Autori: Sergej Bravyi Endrju V. Kros Džej M. Gambeta Dmitrij Maslov Patrik Ral Teodor J. Joder Rezime Nagomilavanje fizičkih grešaka , , sprečava izvršavanje velikih algoritama na trenutnim kvantnim računarima. Kvantna korekcija grešaka obećava rešenje kodiranjem logičkih kvantnih bitova u veći broj fizičkih kvantnih bitova, tako da se fizičke greške suzbijaju dovoljno da bi se omogućilo izvođenje željenog izračunavanja sa podnošljivom preciznošću. Kvantna korekcija grešaka postaje praktično ostvariva kada je stopa fizičkih grešaka ispod granične vrednosti koja zavisi od izbora kvantnog koda, kruga za merenje sindroma i algoritma za dekodiranje . Predstavljamo end-to-end protokol kvantne korekcije grešaka koji implementira toleranciju na greške u memoriji na osnovu porodice kodova niske gustine pariteta (LDPC) . Naš pristup postiže prag greške od 0,7% za standardni model šuma zasnovan na krugovima, na nivou koda površine , , , koji je 20 godina bio vodeći kod u pogledu praga greške. Ciklus merenja sindroma za kod dužine u našoj porodici zahteva ancilarnih kvantnih bitova i krug dubine 8 sa CNOT kapijama, inicijalizacijama kvantnih bitova i merenjima. Potrebna konektivnost kvantnih bitova je graf stepena 6 sastavljen od dva plana podgrafa sa ivicama koje se ne seku. Konkretno, pokazujemo da se 12 logičkih kvantnih bitova može očuvati skoro milion ciklusa merenja sindroma koristeći ukupno 288 fizičkih kvantnih bitova, pod pretpostavkom stope fizičkih grešaka od 0,1%, dok bi kod površine zahtevao skoro 3.000 fizičkih kvantnih bitova za postizanje pomenutih performansi. Naši rezultati približavaju demonstracije kvantne memorije tolerentne na greške sa niskim dodatnim troškovima kvantnim procesorima bliske budućnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Glavni deo Kvantno računarstvo je privuklo pažnju zbog svoje sposobnosti da ponudi asymptotski brža rešenja za niz računarskih problema u poređenju sa najboljim poznatim klasičnim algoritmima . Veruje se da funkcionalni skalabilni kvantni računar može pomoći u rešavanju računarskih problema u oblastima kao što su naučna otkrića, istraživanje materijala, hemija i dizajn lekova, da navedemo samo neke , , , . 5 11 12 13 14 Glavna prepreka izgradnji kvantnog računara je krhkost kvantnih informacija, usled raznih izvora šuma koji utiču na njih. Pošto su izolacija kvantnog računara od spoljnih uticaja i kontrola nad njim radi indukcije željenog izračunavanja u sukobu jedno s drugim, šum se čini neizbežnim. Izvori šuma uključuju nesavršenosti u kvantnim bitovima, korišćenim materijalima, kontrolnoj aparaturi, greške u pripremi stanja i merenju, kao i razne spoljne faktore, od lokalnih veštačkih, poput lutajućih elektromagnetnih polja, do onih inherentnih Univerzumu, poput kosmičkih zraka. Pogledati ref. za sažetak. Dok se neki izvori šuma mogu eliminisati boljom kontrolom , materijalima i oklapanjem , , , čini se da je nekoliko drugih izvora teško, ako ne i nemoguće, ukloniti. Potonji mogu uključivati spontanu i stimulisanu emisiju u zarobljenim jonovima , , i interakciju sa kupatilom (Purcellov efekat) u superprovodnim krugovima—obuhvatajući obe vodeće kvantne tehnologije. Stoga, korekcija grešaka postaje ključni zahtev za izgradnju funkcionalnog skalabilnog kvantnog računara. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Mogućnost kvantne tolerancije na greške je dobro uspostavljena . Kodiranje logičkog kvantnog bita redundantno u mnoge fizičke kvantne bitove omogućava dijagnostikovanje i ispravljanje grešaka ponovljenim merenjem sindroma paritetno-proveravajućih operatora. Međutim, korekcija grešaka je korisna samo ako je stopa greške hardvera ispod određene granične vrednosti koja zavisi od specifičnog protokola za korekciju grešaka. Prvi predlozi za kvantnu korekciju grešaka, kao što su konkatenirani kodovi , , , fokusirali su se na demonstriranje teoretske mogućnosti suzbijanja grešaka. Kako su razumevanje kvantne korekcije grešaka i mogućnosti kvantnih tehnologija sazrevali, fokus se prebacio na pronalaženje praktičnih protokola za kvantnu korekciju grešaka. Ovo je rezultiralo razvojem koda površine , , , koji nudi visok prag greške blizu 1%, brze algoritme za dekodiranje i kompatibilnost sa postojećim kvantnim procesorima koji se oslanjaju na dvodimenzionalnu (2D) kvadratnu mrežnu konektivnost kvantnih bitova. Mali primeri koda površine sa jednim logičkim kvantnim bitom već su eksperimentalno demonstrirani od strane nekoliko grupa , , , , . Međutim, skaliranje koda površine na 100 ili više logičkih kvantnih bitova bi bilo preskupo zbog njegove niske efikasnosti kodiranja. Ovo je podstaklo interesovanje za opštije kvantne kodove poznate kao kodovi niske gustine pariteta (LDPC) . Nedavni napredak u proučavanju LDPC kodova sugeriše da oni mogu postići kvantnu toleranciju na greške sa mnogo većom efikasnošću kodiranja . Ovde se fokusiramo na proučavanje LDPC kodova, jer je naš cilj pronalaženje kvantnih kodova za korekciju grešaka i protokola koji su efikasni i mogu se praktično demonstrirati, uzimajući u obzir ograničenja tehnologija kvantnog računarstva. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantni kod za korekciju grešaka je tipa LDPC ako svaki operator provere koda deluje samo na nekoliko kvantnih bitova i svaki kvantni bit učestvuje u samo nekoliko provera. Nekoliko varijanti LDPC kodova je nedavno predloženo, uključujući hiperboličke kodove površine , , , hipergrafski proizvod , uravnotežene produkt kodove , dvoblok kodove zasnovane na konačnim grupama , , , i kvantne Tanner kodove , . Potonji su pokazani , kao asimptotski „dobri” u smislu ponude konstantne stope kodiranja i linearne udaljenosti: parametar koji kvantifikuje broj grešaka koje se mogu ispraviti. Nasuprot tome, kod površine ima asimptotski nultu stopu kodiranja i samo udaljenost proporcionalnu kvadratnom korenu. Zamena koda površine LDPC kodom visoke stope i velike udaljenosti mogla bi imati značajne praktične posledice. Prvo, dodatni troškovi za toleranciju na greške (odnos između broja fizičkih i logičkih kvantnih bitova) mogli bi se značajno smanjiti. Drugo, kodovi sa velikom udaljenošću pokazuju veoma oštar pad logičke stope greške: kako verovatnoća fizičke greške pređe graničnu vrednost, stepen suzbijanja grešaka postignut kodom može se povećati za redove veličine čak i uz malo smanjenje stope fizičkih grešaka. Ova karakteristika čini LDPC kodove sa velikom udaljenošću privlačnim za demonstracije bliske budućnosti koje će verovatno raditi u režimu blizu praga. Međutim, ranije se verovalo da bi nadmašivanje koda površine za realne modele šuma, uključujući greške u memoriji, kapijama i pripremi stanja i merenju, moglo zahtevati veoma velike LDPC kodove sa više od 10.000 fizičkih kvantnih bitova . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ovde predstavljamo nekoliko konkretnih primera LDPC kodova visoke stope sa nekoliko stotina fizičkih kvantnih bitova opremljenih krugom za merenje sindroma niske dubine, efikasnim algoritmom za dekodiranje i protokolom tolerancije na greške za adresiranje pojedinačnih logičkih kvantnih bitova. Ovi kodovi pokazuju prag greške blizu 0,7%, pokazuju odlične performanse u režimu blizu praga i nude 10 puta smanjenje dodatnih troškova kodiranja u poređenju sa kodom površine. Zahtevi za hardver za realizaciju naših protokola za korekciju grešaka su relativno blagi, jer je svaki fizički kvantni bit povezan dvo-kvantnim kapijama sa samo šest drugih kvantnih bitova. Iako graf konektivnosti kvantnih bitova nije lokalno ugradljiv u 2D mrežu, on se može razložiti na dva ravanska podgrafa sa ivicama koje se ne seku. Kako dalje raspravljamo, takva konektivnost kvantnih bitova je dobro prilagođena arhitekturama zasnovanim na superprovodnim kvantnim bitovima. Naši kodovi su generalizacija biciklističkih kodova koje su predložili Makkej i saradnici i detaljnije proučavali u referencama. , , . Naše kodove smo nazvali dvobivarijatni bicikl (BB) jer su zasnovani na dvobivarijatnim polinomima, kao što je detaljno opisano u . Ovo su stabilizatorski kodovi tipa Koldberk-Šor-Stin (CSS) , koji se mogu opisati kolekcijom šestokvantnih proveravajućih (stabilizatorskih) operatora sastavljenih od Paulijevih i . Na visokom nivou, BB kod je sličan dvodimenzionalnom toričnom kodu . Konkretno, fizički kvantni bitovi BB koda mogu biti postavljeni na dvodimenzionalnu mrežu sa periodičnim graničnim uslovima tako da se svi proveravajući operatori dobijaju iz jednog para i provera primenom horizontalnih i vertikalnih pomeranja mreže. Međutim, za razliku od stabilizatora pločica i čvorova koji opisuju torični kod, proveravajući operatori BB kodova nisu geometrijski lokalni. Nadalje, svaka provera deluje na šest kvantnih bitova umesto na četiri. Kod ćemo opisati Tannerovim grafom tako da svaki čvor predstavlja ili podatkovni kvantni bit ili proveravajući operator. Proveravajući čvor i podatkovni čvor su povezani ivicom ako -ti proveravajući operator netrivijalno deluje na -ti podatkovni kvantni bit (primjenom Paulijevog ili ). Pogledati sl. za primere Tannerovih grafova koda površine i BB kodova. Tannerov graf bilo kog BB koda ima stepen čvora šest i debljinu grafa jednaku dva, što znači da se može razložiti na dva ravna podgrafa sa ivicama koje se ne seku ( ). Konektivnost kvantnih bitova debljine 2 je dobro prilagođena superprovodnim kvantnim bitovima povezanim mikrotalasnim rezonatorima. Na primer, dva ravanska sloja spregovača i njihovi kontrolni vodovi mogu se dodati na gornju i donju stranu čipa koji sadrži kvantne bitove, a dve strane spojiti. 41 35 36 42 Metodama 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Tannerov graf koda površine, za poređenje. , Tannerov graf BB koda sa parametrima [[144, 12, 12]] ugrađenog u torus. Svaka ivica Tannerovog grafa povezuje podatkovni i proveravajući čvor. Podatkovni kvantni bitovi povezani sa registrima ( ) i ( ) prikazani su plavim i narandžastim kružićima. Svaki čvor ima šest incidentnih ivica, uključujući četiri kratkog dometa (u pravcu severa, juga, istoka i zapada) i dve dugog dometa. Prikazujemo samo nekoliko dugodometnih ivica radi izbegavanja gužve. Prekidanim i punim linijama naznačene su dve ravanske podgrafe koje pokrivaju Tannerov graf, pogledati . , Skica proširenja Tannerovog grafa za merenje i prema ref. , koji se dodaje kodu površine. Ancila koja odgovara merenju može se povezati sa kodom površine, omogućavajući operacije učitavanja-čuvanja za sve logičke kvantne bitove putem kvantne teleportacije i nekih logičkih unitarnih operacija. Ovaj