```html Авторы: Сергей Брави Эндрю У. Кросс Джей М. Гамбетта Дмитрий Маслов Патрик Ралл Теодор Дж. Йодер Аннотация Накопление физических ошибок , , препятствует выполнению крупномасштабных алгоритмов в современных квантовых компьютерах. Квантовая коррекция ошибок обещает решение путем кодирования логических кубитов в большее количество физических кубитов, таким образом, чтобы физические ошибки были подавлены достаточно для выполнения желаемого вычисления с допустимой точностью. Квантовая коррекция ошибок становится практически реализуемой, когда скорость физических ошибок падает ниже порогового значения, зависящего от выбора квантового кода, схемы измерения синдрома и алгоритма декодирования . Мы представляем комплексный протокол квантовой коррекции ошибок, реализующий отказоустойчивую память на основе семейства кодов с низкой плотностью проверочных сумм (LDPC) . Наш подход достигает порогового значения ошибки в 0,7% для стандартной модельной схемы ошибок на основе схем, что сопоставимо с поверхностным кодом , , , , который в течение 20 лет был ведущим кодом с точки зрения порогового значения ошибки. Цикл измерения синдрома для кода длиной в нашем семействе требует вспомогательных кубитов и схемы глубиной 8 с вентилями CNOT, инициализацией кубитов и измерениями. Требуемая связность кубитов представляет собой граф степени 6, состоящий из двух непересекающихся плоских подграфов. В частности, мы показываем, что 12 логических кубитов могут быть сохранены в течение почти 1 миллиона циклов измерения синдрома с использованием всего 288 физических кубитов при предположении скорости физической ошибки 0,1%, в то время как поверхностный код потребовал бы почти 3000 физических кубитов для достижения такой производительности. Наши результаты делают демонстрации низкозатратной отказоустойчивой квантовой памяти достижимыми для квантовых процессоров ближайшего будущего. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Основная часть Квантовые вычисления привлекли внимание благодаря своей способности предлагать асимптотически более быстрые решения для набора вычислительных задач по сравнению с лучшими известными классическими алгоритмами . Считается, что функционирующий масштабируемый квантовый компьютер может помочь в решении вычислительных задач в таких областях, как научные открытия, исследования материалов, химия и разработка лекарств, и это лишь некоторые из них , , , . 5 11 12 13 14 Основным препятствием на пути создания квантового компьютера является хрупкость квантовой информации из-за различных источников шума, влияющих на нее. Поскольку изоляция квантового компьютера от внешних воздействий и управление им для выполнения желаемого вычисления противоречат друг другу, шум кажется неизбежным. Источники шума включают несовершенства кубитов, используемых материалов, управляющего аппарата, ошибки подготовки состояний и измерений, а также разнообразные внешние факторы, от локальных антропогенных, таких как блуждающие электромагнитные поля, до присущих Вселенной, таких как космические лучи. См. ссылку для резюме. В то время как некоторые источники шума могут быть устранены с помощью лучшего управления , материалов и экранирования , , , несколько других источников, по-видимому, трудно, если вообще возможно, удалить. Последний тип может включать спонтанное и вынужденное излучение в пойманных ионах , и взаимодействие с ванной (эффект Пёрселла) в сверхпроводящих схемах, охватывающих обе ведущие квантовые технологии. Таким образом, коррекция ошибок становится ключевым требованием для создания функционирующего масштабируемого квантового компьютера. