Auteurs: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Abstract Quantum error correction offers a promising path for performing high fidelity quantum computations. Although fully fault-tolerant executions of algorithms remain unrealized, recent improvements in control electronics and quantum hardware enable increasingly advanced demonstrations of the necessary operations for error correction. Here, we perform quantum error correction on superconducting qubits connected in a heavy-hexagon lattice. We encode a logical qubit with distance three and perform several rounds of fault-tolerant syndrome measurements that allow for the correction of any single fault in the circuitry. Using real-time feedback, we reset syndrome and flag qubits conditionally after each syndrome extraction cycle. We report decoder dependent logical error, with average logical error per syndrome measurement in Z(X)-basis of ~0.040 (~0.088) and ~0.037 (~0.087) for matching and maximum likelihood decoders, respectively, on leakage post-selected data. Introductie De uitkomsten van kwantum berekeningen kunnen in de praktijk gebrekkig zijn, vanwege ruis in de hardware. Om de resulterende fouten te elimineren, kunnen kwantum foutcorrectie (QEC) codes worden gebruikt om de kwantum informatie te coderen in beschermde, logische vrijheidsgraden, en vervolgens door de fouten sneller te corrigeren dan ze zich opstapelen, fouttolerante (FT) berekeningen mogelijk te maken. Een volledige uitvoering van QEC zal waarschijnlijk vereisen: voorbereiding van logische toestanden; realisatie van een universele set logische poorten, die de voorbereiding van magische toestanden kan vereisen; herhaalde metingen van syndromen; en de decodering van de syndromen voor het corrigeren van fouten. Indien succesvol, zouden de resulterende logische foutenpercentages lager moeten zijn dan de onderliggende fysieke foutenpercentages, en afnemen met toenemende codeafstanden tot verwaarloosbare waarden. Het kiezen van een QEC code vereist overweging van de onderliggende hardware en zijn ruiseigenschappen. Voor een heavy-hexagon lattice , van qubits, zijn subsystem QEC codes aantrekkelijk omdat ze goed geschikt zijn voor qubits met verminderde connectiviteit. Andere codes hebben veelbelovendheid getoond vanwege hun relatief hoge drempel voor FT of een groot aantal transversale logische poorten . Hoewel hun ruimte en tijd overhead een aanzienlijke hindernis voor schaalbaarheid kunnen vormen, bestaan er bemoedigende benaderingen om de meest dure middelen te verminderen door gebruik te maken van een vorm van foutmitigatie . 1 2 3 4 5 6 In het decodering proces hangt succesvolle correctie niet alleen af van de prestaties van de kwantum hardware, maar ook van de implementatie van de controle-elektronica die wordt gebruikt voor het verkrijgen en verwerken van de klassieke informatie verkregen uit syndroommetingen. In ons geval kan het initialiseren van zowel syndroom- als vlag-qubits via real-time feedback tussen meetcycli helpen bij het mitigeren van fouten. Op decodering niveau, hoewel er protocollen bestaan om QEC asynchroon uit te voeren binnen een FT formalisme , , moet de snelheid waarmee de foutensyndromen worden ontvangen in verhouding staan tot hun klassieke verwerkingstijd om een toenemende achterstand van syndroomgegevens te voorkomen. Ook vereisen sommige protocollen, zoals het gebruik van een magische toestand voor een logische -poort , de toepassing van real-time feed-forward. 7 8 T 9 Zo is de langetermijnvisie van QEC niet gericht op één ultiem doel, maar moet deze worden gezien als een continuüm van diep onderling verbonden taken. Het experimentele pad in de ontwikkeling van deze technologie zal bestaan uit het eerst demonstreren van deze taken in isolatie en vervolgens hun progressieve combinatie, altijd terwijl hun geassocieerde metrieken continu worden verbeterd. Sommige van deze vooruitgangen worden weerspiegeld in talrijke recente ontwikkelingen op kwantumsystemen op verschillende fysieke platforms, die verschillende aspecten van de desiderata voor FT kwantum computing hebben gedemonstreerd of benaderd. Met name FT logische toestand preparatie is gedemonstreerd op ionen , nucleaire spins in diamant en supergeleidende qubits . Herhaalde cycli van syndroomextractie zijn