Författare: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Abstrakt Ackumulering av fysiska fel , , förhindrar exekvering av storskaliga algoritmer i nuvarande kvantdatorer. Kvantfelkorrigering lovar en lösning genom att koda logiska kvantbitar på ett större antal fysiska kvantbitar, så att de fysiska felen undertrycks tillräckligt för att tillåta körning av en önskad beräkning med tolererbar fidelitet. Kvantfelkorrigering blir praktiskt genomförbar när den fysiska felfrekvensen är under en tröskel som beror på valet av kvantkod, syndrommätningskrets och avkodningsalgoritm . Vi presenterar ett komplett kvantfelkorrigeringsprotokoll som implementerar feltolerant minne baserat på en familj av lågdensitets paritetskontrollkoder (LDPC) . Vårt tillvägagångssätt uppnår en feltolerans tröskel på 0,7 % för standard kretsbaserad brusmodell, i paritet med ytkoden , , , som i 20 år var den ledande koden när det gäller feltolerans tröskel. Syndrommätningscykeln för en kod med längden i vår familj kräver hjälpkvantbitar och en krets med djup 8 med CNOT-grindar, kvantbitsinitialiseringar och mätningar. Den nödvändiga kvantbitskonnektiviteten är en grad 6-graf bestående av två kantdisjunkta planära delgrafer. Specifikt visar vi att 12 logiska kvantbitar kan bevaras under nästan 1 miljon syndromcykler med totalt 288 fysiska kvantbitar, förutsatt en fysisk felfrekvens på 0,1 %, medan ytkoden skulle kräva nästan 3 000 fysiska kvantbitar för att uppnå sådan prestanda. Våra resultat gör demonstrationer av ett feltolerant kvantminne med låg overhead inom räckhåll för kvantdatorer på nära håll. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Huvuddel Kvantdatorer har fått uppmärksamhet på grund av sin förmåga att erbjuda asymptotiskt snabbare lösningar på en uppsättning beräkningsproblem jämfört med de bästa kända klassiska algoritmerna . Man tror att en fungerande skalbar kvantdator kan hjälpa till att lösa beräkningsproblem inom områden som vetenskaplig upptäckt, materialforskning, kemi och läkemedelsdesign, för att nämna några , , , . 5 11 12 13 14 Det huvudsakliga hindret för att bygga en kvantdator är den bräckliga kvantinformationen, på grund av olika brus källor som påverkar den. Eftersom isolering av en kvantdator från externa effekter och kontroll av den för att inducera en önskad beräkning står i konflikt med varandra, verkar brus oundvikligt. Brus källor inkluderar ofullkomligheter i kvantbitar, använda material, kontrollerande apparatur, fel vid förberedelse och mätning av tillstånd samt en mängd externa faktorer som sträcker sig från lokalt konstgjorda, såsom stray elektromagnetiska fält, till de som är inneboende i universum, såsom kosmiska strålar. Se ref. för en sammanfattning. Medan vissa brus källor kan elimineras med bättre kontroll , material och skärmning , , , verkar flera andra källor vara svåra, om inte omöjliga, att ta bort. Den sista typen kan inkludera spontan och stimulerad emission i fångade joner , , och interaktionen med badet (Purcell-effekten) i supraledande kretsar – som täcker båda ledande kvantteknologierna. Därför blir felkorrigering ett nyckelkrav för att bygga en fungerande skalbar kvantdator. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Möjligheten till kvantfeltolerans är väl etablerad . Kodning av en logisk kvantbit redundant i många fysiska kvantbitar gör det möjligt att diagnostisera och korrigera fel genom att upprepade gånger mäta syndrom av paritetskontrolloperatorer. Felkorrigering är dock bara fördelaktig om hårdvarufelfrekvensen är under ett visst tröskelvärde som beror på ett visst felkorrigeringsprotokoll. De första förslagen för kvantfelkorrigering, såsom konkatenerade koder , , , fokuserade på att demonstrera den teoretiska möjligheten till feltryckning. I takt med att förståelsen för kvantfelkorrigering och kvantteknologiernas kapacitet mognade, skiftade fokus till att hitta praktiska kvantfelkorrigeringsprotokoll. Detta resulterade i utvecklingen av ytkoden , , , som erbjuder en hög feltolerans tröskel nära 1 %, snabba avkodningsalgoritmer och kompatibilitet med befintliga kvantdatorer som förlitar sig på tvådimensionell (2D) fyrkantig rutnätskvantbitskonnektivitet. Små exempel på ytkoden med en enda logisk kvantbit har redan demonstrerats experimentellt av flera grupper , , , , . Att skala upp ytkoden till 100 eller fler logiska kvantbitar skulle dock vara oöverkomligt dyrt på grund av dess dåliga kodningseffektivitet. Detta har ökat intresset för mer allmänna kvantkoder kända som lågdensitets paritetskontrollkoder (LDPC) . Nyligen framsteg i studien av LDPC-koder tyder på att de kan uppnå kvantfeltolerans med en mycket högre kodningseffektivitet . Här fokuserar vi på studien av LDPC-koder, eftersom vårt mål är att hitta kvantfelkorrigeringskoder och protokoll som är både effektiva och möjliga att demonstrera i praktiken, med tanke på begränsningarna i kvantdatorstekniker. