```html लेखक: नीरज सुंदरेशन थियोडोर जे. योडर यंगसियोक किम मुयुआन ली एडवर्ड एच. चेन ग्रेस हार्पर टेड थॉर्बेक एंड्रयू डब्ल्यू. क्रॉस एंटोनियो डी. कोरकोल्स माइका ताकिता सारांश क्वांटम त्रुटि सुधार उच्च निष्ठा क्वांटम अभिकलन करने के लिए एक आशाजनक मार्ग प्रदान करता है। यद्यपि पूरी तरह से दोष-सहिष्णु अभिकलन अभी तक हासिल नहीं हुआ है, नियंत्रण इलेक्ट्रॉनिक्स और क्वांटम हार्डवेयर में हाल के सुधार त्रुटि सुधार के लिए आवश्यक संचालनों के तेजी से उन्नत प्रदर्शन को सक्षम करते हैं। यहां, हम भारी-षट्कोणीय जाली में जुड़े सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर क्वांटम त्रुटि सुधार करते हैं। हम दूरी तीन के एक तार्किक क्यूबिट को एन्कोड करते हैं और दोष-सहिष्णु सिंड्रोम मापों के कई दौर करते हैं जो सर्किट्री में किसी भी एकल दोष के सुधार की अनुमति देते हैं। वास्तविक-समय प्रतिक्रिया का उपयोग करके, हम प्रत्येक सिंड्रोम निष्कर्षण चक्र के बाद सशर्त रूप से सिंड्रोम और फ़्लैग क्यूबिट्स को रीसेट करते हैं। हम रिसाव पोस्ट-चयनित डेटा पर, क्रमशः मिलान और अधिकतम संभावना डिकोडर के लिए Z(X)-आधार में प्रति सिंड्रोम माप औसत तार्किक त्रुटि ~0.040 (~0.088) और ~0.037 (~0.087) के साथ, डिकोडर निर्भर तार्किक त्रुटि की रिपोर्ट करते हैं। परिचय क्वांटम अभिकलन के परिणाम, व्यवहार में, हार्डवेयर में शोर के कारण दोषपूर्ण हो सकते हैं। परिणामी दोषों को खत्म करने के लिए, क्वांटम सूचना को संरक्षित, तार्किक स्वतंत्रता की डिग्री में एन्कोड करने के लिए क्वांटम त्रुटि सुधार (QEC) कोड का उपयोग किया जा सकता है, और फिर दोषों को संचित होने से पहले ठीक करके दोष-सहिष्णु (FT) अभिकलन को सक्षम किया जा सकता है। QEC के एक पूर्ण निष्पादन में संभवतः आवश्यकता होगी: तार्किक अवस्थाओं की तैयारी; तार्किक द्वारों के एक सार्वभौमिक सेट की प्राप्ति, जिसके लिए जादू अवस्थाओं की तैयारी की आवश्यकता हो सकती है; सिंड्रोम का दोहराया माप; और त्रुटियों को ठीक करने के लिए सिंड्रोम का डिकोडिंग। यदि सफल रहा, तो परिणामी तार्किक त्रुटि दर अंतर्निहित भौतिक त्रुटि दरों से कम होनी चाहिए, और बढ़ती कोड दूरियों के साथ नगण्य मानों तक कम होनी चाहिए। QEC कोड का चुनाव अंतर्निहित हार्डवेयर और इसके शोर गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है। क्यूबिट्स की एक भारी-षट्कोणीय जाली [^{1,2}] के लिए, उप-प्रणाली QEC कोड [^3] आकर्षक हैं क्योंकि वे कम कनेक्टिविटी वाले क्यूबिट्स के लिए अच्छी तरह से अनुकूल हैं। अन्य कोडों ने FT [^4] के लिए अपनी अपेक्षाकृत उच्च सीमा या पारगम्य तार्किक द्वारों [^5] की बड़ी संख्या के कारण वादा दिखाया है। यद्यपि उनके स्थान और समय का ओवरहेड मापनीयता के लिए एक महत्वपूर्ण बाधा हो सकती है, त्रुटि शमन [^6] के किसी न किसी रूप का फायदा उठाकर सबसे महंगी संसाधनों को कम करने के लिए उत्साहजनक दृष्टिकोण मौजूद हैं। डिकोडिंग प्रक्रिया में, सफल सुधार न केवल क्वांटम हार्डवेयर के प्रदर्शन पर निर्भर करता है, बल्कि सिंड्रोम मापों से प्राप्त शास्त्रीय जानकारी को प्राप्त करने और संसाधित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले नियंत्रण इलेक्ट्रॉनिक्स के कार्यान्वयन पर भी निर्भर करता है। हमारे