aangetoond in supergeleidende qubits in kleine foutdetectiecodes , , inclusief gedeeltelijke foutcorrectie evenals een universele (zij het niet FT) set van één-qubit poorten . Een FT demonstratie van een universele poortset op twee logische qubits is onlangs gerapporteerd in ionen . Op het gebied van foutcorrectie zijn er recente realisaties van de afstand-3 oppervlaktecode op supergeleidende qubits met decodering en post-selectie , evenals een FT implementatie van een dynamisch beschermd kwantumgeheugen met behulp van de kleurcode en de FT toestand preparatie, operatie en meting, inclusief zijn stabilisatoren, van een logische toestand in de Bacon-Shor code in ionen , . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 Hier combineren we de mogelijkheid van real-time feedback op een supergeleidend qubitsysteem met een maximum likelihood decodering protocol dat tot nu toe experimenteel onontgonnen is, om de overlevingskans van logische toestanden te verbeteren. We demonstreren deze tools als onderdeel van de FT operatie van een subsystem code , de heavy-hexagon code , op een supergeleidende kwantumprocessor. Essentieel voor het fouttolerant maken van onze implementatie van deze code zijn vlag-qubits die, wanneer ze niet nul blijken te zijn, de decoder waarschuwen voor circuitfouten. Door vlag- en syndroomqubits conditioneel te resetten na elke syndroommetingscyclus, beschermen we ons systeem tegen fouten die voortkomen uit de ruisasymmetrie die inherent is aan energie-relaxatie. We maken verder gebruik van recent beschreven decodestrategieën en breiden de decodering ideeën uit om maximum likelihood concepten op te nemen , , . 22 1 15 4 23 24 Resultaten De heavy-hexagon code en multi-round circuits De heavy-hexagon code die we beschouwen is een = 9 qubit code die = 1 logische qubit codeert met afstand = 3 . De en gauge (zie Fig. 1a) en stabilisator groepen worden gegenereerd door n k d 1 Z X De stabilisator groepen zijn de centra van de respectievelijke gauge groepen . Dit betekent dat de stabilisatoren, als producten van gauge operatoren, kunnen worden afgeleid uit metingen van alleen de gauge operatoren. Logische operatoren kunnen worden gekozen als = 1 2 3 en = 1 3 7. XL X X X ZL Z Z Z (blauw) en (rood) gauge operatoren (vergelijkingen (1) en (2)) gemapt op de 23 benodigde qubits met de afstand-3 heavy-hexagon code. Code qubits ( 1− 9) zijn geel, syndroom qubits ( 17, 19, 20, 22) gebruikt voor stabilisatoren in blauw, en vlag-qubits en syndromen gebruikt in stabilisatoren in wit. De volgorde en richting waarin CX gates worden toegepast binnen elke subsectie (0 tot 4) worden aangegeven door de genummerde pijlen. Circuitdiagram van één syndroommetingsronde, inclusief zowel als stabilisatoren. Het circuitdiagram illustreert toegestane parallellisatie van poortoperaties: die binnen de grenzen van planningbarrières (verticale gestippelde grijze lijnen). Aangezien de duur van elke twee-qubit poort verschilt, wordt de uiteindelijke poortplanning bepaald met een standaard as-late-as-possible circuit transpilation pass; waarna dynamische ontkoppeling wordt toegevoegd aan data qubits waar tijd het toelaat. Meting en reset operaties zijn geïsoleerd van andere poortoperaties door barrières om uniforme dynamische ontkoppeling toe te voegen aan inactieve data qubits. Decoderingsgrafieken voor drie rondes van ( ) en ( ) stabilisatormetingen met circuit-level ruis maken correctie van respectievelijk en fouten mogelijk. De blauwe en rode knopen in de grafieken komen overeen met verschil syndromen, terwijl de zwarte knopen de grens zijn. Randen coderen verschillende manieren waarop fouten in het circuit kunnen optreden zoals beschreven in de tekst. Knopen zijn gelabeld met het type stabilisatormeting ( of ), samen met subscripts die de stabilisator indexeren, en superscripts die de ronde aanduiden. Zwarte randen, voortkomend uit Pauli fouten op code qubits (en dus slechts van grootte 2), verbinden de twee grafieken in en , maar worden niet gebruikt in de matching decoder. De size-4 hyperranden, die niet door matching worden gebruikt, maar wel door de maximum likelihood decoder. Kleuren zijn alleen voor duidelijkheid. Het vertalen van elk in de tijd met één ronde geeft ook een geldige hyperrand (met enige variatie aan de tijdsgrenzen). Ook