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 En kvantfelkorrigerande kod är av LDPC-typ om varje kontrolloperator i koden verkar endast på ett fåtal kvantbitar och varje kvantbit deltar i endast ett fåtal kontroller. Flera varianter av LDPC-koder har nyligen föreslagits, inklusive hyperboliska ytkoder , , , hypergrafer produkt , balanserade produktkoder , tvåblockkoder baserade på ändliga grupper , , , och kvant Tannerkoder , . De senare visades , vara asymptotiskt "bra" i den meningen att de erbjuder en konstant kodningstakt och linjär distans: en parameter som kvantifierar antalet korrigerbara fel. Däremot har ytkoden en asymptotiskt noll kodningstakt och endast kvadratrot distans. Att ersätta ytkoden med en LDPC-kod med hög takt och hög distans kan få betydande praktiska implikationer. För det första kan feltoleransöverheaden (förhållandet mellan antalet fysiska och logiska kvantbitar) minskas märkbart. För det andra visar koder med hög distans en mycket skarp minskning av den logiska felfrekvensen: när den fysiska felfrekvensen passerar tröskelvärdet kan mängden feltryckning som uppnås av koden öka med storleksordningar, även med en liten minskning av den fysiska felfrekvensen. Denna egenskap gör LDPC-koder med hög distans attraktiva för demonstrationer på nära håll som sannolikt kommer att operera i närheten av tröskelvärdet. Det har dock tidigare ansetts att för att överträffa ytkoden för realistiska brusmodeller inklusive minnesfel, grindfel och fel vid tillståndsförberedelse och mätning kan det krävas mycket stora LDPC-koder med mer än 10 000 fysiska kvantbitar . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Här presenterar vi flera konkreta exempel på LDPC-koder med hög takt och några hundra fysiska kvantbitar, utrustade med en låg-djup syndrommätningskrets, en effektiv avkodningsalgoritm och ett feltolerant protokoll för att adressera enskilda logiska kvantbitar. Dessa koder visar en feltolerans tröskel nära 0,7 %, visar utmärkt prestanda i närheten av tröskelvärdet och erbjuder en 10-faldig minskning av kodning overhead jämfört med ytkoden. Hårdvarukrav för att realisera våra felkorrigeringsprotokoll är relativt milda, eftersom varje fysisk kvantbit är kopplad med två-kvantbitsgrindar till endast sex andra kvantbitar. Även om kvantbitskonnektivitetsgrafen inte är lokalt inbäddbar i ett 2D-rutnät, kan den dekomponeras i två planära grad 3 delgrafer. Som vi argumenterar nedan, är en sådan kvantbitskonnektivitet väl lämpad för arkitekturer baserade på supraledande kvantbitar. Våra koder är en generalisering av cykelkoder föreslagna av MacKay et al. och studerade mer i detalj i ref. , , . Vi kallade våra koder för bivariata cykelkoder (BB) eftersom de är baserade på bivariata polynom, som detaljerat beskrivs i . Dessa är stabilisatorkoder av Calderbank–Shor–Steane (CSS)-typ , som kan beskrivas av en samling sex-kvantbitskontroller (stabilisatorer) som består av Pauli och . På en hög nivå liknar en BB-kod den tvådimensionella toroidala koden . Specifikt kan fysiska kvantbitar i en BB-kod placeras på ett tvådimensionellt rutnät med periodiska gränsförhållanden så att alla kontrolloperatorer erhålls från ett enda par av - och -kontroller genom horisontella och vertikala skiftningar av rutnätet. Dock, i motsats till platt- och vertexsstabilisatorerna som beskriver toroidala koden, är kontrolloperatorer i BB-koder inte geometriskt lokala. Dessutom verkar varje kontroll på sex kvantbitar snarare än fyra. Vi kommer att beskriva koden med en Tannergraf så att varje hörn i representerar antingen en datakvantbit eller en kontrolloperator. Ett kontrollhörn och ett datahörn är anslutna av en kant om :e kontrolloperatorn verkar icke-trivialt på :e datakvantbiten (genom att applicera Pauli eller ). Se Fig. för exempel på Tannergrafer av ytkoder och BB-koder. Tannergrafen för alla BB-koder har grad sex och graf tjocklek lika med två, vilket innebär att den kan dekomponeras i två kantdisjunkta planära delgrafer ( ). Tjocklek 2 kvantbitskonnektivitet är väl lämpad för supraledande kvantbitar kopplade med mikrovågsresonatorer. Till exempel kan två planära lager av kopplingar och deras kontrollinjer fästas på toppen och botten av chipet som innehåller kvantbitarna, och de två sidorna kan fogas samman. 