मामले में, माप चक्रों के बीच वास्तविक-समय प्रतिक्रिया के माध्यम से सिंड्रोम और फ़्लैग क्यूबिट्स दोनों को प्रारंभ करना त्रुटियों को कम करने में मदद कर सकता है। डिकोडिंग स्तर पर, यद्यपि FT औपचारिकता [^{7,8}] के भीतर QEC को अतुल्यकालिक रूप से करने के लिए कुछ प्रोटोकॉल मौजूद हैं, त्रुटि सिंड्रोम प्राप्त करने की दर उनके शास्त्रीय प्रसंस्करण समय के अनुरूप होनी चाहिए ताकि सिंड्रोम डेटा की बढ़ती बैक लॉग से बचा जा सके। इसके अलावा, कुछ प्रोटोकॉल, जैसे कि तार्किक T-गेट [^9] के लिए जादू अवस्था का उपयोग करना, वास्तविक-समय फीड-फॉरवर्ड के अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, QEC की दीर्घकालिक दृष्टि एकल अंतिम लक्ष्य पर केंद्रित नहीं है, बल्कि गहराई से परस्पर जुड़े कार्यों के एक निरंतरता के रूप में देखी जानी चाहिए। इस तकनीक के विकास में प्रयोगात्मक मार्ग पहले इन कार्यों के प्रदर्शन और बाद में उनके प्रगतिशील संयोजन को शामिल करेगा, हमेशा उनके संबद्ध मेट्रिक्स में लगातार सुधार करते हुए। कुछ प्रगति विभिन्न भौतिक प्लेटफार्मों पर क्वांटम प्रणालियों में हालिया प्रगति में परिलक्षित होती है, जिन्होंने FT क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए वांछित कई पहलुओं का प्रदर्शन या अनुमान लगाया है। विशेष रूप से, FT तार्किक स्थिति तैयारी आयनों [^10], हीरे में परमाणु स्पिन [^11], और सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स [^12] पर प्रदर्शित की गई है। सिंड्रोम निष्कर्षण के दोहराए गए चक्र छोटी त्रुटि का पता लगाने वाले कोड [^{13,14}] में सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स में दिखाए गए हैं, जिसमें आंशिक त्रुटि सुधार [^15] के साथ-साथ एकल-क्यूबिट द्वारों [^16] का एक सार्वभौमिक (यद्यपि FT नहीं) सेट शामिल है। दो तार्किक क्यूबिट्स पर एक सार्वभौमिक द्वारों के सेट का FT प्रदर्शन हाल ही में आयनों [^17] में रिपोर्ट किया गया है। त्रुटि सुधार के दायरे में, सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर दूरी-3 सतह कोड के हालिया अनुभव हुए हैं, जिसमें डिकोडिंग [^18] और पोस्ट-सेलेक्शन [^19] के साथ-साथ रंग कोड [^20] का उपयोग करके गतिशील रूप से संरक्षित क्वांटम मेमोरी का FT कार्यान्वयन, और आयनों [^{20,21}] में बेकन-शोर कोड में FT स्थिति तैयारी, संचालन, और माप, इसके स्टेबलाइजर्स सहित, शामिल हैं। यहां हम सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट सिस्टम पर वास्तविक-समय प्रतिक्रिया की क्षमता को एक अधिकतम संभावना डिकोडिंग प्रोटोकॉल के साथ जोड़ते हैं, जो तार्किक अवस्थाओं के उत्तरजीविता में सुधार के लिए अब तक प्रयोगात्मक रूप से अज्ञात है। हम इन उपकरणों को एक उप-प्रणाली कोड [^22], भारी-षट्कोणीय कोड [^1], एक सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर FT संचालन के हिस्से के रूप में प्रदर्शित करते हैं। इस कोड के हमारे कार्यान्वयन को दोष-सहिष्णु बनाने के लिए आवश्यक फ़्लैग क्यूबिट्स हैं जो, जब गैर-शून्य पाए जाते हैं, तो डिकोडर को सर्किट त्रुटियों के बारे में सचेत करते हैं। प्रत्येक सिंड्रोम माप चक्र के बाद फ़्लैग और सिंड्रोम क्यूबिट्स को सशर्त रूप से रीसेट करके, हम ऊर्जा क्षय के लिए निहित शोर