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Возможность квантовой отказоустойчивости хорошо установлена . Кодирование логического кубита избыточно в множество физических кубитов позволяет диагностировать и исправлять ошибки путем многократного измерения синдромов операторов проверки четности. Однако коррекция ошибок полезна только в том случае, если скорость ошибок оборудования ниже определенного порогового значения, которое зависит от конкретного протокола коррекции ошибок. Первые предложения по квантовой коррекции ошибок, такие как конкатенированные коды , , , были направлены на демонстрацию теоретической возможности подавления ошибок. По мере созревания понимания квантовой коррекции ошибок и возможностей квантовых технологий фокус сместился на поиск практических протоколов квантовой коррекции ошибок. Это привело к разработке поверхностного кода , , , , который обеспечивает высокий порог ошибки, близкий к 1%, быстрые алгоритмы декодирования и совместимость с существующими квантовыми процессорами, полагающимися на двумерную (2D) квадратную решетку связности кубитов. Небольшие примеры поверхностного кода с одним логическим кубитом уже были продемонстрированы экспериментально несколькими группами , , , , . Однако масштабирование поверхностного кода до 100 и более логических кубитов было бы непомерно дорогим из-за его низкой эффективности кодирования. Это вызвало интерес к более общим квантовым кодам, известным как коды с низкой плотностью проверочных сумм (LDPC) . Последние достижения в изучении кодов LDPC предполагают, что они могут обеспечить квантовую отказоустойчивость с гораздо более высокой эффективностью кодирования . Здесь мы сосредоточимся на изучении кодов LDPC, поскольку наша цель — найти квантовые коды коррекции ошибок и протоколы, которые были бы одновременно эффективными и возможными для демонстрации на практике, учитывая ограничения технологий квантовых вычислений. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Квантовый код коррекции ошибок относится к типу LDPC, если каждый оператор проверки кода действует только на несколько кубитов, а каждый кубит участвует только в нескольких проверках. Недавно было предложено несколько вариантов кодов LDPC, включая гиперболические поверхностные коды , , , гиперграфовое произведение , сбалансированные произведения кодов , двухблочные коды на основе конечных групп , , , и квантовые коды Таннера , . Последние показали , , что они асимптотически «хороши» в том смысле, что предлагают постоянную скорость кодирования и линейное расстояние: параметр, количественно определяющий количество корректируемых ошибок. В отличие от этого, поверхностный код имеет асимптотически нулевую скорость кодирования и только расстояние, пропорциональное квадратному корню из длины. Замена поверхностного кода кодом LDPC с высокой скоростью и большим расстоянием может иметь серьезные практические последствия. Во-первых, накладные расходы на отказоустойчивость (отношение числа физических и логических кубитов) могут быть заметно снижены. Во-вторых, коды с большим расстоянием демонстрируют очень резкое снижение скорости логических ошибок: по мере того, как вероятность физической ошибки пересекает пороговое значение, степень подавления ошибок, достигаемая кодом, может увеличиваться на порядки, даже при небольшом снижении скорости физической ошибки. Эта особенность делает коды LDPC с большим расстоянием привлекательными для демонстраций ближайшего будущего, которые, вероятно, будут работать в режиме, близком к пороговому. Однако ранее считалось, что превосходство над поверхностным кодом для реалистичных моделей шума, включая ошибки памяти, вентилей, подготовки состояний и измерений, может потребовать очень больших кодов LDPC с более чем 10 000 физических кубитов . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Здесь мы представляем несколько конкретных примеров кодов LDPC с высокой скоростью и несколькими сотнями физических кубитов, оснащенных схемой измерения синдрома с малой глубиной, эффективным алгоритмом декодирования и отказоустойчивым протоколом для адресации отдельных логических кубитов. Эти коды показывают порог ошибки около 0,7%, демонстрируют превосходную производительность в режиме, близком к пороговому, и предлагают 10-кратное снижение накладных расходов на кодирование по сравнению с поверхностным кодом. Требования к оборудованию для реализации наших протоколов коррекции ошибок относительно просты, поскольку каждый физический кубит связан двухкубитными вентилями только с