niet getoond zijn eventuele size-3 hyperranden. a Z X Q Q Q Q Q Q Z X b X Z c Z d X X Z Z X e Y c d f Hier richten we ons op een specifiek FT circuit, veel van onze technieken kunnen algemener worden gebruikt met verschillende codes en circuits. Twee sub-circuits, getoond in Fig. 1b, worden geconstrueerd om de - en -gauge operatoren te meten. De -gauge meting circuit verkrijgt ook nuttige informatie door het meten van vlag-qubits. X Z Z We bereiden codetoestanden voor in de logische () toestand door eerst negen qubits voor te bereiden in de () toestand en de -gauge ( -gauge) te meten. We voeren vervolgens rondes van syndroommeting uit, waarbij een ronde bestaat uit een -gauge meting gevolgd door een -gauge meting (respectievelijk -gauge gevolgd door -gauge). Tot slot lezen we alle negen code qubits uit in de ( ) basis. We voeren dezelfde experimenten uit voor initiële logische toestanden en ook, door simpelweg de negen qubits in en in plaats daarvan te initialiseren. X Z r Z X X Z Z X Decoderingsalgoritmes In de setting van FT kwantum computing, is een decoder een algoritme dat als input syndroommetingen van een foutcorrectiecode ontvangt en een correctie aan de qubits of meetgegevens uitvoert. In dit gedeelte beschrijven we twee decoderingsalgoritmes: perfect matching decoding en maximum likelihood decoding. De decoderings hypergraaf is een beknopte beschrijving van de informatie verzameld door een FT circuit en beschikbaar gemaakt voor een decoderingsalgoritme. Het bestaat uit een set van vertices, of foutgevoelige gebeurtenissen, , en een set van hyperranden , die de correlaties tussen gebeurtenissen coderen veroorzaakt door fouten in het circuit. Figuur 1c–f toont delen van de decoderings hypergraaf voor ons experiment. 15 V E Het construeren van een decoderings hypergraaf voor stabilisator circuits met Pauli ruis kan worden gedaan met standaard Gottesman-Knill simulaties of vergelijkbare Pauli tracing technieken . Eerst wordt een foutgevoelige gebeurtenis gecreëerd voor elke meting die deterministisch is in het foutvrije circuit. Een deterministische meting is elke meting waarvan de uitkomst ∈ {0, 1} kan worden voorspeld door modulo twee de meetuitkomsten van een set eerdere metingen op te tellen. Dat wil zeggen, voor een foutvrij circuit, , waarbij de set kan worden gevonden door simulatie van het circuit. Stel de waarde van de foutgevoelige gebeurtenis in op − (mod2), wat nul is (ook wel triviaal genoemd) in afwezigheid van fouten. Het observeren van een niet-nul (ook wel niet-triviaal genoemd) foutgevoelige gebeurtenis impliceert dus dat het circuit ten minste één fout heeft ondergaan. In onze circuits zijn foutgevoelige gebeurtenissen ofwel vlag-qubit metingen of het verschil van opeenvolgende metingen van dezelfde stabilisator (ook wel verschil syndromen genoemd). 25 26 M m m FM Vervolgens worden hyperranden toegevoegd door rekening te houden met circuitfouten. Ons model bevat een foutkans voor elk van verschillende circuitcomponenten pC Hier onderscheiden we de identiteitsoperatie id op qubits tijdens een tijd waarin andere qubits unitiaire poorten ondergaan, van de identiteitsoperatie idm op qubits wanneer anderen metingen en resets ondergaan. We resetten qubits nadat ze zijn gemeten, terwijl we qubits initialiseren die nog niet in het experiment zijn gebruikt. Tot slot is cx de controlled-not gate, h de Hadamard gate, en x, y, z zijn Pauli gates. (zie Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details” voor meer details). Numerieke waarden voor staan in Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details”. pC Ons foutmodel is circuit depolariserende ruis. Voor initialisatie- en resetfouten wordt een Pauli toegepast met de respectievelijke kansen init en reset na de ideale toestandspreparatie. Voor meetfouten wordt Pauli toegepast met kans vóór de ideale meting. Een één-qubit unitaire poort (twee-qubit poort) lijdt met kans aan een van de drie (vijftien) niet-identiteit één-qubit (twee-qubit) Pauli fouten na de ideale poort. Er is een gelijke kans dat een van de drie (vijftien) Pauli fouten optreedt. X p p X C pC Wanneer één enkele fout optreedt in het circuit, veroorzaakt dit dat een subset van foutgevoelige gebeurtenissen niet-triviaal wordt. Deze set van foutgevoelige gebeurtenissen