विषमता से उत्पन्न होने वाली त्रुटियों के खिलाफ अपने सिस्टम की रक्षा करते हैं। हम आगे हाल ही में वर्णित डिकोडिंग रणनीतियों [^15] का शोषण करते हैं और अधिकतम संभावना अवधारणाओं [^{4,23,24}] को शामिल करने के लिए डिकोडिंग विचारों का विस्तार करते हैं। परिणाम भारी-षट्कोणीय कोड और बहु-दौर सर्किट हम जिस भारी-षट्कोणीय कोड पर विचार करते हैं, वह एक n=9 क्यूबिट कोड है जो दूरी d=3 [^1] के k=1 तार्किक क्यूबिट को एन्कोड करता है। Z और X गेज (चित्र 1a देखें) और स्टेबलाइज़र समूह इनसे उत्पन्न होते हैं स्टेबलाइज़र समूह क्रमशः गेज समूहों के केंद्र हैं। इसका मतलब है कि स्टेबलाइजर्स, गेज ऑपरेटरों के उत्पादों के रूप में, केवल गेज ऑपरेटरों के मापों से निकाले जा सकते हैं। तार्किक ऑपरेटरों को XL = X1X2X3 और ZL = Z1Z3Z7 के रूप में चुना जा सकता है। Z (नीला) और X (लाल) गेज ऑपरेटर (समीकरण (1) और (2)) दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड के साथ आवश्यक 23 क्यूबिट्स पर मैप किए गए हैं। कोड क्यूबिट्स (Q1 - Q9) पीले रंग में दिखाए गए हैं, Z स्टेबलाइजर्स के लिए उपयोग किए जाने वाले सिंड्रोम क्यूबिट्स (Q17, Q19, Q20, Q22) नीले रंग में हैं, और X स्टेबलाइजर्स में फ़्लैग क्यूबिट्स और सिंड्रोम सफेद रंग में हैं। CX द्वारों को लागू करने का क्रम और दिशा प्रत्येक उप-अनुभाग (0 से 4) के भीतर क्रमांकित तीरों द्वारा दर्शाई गई है। एक सिंड्रोम माप दौर का सर्किट आरेख, जिसमें X और Z स्टेबलाइजर्स दोनों शामिल हैं। सर्किट आरेख गेट परिचालनों के अनुमत समानांतरण को दर्शाता है: जो अनुसूची बाधाओं (ऊर्ध्वाधर धराशायी ग्रे रेखाएं) द्वारा निर्धारित सीमाओं के भीतर हैं। चूंकि प्रत्येक दो-क्यूबिट गेट अवधि भिन्न होती है, अंतिम गेट शेड्यूलिंग एक मानक यथासंभव देर से सर्किट ट्रांसपिलेशन पास के साथ निर्धारित की जाती है; जिसके बाद गतिशील डिकपलिंग डेटा क्यूबिट्स में जोड़ा जाता है जहां समय की अनुमति देता है। माप और रीसेट संचालन को गेट परिचालनों से बाधाओं द्वारा अलग किया जाता है ताकि निष्क्रिय डेटा क्यूबिट्स में समान गतिशील डिकपलिंग जोड़ा जा सके। सर्किट-स्तरीय शोर के साथ तीन दौरों के ( ) Z और ( ) X स्टेबलाइजर मापों के लिए डिकोडिंग ग्राफ X और Z त्रुटियों को ठीक करने की अनुमति देते हैं, क्रमशः। ग्राफ में नीले और लाल नोड्स अंतर सिंड्रोम के अनुरूप हैं, जबकि काले नोड्स सीमा हैं। किनारे पाठ में वर्णित सर्किट में होने वाली त्रुटियों के विभिन्न तरीकों को एन्कोड करते हैं। नोड्स को स्टेबलाइजर माप (Z या X) के प्रकार से लेबल किया जाता है, साथ ही स्टेबलाइजर को अनुक्रमित करने वाले सब्सक्रिप्ट और दौर को दर्शाने वाले सुपरस्क्रिप्ट के साथ। काले किनारे, क्यूबिट्स पर पाउली Y त्रुटियों से उत्पन्न होते हैं (और इसलिए केवल आकार-2 होते हैं), (c) और (d) में दो ग्राफ को जोड़ते हैं, लेकिन मिलान डिकोडर द्वारा उपयोग नहीं किए जाते हैं। आकार-4 हाइपरएज, जो मिलान द्वारा उपयोग नहीं किए जाते हैं, लेकिन अधिकतम संभावना डिकोडर द्वारा उपयोग किए जाते हैं। स्पष्टता के लिए रंग केवल हैं। समय में प्रत्येक का अनुवाद एक दौर से भी एक वैध हाइपरएज (समय सीमाओं पर कुछ भिन्नता के साथ) देता है। आकार-3 हाइपरएज भी नहीं दिखाए गए हैं। a b c d e f