Phụ lục A. Tính ổn định, định lý Krein–Moser, các cải tiến và tài liệu tham khảo

Bảng liên kết

• trừu tượng
• Giới thiệu
• Vòng sơ loại
• chữ ký B
• Trình tự GIT: kích thước thấp
• Trình tự GIT: kích thước tùy ý
• Phụ lục A. Tính ổn định, định lý Krein–Moser, các cải tiến và tài liệu tham khảo

Phụ lục A. Tính ổn định, định lý Krein–Moser và các cải tiến

Bây giờ chúng tôi giải thích cách trình tự GIT mã hóa theo cấu trúc liên kết tính ổn định (tuyến tính) của các quỹ đạo tuần hoàn và so sánh nó với các khái niệm cơ bản của lý thuyết Kerin và định lý ổn định Krein–Moser. Chúng tôi cũng sẽ giải thích cách thu được Định lý A.

Chúng tôi theo dõi phần trình bày trong cuốn sách của Ekeland [Eke90] (xem thêm [Ab01]). Xét một ODE đối xứng tuyến tính

Người ta có thể chỉ ra rằng ODE x˙ = JA(t)x ổn định (mạnh) khi và chỉ nếu R(T) ổn định (mạnh) [Eke90]. Hơn nữa, độ ổn định tương đương với việc R(T) có thể chéo hóa được (tức là tất cả các giá trị riêng đều là bán đơn), với phổ của nó nằm trong vòng tròn đơn vị [Eke90].

Bây giờ, hãy xem xét một cặp eliptic {λ, λ} gồm các giá trị riêng của ma trận đối xứng R. Khi đó, bất kỳ ma trận đối xứng nào gần với R cũng sẽ có các giá trị riêng đơn giản trong vòng tròn đơn vị khác với ±1 (nếu không thì giá trị riêng sẽ phải chia thành hai , vì mọi giá trị riêng đều có bốn lần, điều này là không thể nếu không gian riêng là 1 chiều). Do đó trong trường hợp này R rất ổn định. Trường hợp các giá trị riêng có bội số cao hơn được giải quyết thông qua lý thuyết Kerin. Bất cứ khi nào hai giá trị riêng elip kết hợp với nhau, điều này sẽ đưa ra một tiêu chí khi chúng không thể thoát khỏi vòng tròn và chuyển sang một bộ tứ phức. Điều này hoạt động như sau.

nếu x, y là các vectơ riêng tương ứng. Hơn nữa, nếu chúng ta xét các không gian riêng tổng quát

Định nghĩa A.2. (Krein-dương/âm) Nếu λ là giá trị riêng của ma trận đối xứng R với |λ| = 1 thì chữ ký (p, q) của Gλ được gọi là chữ ký kiểu Krein hoặc Kerin của λ. Nếu q = 0, tức là Gλ xác định dương, λ được gọi là Krein dương. Nếu p = 0, tức là Gλ xác định âm, λ được gọi là Krein âm. Nếu λ là Krein âm hoặc Krein dương, chúng ta nói rằng nó là Krein xác định. Ngược lại, ta nói nó là Krein-không xác định.

Nếu λ thuộc loại Krein (p, q) thì λ thuộc loại Krein (q, p) [Eke90]. Nếu λ thỏa mãn |λ| = 1 và không nửa đơn nên dễ dàng chứng minh được nó là Krein-không xác định [Eke90]. Hơn nữa, ±1 luôn là Krein không xác định nếu chúng là giá trị riêng, vì chúng có vectơ riêng thực x, do đó G-đẳng hướng, tức là G(x, x) = 0. Điều sau đây, ban đầu được chứng minh bởi Kerin trong [Kre1; Kre2; Kre3; Kre4] và được Moser khám phá lại một cách độc lập trong [M78], đưa ra một đặc tính của tính ổn định mạnh theo lý thuyết Kerin:

Định lý 3 (Krein–Moser). R ổn định mạnh khi và chỉ khi nó ổn định và tất cả các giá trị riêng của nó là xác định Krein.

Xem [ Eke90 ] để chứng minh. Lưu ý rằng điều này khái quát hóa trường hợp trong đó tất cả các giá trị riêng đều đơn giản, khác với ±1 và nằm trong vòng tròn đơn vị, như đã thảo luận ở trên. Bây giờ, cách mà trình tự GIT liên kết với lý thuyết Kerin như sau.

Mệnh đề A.1 ([FM]). Đối với ma trận Wonenburger, chữ ký Kerin trùng với chữ ký B, đối với các giá trị riêng elip.