wordt een hyperrand. De set van alle hyperranden is . Twee verschillende fouten kunnen tot dezelfde hyperrand leiden, dus elke hyperrand kan worden gezien als een set van fouten, waarvan elk individueel de gebeurtenissen in de hyperrand niet-triviaal veroorzaakt. Geassocieerd met elke hyperrand is een kans, die, op de eerste orde, de som is van de kansen van fouten in de set. E Een fout kan ook leiden tot een fout die, voortgeplant naar het einde van het circuit, anti-commuteert met een of meer van de logische operatoren van de code, wat een logische correctie noodzakelijk maakt. We nemen aan voor algemeenheid dat de code logische qubits heeft en een basis van 2 logische operatoren, maar merken op dat = 1 voor de heavy-hexagon code die in het experiment wordt gebruikt. We kunnen bijhouden welke logische operatoren anti-commuteren met de fout met behulp van een vector uit . Dus, elke hyperrand is ook gelabeld met een van deze vectoren , een zogenaamde logische label. Merk op dat als de code ten minste afstand drie heeft, elke hyperrand een uniek logisch label heeft. k k k h Ten slotte merken we op dat een decoderingsalgoritme ervoor kan kiezen de decoderings hypergraaf op verschillende manieren te vereenvoudigen. Eén manier die we hier altijd toepassen is het proces van deflagging. Vlagmetingen van qubits 16, 18, 21, 23 worden simpelweg genegeerd zonder correcties toe te passen. Als vlag 11 niet-triviaal is en 12 triviaal, pas toe op 2. Als 12 niet-triviaal is en 11 triviaal, pas toe op qubit 6. Als vlag 13 niet-triviaal is en 14 triviaal, pas toe op qubit 4. Als 14 niet-triviaal is en 13 triviaal, pas toe op qubit 8. Zie ref. 15 voor details over waarom dit voldoende is voor fouttolerantie. Dit betekent dat in plaats van foutgevoelige gebeurtenissen van de vlag-qubit metingen direct op te nemen, we de gegevens voorverwerken door de vlaginformatie te gebruiken om virtuele Pauli correcties toe te passen en daaropvolgende foutgevoelige gebeurtenissen dienovereenkomstig aan te passen. Hyperranden voor de deflagde hypergraaf kunnen worden gevonden via stabilisator simulatie inclusief de correcties. Laat het aantal rondes aangeven. Na deflagging is de grootte van de set voor (resp. basis) experimenten = 6 + 2 (resp. 6 + 4), vanwege het meten van zes stabilisatoren per ronde en het hebben van twee (resp. vier) initiële foutgevoelige stabilisatoren na toestandspreparatie. De grootte van is vergelijkbaar = 60 − 13 (resp. 60 − 1) voor > 0. Z Z Z Z Z Z r V Z X V r r E E r r r Rekening houdend met en fouten afzonderlijk, kan het probleem van het vinden van een minimale gewichts foutcorrectie voor de oppervlaktecode worden gereduceerd tot het vinden van een minimale gewichts perfecte matching in een graaf . Matching decoders blijven bestudeerd worden vanwege hun praktische toepasbaarheid en brede toepasbaarheid , . In dit gedeelte beschrijven we de matching decoder voor onze afstand-3 heavy-hexagon code. X Z 4 27 28 29 De decoderingsgrafieken, één voor de -fouten (Fig. 1c) en één voor de -fouten (Fig. 1d), voor minimale gewichts perfecte matching zijn feitelijk subgrafieken van de decoderings hypergraaf in het vorige gedeelte. Laten we ons hier concentreren op de grafiek voor het corrigeren van -fouten, aangezien de -fout grafiek analoog is. In dit geval houden we uit de decoderings hypergraaf de knopen die overeenkomen met (het verschil van opeenvolgende) -stabilisatormetingen en de randen (d.w.z. hyperranden van grootte twee) daartussen. Bovendien wordt een grens vertex gecreëerd, en worden hyperranden van grootte één van de vorm { } met ∈ , weergegeven door randen { , } op te nemen. Alle randen in de -fout grafiek erven kansen en logische labels van hun corresponderende hyperranden (zie Tabel 1 voor en fout rand gegevens voor 2-ronde experiment). X Z X Z VZ Z b v v VZ v b X X Z Een perfect matching algoritme neemt een graaf met gewogen randen en een even-grote set van gemarkeerde knopen, en retourneert een set van randen in de graaf die alle gemarkeerde knopen in paren verbindt en een minimaal totaal gewicht heeft onder alle dergelijke sets van randen. In ons geval zijn gemarkeerde knopen de niet-triviale foutgevoelige gebeurtenissen (als er een oneven aantal is, wordt de grens node ook gemarkeerd), en randgewichten zijn ofwel gekozen