यहां हम एक विशेष FT सर्किट पर ध्यान केंद्रित करते हैं, हमारे कई तरीकों का उपयोग विभिन्न कोडों और सर्किटों के साथ अधिक सामान्य रूप से किया जा सकता है। दो उप-सर्किट, चित्र 1b में दिखाए गए हैं, X- और Z-गेज ऑपरेटरों को मापने के लिए निर्मित होते हैं। Z-गेज माप सर्किट फ़्लैग क्यूबिट्स को मापकर उपयोगी जानकारी भी प्राप्त करता है। हम तार्किक Z () स्थिति में कोड अवस्थाओं को तैयार करते हैं, पहले नौ क्यूबिट्स को Z () अवस्था में तैयार करके और X-गेज (Z-गेज) को मापकर। फिर हम सिंड्रोम माप के r दौर करते हैं, जहां एक दौर में Z-गेज माप के बाद X-गेज माप (क्रमशः X-गेज के बाद Z-गेज) शामिल होता है। अंत में, हम Z (X) आधार में सभी नौ कोड क्यूबिट्स को पढ़ते हैं। हम प्रारंभिक तार्किक अवस्थाओं Z और X के लिए भी समान प्रयोग करते हैं, बस नौ क्यूबिट्स को क्रमशः Z और X में प्रारंभ करके। डिकोडिंग एल्गोरिदम FT क्वांटम कंप्यूटिंग के संदर्भ में, एक डिकोडर एक एल्गोरिथम है जो त्रुटि सुधार कोड से सिंड्रोम मापों को इनपुट के रूप में लेता है और क्यूबिट्स या माप डेटा के लिए सुधार आउटपुट करता है। इस खंड में हम दो डिकोडिंग एल्गोरिदम का वर्णन करते हैं: पूर्ण मिलान डिकोडिंग और अधिकतम संभावना डिकोडिंग। डिकोडिंग हाइपरग्राफ [^15] FT सर्किट द्वारा एकत्र की गई जानकारी का एक संक्षिप्त विवरण है जो डिकोडिंग एल्गोरिथम को उपलब्ध कराया जाता है। इसमें शीर्षों का एक सेट, या त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं, V, और हाइपरएज का एक सेट, E, होता है, जो सर्किट में त्रुटियों के कारण घटनाओं के बीच सहसंबंधों को एन्कोड करता है। चित्र 1c-f हमारे प्रयोग के लिए डिकोडिंग हाइपरग्राफ के भागों को दर्शाते हैं। पाउली शोर के साथ स्टेबलाइज़र सर्किट के लिए डिकोडिंग हाइपरग्राफ का निर्माण मानक गोट्समैन-निइल सिमुलेशन [^25] या इसी तरह की पाउली ट्रेसिंग तकनीकों [^26] का उपयोग करके किया जा सकता है। सबसे पहले, प्रत्येक माप के लिए एक त्रुटि-संवेदनशील घटना बनाई जाती है जो त्रुटि-मुक्त सर्किट में नियतात्मक होती है। एक नियतात्मक माप M कोई भी माप है जिसका परिणाम m ∈ {0, 1} मापों के एक सेट S की पिछली मापों के परिणामों को मॉड्यूलो दो जोड़कर अनुमानित किया जा सकता है। यानी, एक त्रुटि-मुक्त सर्किट के लिए, FM(S)=m, जहां S सेट सर्किट के सिमुलेशन द्वारा पाया जा सकता है। त्रुटि-संवेदनशील घटना का मान m - FM(mod2) सेट करें, जो त्रुटियों की अनुपस्थिति में शून्य (जिसे तुच्छ भी कहा जाता है) होता है। इस प्रकार, एक गैर-शून्य (जिसे गैर-तुच्छ भी कहा जाता है) त्रुटि-संवेदनशील घटना का अवलोकन करने का तात्पर्य है कि सर्किट में कम से कम एक त्रुटि हुई है। हमारे सर्किट में, त्रुटि-संवेदनशील घटनाएं या तो फ़्लैग क्यूबिट मापन हैं या एक ही स्टेबलाइजर के बाद के मापों का अंतर (जिसे कभी-कभी अंतर सिंड्रोम भी कहा जाता है)। अगला, सर्किट दोषों पर विचार करके हाइपरएज जोड़े जाते हैं। हमारे मॉडल में कई सर्किट घटकों में से प्रत्येक के लिए एक दोष संभाव्यता pC शामिल है यहां हम समय के दौरान क्यूबिट्स पर पहचान ऑपरेशन id को उन समयों के दौरान अलग करते हैं जब अन्य क्यूबिट्स यूनिटरी गेट्स से गुजर रहे होते हैं, क्यूबिट्स पर पहचान ऑपरेशन idm से जब अन्य