шестью другими кубитами. Хотя граф связности кубитов не может быть локально встроен в 2D-сетку, он может быть разложен на два плоских подграфа степени 3. Как мы утверждаем ниже, такая связность кубитов хорошо подходит для архитектур, основанных на сверхпроводящих кубитах. Наши коды являются обобщением велосипедных кодов, предложенных Маккеем и др. , и более подробно изученных в ссылках. , , . Мы назвали наши коды двумерными велосипедными (BB), потому что они основаны на двумерных полиномах, как подробно описано в . Это стабилизаторные коды типа Калдербанка–Шора–Стийна (CSS) , , которые могут быть описаны коллекцией шестикубитных операторов проверки (стабилизаторов), состоящих из Паули и . В общих чертах, код BB похож на двумерный тороидальный код . В частности, физические кубиты кода BB могут быть расположены на двумерной сетке с периодическими граничными условиями так, чтобы все операторы проверки получались из одной пары проверок и путем применения горизонтальных и вертикальных сдвигов сетки. Однако, в отличие от стабилизаторов плакет и вершин, описывающих тороидальный код, операторы проверки кодов BB не являются геометрически локальными. Кроме того, каждая проверка действует на шесть кубитов, а не на четыре. Мы опишем код с помощью графа Таннера , так что каждая вершина представляет либо кубит данных, либо оператор проверки. Вершина проверки и вершина данных соединены ребром, если -й оператор проверки нетривиально действует на -й кубит данных (путем применения Паули или ). См. рис. для примеров графов Таннера поверхностного и BB кодов соответственно. Граф Таннера любого BB кода имеет степень вершины шесть и толщину графа равную двум, что означает, что он может быть разложен на два плоских непересекающихся подграфа ( ). Связность кубитов толщины 2 хорошо подходит для сверхпроводящих кубитов, связанных микроволновыми резонаторами. Например, два плоских слоя связующих элементов и их управляющих линий могут быть присоединены к верхней и нижней стороне чипа, содержащего кубиты, и обе стороны могут быть соединены. 41 35 36 42 Методах 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Методы , Граф Таннера поверхностного кода для сравнения. , Граф Таннера BB кода с параметрами [[144, 12, 12]], вложенного в тор. Каждое ребро графа Таннера соединяет кубит данных и вершину проверки. Кубиты данных, связанные с регистрами ( ) и ( ), показаны синими и оранжевыми кружками. Каждая вершина имеет шесть инцидентных ребер, включая четыре короткодействующих ребра (направленные на север, юг, восток и запад) и два длиннодействующих ребра. Мы показываем только несколько длиннодействующих ребер, чтобы избежать беспорядка. Пунктирные и сплошные ребра обозначают два плоских подграфа, покрывающих граф Таннера, см. . , Схема расширения графа Таннера для измерения и согласно ссылке. , присоединенная к поверхностному коду. Вспомогательный кубит, соответствующий измерению , может быть подключен к поверхностному коду, обеспечивая операции загрузки-выгрузки для всех логических кубитов посредством квантовой телепортации и некоторых логических унитарных преобразований. Этот расширенный граф Таннера также имеет реализацию в архитектуре толщиной 2 через ребра и ( ). a b q L q R Методы c 50 A B Методы BB код с параметрами [[ , , ]] кодирует логических кубитов в кубитов данных, предлагая расстояние кода , что означает, что любая логическая ошибка охватывает по крайней мере кубитов данных. Мы разделяем кубитов данных на регистры ( ) и ( ) размером /2 каждый. Каждая проверка действует на три кубита из ( ) и три кубита из ( ). Код полагается на вспомогательных проверочных кубитов для измерения синдрома ошибки. Мы разделяем проверочных кубитов на регистры ( ) и ( ) размером /2, которые собирают синдромы типов и соответственно. В общей сложности кодирование полагается на 2 физических кубитов. Таким образом, чистая скорость кодирования составляет = /(2 ). Например, стандартная архитектура поверхностного кода кодирует = 1 логический кубит в = 2 кубитов данных для кода с расстоянием и использует − 1 проверочных кубитов