om allemaal één te zijn (uniforme methode) of ingesteld als , waarbij de randkans is (analytische methode). De laatste keuze betekent dat het totale gewicht van een rand set gelijk is aan de log-likelihood van die set, en minimale gewichts perfecte matching probeert deze likelihood over de randen in de graaf te maximaliseren. pe Gegeven een minimale gewichts perfecte matching, kan men de logische labels van de randen in de matching gebruiken om een correctie aan de logische toestand te bepalen. Alternatief is de -fout ( -fout) graaf voor de matching decoder zodanig dat elke rand kan worden geassocieerd met een code qubit (of een meetfout), zodat het opnemen van een rand in de matching een ( ) correctie impliceert die moet worden toegepast op de corresponderende qubit. X Z X Z Maximum likelihood decoding (MLD) is een optimaal, hoewel niet schaalbaar, methode voor het decoderen van kwantum foutcorrectiecodes. In zijn oorspronkelijke conceptie werd MLD toegepast op fenomenologische ruismodellen waarbij fouten optreden vlak voordat syndromen worden gemeten , . Dit negeert uiteraard het realistischere geval waarbij fouten zich kunnen voortplanten door de syndroommetingscircuit. Meer recentelijk is MLD uitgebreid om circuitruis op te nemen , . Hier beschrijven we hoe MLD circuitruis corrigeert met behulp van de decoderings hypergraaf. 24 30 23 31 MLD leidt de meest waarschijnlijke logische correctie af, gegeven een observatie van de foutgevoelige gebeurtenissen. Dit gebeurt door de kansverdeling Pr[ , ] te berekenen, waarbij foutgevoelige gebeurtenissen vertegenwoordigt en een logische correctie vertegenwoordigt. β γ We kunnen Pr[ , ] berekenen door elke hyperrand uit de decoderings hypergraaf op te nemen, Fig. 1c–f, beginnend bij de nul-fouten verdeling, d.w.z. Pr[0| |, 02 ] = 1. Als hyperrand een kans heeft om voor te komen, onafhankelijk van enige andere hyperrand, nemen we op door de update uit te voeren β γ V k h ph h waarbij slechts een binaire vectorrepresentatie van de hyperrand is. Deze update moet eenmaal worden toegepast voor elke hyperrand in . E Zodra Pr[ , ] is berekend, kunnen we deze gebruiken om de beste logische correctie af te leiden. Als wordt waargenomen in een run van het experiment, β γ geeft aan hoe metingen van de logische operatoren moeten worden gecorrigeerd. Voor meer details over specifieke implementaties van MLD, zie Methodes “Maximum likelihood implementations”. Experimentele realisatie Voor deze demonstratie gebruiken we ibm_peekskill v2.0.0, een 27-qubit IBM Quantum Falcon processor wiens koppelingskaart een afstand-3 heavy-hexagon code mogelijk maakt, zie Fig. 1. De totale tijd voor qubitmeting en daaropvolgende real-time conditionele reset, voor elke ronde, duurt 768ns en is hetzelfde voor alle qubits. Alle syndroommetingen en resets vinden gelijktijdig plaats voor verbeterde prestaties. Een eenvoudige - dynamische ontkoppelingssequentie wordt toegevoegd aan alle code qubits tijdens hun respectievelijke inactieve periodes. 32 Xπ Xπ Qubit lekkage is een belangrijke reden waarom het Pauli depolariserende foutmodel dat door het decoderingsontwerp wordt aangenomen, onnauwkeurig kan zijn. In sommige gevallen kunnen we detecteren of een qubit is uitgelekt uit de computationele subspace op het moment dat deze wordt gemeten (zie Methodes “Post-selection method” voor meer informatie over de post-selectie methode en beperkingen). Hiermee kunnen we post-selecteren op runs van het experiment wanneer lekkage niet is gedetecteerd, vergelijkbaar met ref. 18. In Fig. 2a initialiseren we de logische toestand () en passen we syndroommetingsrondes toe, waarbij één ronde zowel als stabilisatoren bevat (totale tijd van ongeveer 5.3 s per ronde, Fig. 1b). Met behulp van analytische perfect matching decoding op de volledige dataset (500.000 shots per run), extraheren we de logische fouten in Fig. 2a, rode (blauwe) driehoeken. Details van geoptimaliseerde parameters gebruikt in analytische perfect matching decoding zijn te vinden in Methodes “IBM_Peekskill en experimentele details”. Door de volledige vervalfuncties (vergelijking (14)) aan te passen tot 10 rondes, extraheren we logische fouten per ronde zonder post-selectie in Fig. 2b van 0.059(2) (0.058(3)) voor () en 0.113(5) (0.107(4)) voor (), respect r X Z μ