Ví dụ A.3. Một ví dụ đơn giản, để minh họa Mệnh đề A.1, hãy xét các ma trận Wonenburger

Như một hệ quả tất yếu của định lý Krein–Moser và của Mệnh đề A.1, chúng ta thu được kết quả sau.

Định lý 4. Cho R là ma trận Wonenburger. Khi đó R ổn định mạnh khi và chỉ nếu nó ổn định và tất cả các giá trị riêng của nó là B-xác định.

Ở các chiều cao hơn, liệu giá trị riêng elip hoặc hyperbol có bội số cao nhất định của ma trận Wonenburger có thể bị nhiễu thành một bộ tứ phức hay không được xác định bằng việc chữ ký B của nó có xác định hay không; xem ví dụ Hình 9 và Nhận xét 5.2. Điều này đưa ra một chứng minh tôpô của định lý Krein–Moser trong mọi chiều, và trên thực tế khái quát hóa nó cho trường hợp hyperbol, trong trường hợp ma trận Wonenburger, chứng minh Định lý A trong phần Giới thiệu.

Người giới thiệu

[Ab01] Abbondandolo, Alberto. Lý thuyết Morse cho các hệ thống Hamilton. Chapman & Hall/CRC Ghi chú nghiên cứu về toán học, 425. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001. xii+189 trang ISBN: 1-58488-202-6

[Ay22] Aydin, Cengiz. Từ các quan sát mặt trăng của người Babylon đến hệ số nhân Floquet và chỉ số Conley-Zehnder. Bản in trước arXiv:2206.07803, 2022.

[AFKM] Aydin, Cengiz; Frauenfelder, Urs; Koh, Dayung; Moreno, Agustin. Các phương pháp đơn giản trong thiết kế sứ mệnh không gian. Kỷ yếu của Hội nghị Chuyên gia Động lực học Thiên văn AAS/AIAA 2023, 2023.

[Br69] Broucke, R. Tính ổn định của quỹ đạo tuần hoàn trong bài toán ba vật thể hạn chế, elip. AIAA J. 7.1003 (1969).

[Eke90] Ekeland, Ivar. Các phương pháp lồi trong cơ học Hamilton. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Kết quả trong Toán học và các lĩnh vực liên quan (3)], 19. Springer-Verlag, Berlin, 1990. x+247 trang ISBN: 3-540-50613-6

[FM] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Về chỉ số GIT của nhóm đối xứng, độ ổn định và sự phân nhánh của các quỹ đạo tuần hoàn, Tạp chí Hình học Symplectic. Xuất hiện.

[FMb] Frauenfelder, Urs; Moreno, Agustin. Trên quỹ đạo tuần hoàn đối xứng kép. Cơ học Thiên thể & Thiên văn học Động lực, 135 (2023), không. 2, Giấy số 20.

[HD98] Howard, James E.; Dullin, Holger R. Độ ổn định tuyến tính của bản đồ đối xứng tự nhiên. Vật lý. Lett. A 246 (1998), không. 3-4, 273–283.

[HM87] Howard, JE; MacKay, RS Tính toán ranh giới ổn định tuyến tính cho trạng thái cân bằng của hệ Hamilton. Vật lý. Lett. A 122 (1987), không. 6-7, 331–334.

Kre1] Krein, M.: Tổng quát hóa một số nghiên cứu nhất định của AM Liapunov về phương trình vi phân tuyến tính với các hệ số tuần hoàn. Doklady Akad. Nauk Liên Xô 73 (1950) 445-448.

Kre2] Krein, M.: Về ứng dụng của một mệnh đề đại số trong lý thuyết ma trận đơn điệu. Toán Uspekhi. Nauk 6 (1951) 171-177.

[Kre3] Krein, M.: Về lý thuyết toàn bộ hàm ma trận loại mũ. Toán Ukraina. Tạp chí 3 (1951) 164-173.

[Kre4] Krein, M.: Về một số bài toán cực đại và cực tiểu đối với số đặc tính và vùng ổn định Liapunov. Prikl. Toán học. Mekh. 15 (1951) 323-348.

[M78] Moser, Jürgen. Một định lý điểm cố định trong hình học đối xứng. Toán Acta. 141 (1978), không. 1-2, 17–34.

(A. Moreno) Đại học Heidelberg, Viện Toán học, Heidelberg, Đức Địa chỉ email: [email protected]

(F. Ruscelli) Đại học Heidelberg, Viện Toán học, Heidelberg, Đức Địa chỉ email: [email protected]