для измерения синдромов. Чистая скорость кодирования составляет ≈ 1/(2 2), что быстро становится непрактичным, поскольку приходится выбирать большое расстояние кода из-за, например, того, что физические ошибки близки к пороговому значению. В отличие от этого, коды BB имеют скорость кодирования ≫ 1/ 2, см. Таблицу для примеров кодов. Насколько нам известно, все коды, показанные в Таблице , являются новыми. Код [[144, 12, 12]] с расстоянием 12, возможно, является наиболее перспективным для демонстраций в ближайшем будущем, поскольку он сочетает большое расстояние и высокую чистую скорость кодирования = 1/24. Для сравнения, поверхностный код с расстоянием 11 имеет чистую скорость кодирования = 1/241. Ниже мы покажем, что BB код с расстоянием 12 превосходит поверхностный код с расстоянием 11 для экспериментально релевантного диапазона скоростей ошибок. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Чтобы предотвратить накопление ошибок, необходимо достаточно часто измерять синдром ошибки. Это достигается с помощью схемы измерения синдрома, которая связывает кубиты данных в поддержке каждого оператора проверки с соответствующим вспомогательным кубитом посредством последовательности вентилей CNOT. Затем измеряются проверочные кубиты, раскрывая значение синдрома ошибки. Время, необходимое для реализации схемы измерения синдрома, пропорционально ее глубине: количеству слоев вентилей, состоящих из неперекрывающихся CNOT. Поскольку новые ошибки продолжают возникать во время выполнения схемы измерения синдрома, ее глубину следует минимизировать. Полный цикл измерения синдрома для BB кода проиллюстрирован на рис. . Цикл синдрома требует всего семь слоев CNOT, независимо от длины кода. Проверочные кубиты инициализируются и измеряются в начале и в конце цикла синдрома соответственно (см. для подробностей). Схема соответствует симметрии циклического сдвига базового кода. 2 Методы Полный цикл измерения синдромов, состоящий из семи слоев CNOT. Мы представляем локальный вид схемы, включающий только один кубит данных из каждого регистра ( ) и ( ). Схема симметрична относительно горизонтальных и вертикальных сдвигов графа Таннера. Каждый кубит данных соединен вентилями CNOT с тремя *X-*проверочными и тремя *Z-*проверочными кубитами: см. для более подробной информации. q L q R Методы Полный протокол коррекции ошибок выполняет c ≫ 1 циклов измерения синдрома, а затем вызывает декодер: классический алгоритм, который принимает в качестве входных данных измеренные синдромы и выдает предположение об окончательной ошибке в кубитах данных. Коррекция ошибок успешна, если предполагаемая и фактическая ошибки совпадают по модулю произведения операторов проверки. В этом случае две ошибки имеют одинаковое действие на любое закодированное (логическое) состояние. Таким образом, применение инверсии предполагаемой ошибки возвращает кубиты данных в исходное логическое состояние. В противном случае, если предполагаемая и фактическая ошибки различаются на нетривиальный логический оператор, коррекция ошибок терпит неудачу, приводя к логической ошибке. Наши численные эксперименты основаны на алгоритме приближенного распространения ошибок со статистическим декодером (BP-OSD), предложенном Пантелеевым и Калачевым . Оригинальная работа описывала BP-OSD в контексте игрушечной модели шума только с ошибками памяти. Здесь мы покажем, как расширить BP-OSD на модель шума на основе схем, см. для подробностей. Наш подход тесно следует ссылкам. , , , . N 36 36 Дополнительные материалы 45 46 47 48 Шумная версия схемы измерения синдрома может включать несколько типов ошибочных операций, таких как ошибки памяти в простаивающих кубитах данных или проверки, ошибочные вентили CNOT, инициализация кубитов и измерения. Мы рассматриваем модель шума на основе схем , в которой каждая операция выходит из строя независимо с вероятностью . Вероятность логической ошибки L зависит от скорости ошибки , деталей схем измерения синдрома и алгоритма декодирования. Пусть L( c) будет вероятностью логической ошибки после выполнения 10 p p p P N N