prošireni Tannerov graf takođe ima implementaciju u arhitekturi debljine 2 kroz i ivice ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode BB kod sa parametrima [[ , , ]] kodira logičkih kvantnih bitova u podatkovnih kvantnih bitova nudeći kodnu udaljenost , što znači da svaka logička greška obuhvata najmanje podatkovnih kvantnih bitova. Delimo podatkovnih kvantnih bitova u registre ( ) i ( ) veličine /2. Svaka provera deluje na tri kvantna bita iz ( ) i tri iz ( ). Kod se oslanja na ancilarnih proveravajućih kvantnih bitova za merenje sindroma greške. Delimo proveravajućih kvantnih bitova u registre ( ) i ( ) veličine /2 koji prikupljaju sindrome tipa i , redom. Ukupno, kodiranje se oslanja na 2 fizičkih kvantnih bitova. Neto stopa kodiranja je stoga = /(2 ). Na primer, standardna arhitektura koda površine kodira = 1 logički kvantni bit u = podatkovnih kvantnih bitova za kod udaljenosti i koristi − 1 proveravajućih kvantnih bitova za merenje sindroma. Neto stopa kodiranja je ≈ 1/(2 ), što brzo postaje nepraktično jer su prisiljeni da biraju veliku kodnu udaljenost, zbog, na primer, fizičkih grešaka blizu granične vrednosti. Nasuprot tome, BB kodovi imaju stopu kodiranja ≫ 1/ , pogledati tabelu za primere kodova. Koliko nam je poznato, svi kodovi prikazani u Tabeli su novi. Kod [[144, 12, 12]] sa udaljenosti 12 je možda najperspektivniji za demonstracije bliske budućnosti, jer kombinuje veliku udaljenost i visoku neto stopu kodiranja = 1/24. Za poređenje, kod površine udaljenosti 11 ima neto stopu kodiranja = 1/241. Ispod, pokazujemo da kod [[144, 12, 12]] sa udaljenosti 12 nadmašuje kod površine udaljenosti 11 za eksperimentalno relevantan opseg stopa grešaka. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Da bi se sprečilo nagomilavanje grešaka, mora se moći često meriti sindrom greške. Ovo se postiže krugom za merenje sindroma koji povezuje podatkovne kvantne bitove u podršci svakog proveravajućeg operatora sa odgovarajućim ancilarnim kvantnim bitom sekvencom CNOT kapija. Zatim se proveravajući kvantni bitovi mere, otkrivajući vrednost sindroma greške. Vreme potrebno za implementaciju kruga za merenje sindroma je proporcionalno njegovoj dubini: broj slojeva kapija sastavljenih od nepreklapajućih CNOT kapija. Kako nove greške nastaju dok se krug za merenje sindroma izvršava, njegova dubina treba da bude minimalna. Potpuni ciklus merenja sindroma za BB kod ilustrovan je na sl. . Ciklus sindroma zahteva samo sedam slojeva CNOT kapija bez obzira na dužinu koda. Proveravajući kvantni bitovi se inicijalizuju i mere na početku i na kraju ciklusa sindroma, respektivno (pogledati za detalje). Krug poštuje simetriju cikličkog pomeranja osnovnog koda. 2 Metode Potpuni ciklus merenja sindroma koji se oslanja na sedam slojeva CNOT kapija. Pružamo lokalni pogled na krug koji uključuje samo jedan podatkovni kvantni bit iz svakog registra ( ) i ( ). Krug je simetričan u odnosu na horizontalno i vertikalno pomeranje Tannerovog grafa. Svaki podatkovni kvantni bit je povezan CNOT kapijama sa tri *X-* i tri *Z-* proveravajuća kvantna bita: pogledati za više detalja. q L q R Metode Kompletan protokol korekcije grešaka izvodi ≫ 1 ciklusa merenja sindroma, a zatim poziva dekoder: klasični algoritam koji kao ulaz uzima izmerene sindrome i daje pretpostavku o konačnoj grešci na podatkovnim kvantnim bitovima. Korekcija grešaka uspeva ako se pretpostavljena i stvarna greška poklapaju modulo proizvod proveravajućih operatora. U ovom slučaju, dve greške imaju isto N c