41 35 36 42 Metoder 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metoder , Tannergraf för en ytkod, som jämförelse. , Tannergraf för en BB-kod med parametrarna [[144, 12, 12]] inbäddad i en torus. Varje kant i Tannergrafen kopplar en data- och en kontrollhörn. Datakvantbitar associerade med registren ( ) och ( ) visas som blå och orange cirklar. Varje hörn har sex inkommande kanter, inklusive fyra korta kanter (pekande norr, söder, öst och väst) och två långa kanter. Vi visar bara några långa kanter för att undvika oreda. Streckade och heldragna kanter indikerar två planära delgrafer som spänner över Tannergrafen, se . , Skiss av en Tannergrafsutökning för mätning av och enligt ref. , som kopplas till en ytkod. Hjälpkvantbiten som motsvarar mätningen kan kopplas till en ytkod, vilket möjliggör lastnings-lagringsoperationer för alla logiska kvantbitar genom kvantteleportering och vissa logiska enhetsoperationer. Denna utökade Tannergraf har också en implementering i en tjocklek-2-arkitektur genom - och -kanterna ( ). a b q L q R Metoder c 50 A B Metoder En BB-kod med parametrarna [[ , , ]] kodar logiska kvantbitar till datakvantbitar som erbjuder en koddistans , vilket innebär att varje logiskt fel spänner över minst datakvantbitar. Vi delar upp datakvantbitar i register ( ) och ( ) av storlek /2 vardera. Varje kontroll verkar på tre kvantbitar från ( ) och tre kvantbitar från ( ). Koden bygger på hjälp-kontrollkvantbitar för att mäta fel-syndromet. Vi delar upp kontrollkvantbitar i register ( ) och ( ) av storlek /2 som samlar syndrom av - respektive -typ. Totalt bygger kodningen på 2 fysiska kvantbitar. Den netto kodningstakten är därför = /(2 ). Till exempel kodar den standardmässiga ytkodsarkitekturen = 1 logisk kvantbit till = 2 datakvantbitar för en kod med distans och använder − 1 kontrollkvantbitar för syndrommätningar. Netto kodningstakten är ≈ 1/(2 2), vilket snabbt blir opraktiskt eftersom man tvingas välja en stor koddistans, på grund av till exempel att de fysiska felen är nära tröskelvärdet. Däremot har BB-koder kodningstakten ≫ 1/ 2, se Tabell för kodexempel. Såvitt vi vet är alla koder som visas i Tabell nya. Distans-12-koden [[144, 12, 12]] kan vara den mest lovande för demonstrationer på nära håll, eftersom den kombinerar stor distans och hög netto kodningstakt = 1/24. Som jämförelse har ytkoden med distans-11 en netto kodningstakt = 1/241. Nedan visar vi att BB-koden med distans-12 överträffar ytkoden med distans-11 för det experimentellt relevanta intervallet av felfrekvenser. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r För att förhindra ackumulering av fel måste man kunna mäta fel-syndromet tillräckligt ofta. Detta uppnås med en syndrommätningskrets som kopplar datakvantbitar i stödet för varje kontrolloperator med respektive hjälpkvantbit genom en sekvens av CNOT-grindar. Hjälpkvantbitarna mäts sedan och avslöjar värdet av fel-syndromet. Tiden det tar att implementera syndrommätningskretsen är proportionell mot dess djup: antalet grindlager som består av icke-överlappande CNOTs. Eftersom nya fel fortsätter att uppstå medan syndrommätningskretsen exekveras, bör dess djup minimeras. Hela cykeln för syndrommätning för en BB-kod illustreras i Fig. . Syndromcykeln kräver endast sju lager av CNOTs oavsett kodlängd. Hjälpkvantbitarna initialiseras och mäts i början och slutet av syndromcykeln respektive (se för detaljer). Kretsen respekterar den cykliska skiftsymmetrin hos den underliggande koden. 2 Metoder Fullständig cykel av syndrommätningar som bygger på sju lager av CNOTs. Vi tillhandahåller en lokal vy av kretsen som endast inkluderar en datakvantbit från varje register ( ) och ( ). Kretsen är symmetrisk under horisontella och vertikala skiftningar av Tannergrafen. Varje datakvantbit är kopplad med CNOTs till tre *X-*kontrollkvantbitar och tre *Z-*kontrollkvantbitar: se för mer detaljer. q L q R Metoder Det fullständiga felkorrigeringsprotokollet utför c ≫ 1 syndrommätningscykler och anropar sedan en avkodare: en klassisk algoritm som tar de uppmätta syndromerna som indata och ger en gissning av det slutliga felet på datakvantbitarna. Felkorrigering lyckas om den gissade och den faktiska felet sammanfaller modulo en produkt av kontrolloperatorer. I detta fall har de två felen samma verkan på någon kodad (logisk) tillstånd. Därför returnerar applicering av inversen av det gissade felet datakvantbitarna till det ursprungliga logiska tillståndet. Annars, om det gissade och det faktiska felet skiljer sig åt med en icke-trivial logisk operator, misslyckas felkorrigeringen, vilket resulterar i ett logiskt fel. Våra numeriska experiment baseras på belief propagation med en ordered statistics decoder (BP-OSD) föreslagen av Panteleev och Kalachev . Det ursprungliga arbetet beskrev BP-OSD i samband med en leksaksbrusmodell med endast minnesfel. Här visar vi hur man utökar BP-OSD till den kretsbaserade brusmodellen, se N 36 36
