungsentropien von Hartman-Maldacena- und Inseloberflächen berechnen und durch Auftragen dieser Entropien über die Zeit die Page-Kurve erhalten.




[1] Wir haben die Formel bereits in (5.1) geschrieben, hier schreiben wir die kovariante Form von (5.1). In dieser Formel repräsentieren a und i, j die Tangential- und Normalrichtung.