माप और रीसेट से गुजर रहे होते हैं। हम उन्हें मापने के बाद क्यूबिट्स को रीसेट करते हैं, जबकि हम उन क्यूबिट्स को प्रारंभ करते हैं जिनका अभी तक प्रयोग में उपयोग नहीं किया गया है। अंत में cx नियंत्रित-नॉट गेट है, h हैडमार्ड गेट है, और x, y, z पाउली गेट हैं। (विधि "IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण" में अधिक विवरण के लिए देखें)। pC के संख्यात्मक मान विधि "IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण" में सूचीबद्ध हैं। हमारा त्रुटि मॉडल सर्किट डिपोलाइज़िंग शोर है। प्रारंभ और रीसेट त्रुटियों के लिए, संबंधित संभावनाओं pinit और preset के साथ एक पाउली X लागू किया जाता है, इसके बाद आदर्श अवस्था की तैयारी की जाती है। माप त्रुटियों के लिए, आदर्श माप से पहले X संभाव्यता pX के साथ लागू किया जाता है। एक-क्यूबिट यूनिटरी गेट (दो-क्यूबिट गेट) C संभाव्यता pC के साथ तीन (पंद्रह) गैर-पहचान एक-क्यूबिट (दो-क्यूबिट) पाउली त्रुटियों में से एक से गुजरता है, आदर्श गेट के बाद। तीन (पंद्रह) पाउली त्रुटियों में से किसी के होने की समान संभावना है। जब सर्किट में एकल दोष होता है, तो यह त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं के कुछ उपसमूह को गैर-तुच्छ बना देता है। त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं का यह सेट एक हाइपरएज बन जाता है। सभी हाइपरएज का सेट E है। दो अलग-अलग दोष एक ही हाइपरएज का कारण बन सकते हैं, इसलिए प्रत्येक हाइपरएज को दोषों के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से हाइपरएज में घटनाओं को गैर-तुच्छ बनाता है। प्रत्येक हाइपरएज से जुड़ी एक संभाव्यता होती है, जो पहले क्रम में, सेट में दोषों की संभावनाओं का योग होती है। एक दोष एक त्रुटि का कारण भी बन सकता है जो, सर्किट के अंत तक फैलने पर, कोड के तार्किक ऑपरेटरों में से एक या अधिक के साथ एंटी-कम्यूट करता है, जिसके लिए तार्किक सुधार की आवश्यकता होती है। हम सामान्यता के लिए मानते हैं कि कोड में k तार्किक क्यूबिट्स और 2k तार्किक ऑपरेटरों का आधार है, लेकिन ध्यान दें कि भारी-षट्कोणीय कोड के लिए k=1 का उपयोग किया जाता है। हम तार्किक ऑपरेटरों के साथ एंटी-कम्यूट करने वाली त्रुटियों को ट्रैक कर सकते हैं, जो {0,1}^k से एक वेक्टर का उपयोग करके होता है। इस प्रकार, प्रत्येक हाइपरएज h को इन वैक्टरों में से एक, जिसे तार्किक लेबल कहा जाता है, द्वारा भी लेबल किया जाता है। ध्यान दें कि यदि कोड में कम से कम तीन की दूरी है, तो प्रत्येक हाइपरएज का एक अद्वितीय तार्किक लेबल होता है। अंत में, हम ध्यान देते हैं कि एक डिकोडिंग एल्गोरिथम विभिन्न तरीकों से डिकोडिंग हाइपरग्राफ को सरल बनाने का विकल्प चुन सकता है। एक तरीका जो हम हमेशा यहां नियोजित करते हैं वह है फ़्लैगिंग की प्रक्रिया। फ़्लैग माप (क्यूबिट्स 16, 18, 21, 23) से केवल अनदेखा किया जाता है, बिना किसी सुधार के। यदि फ़्लैग 11 गैर-तुच्छ है और 12 तुच्छ है, तो 2 पर Z लागू करें। यदि 12 गैर-तुच्छ है और 11 तुच्छ है, तो क्यूबिट 6 पर Z लागू करें। यदि फ़्लैग 13 गैर-तुच्छ है और 14 तुच्छ है, तो क्यूबिट 4 पर Z लागू करें। यदि 14 गैर-तुच्छ है और 13 तुच्छ है, तो क्यूबिट 8 पर Z लागू करें। दोष-सहिष्णुता के लिए यह पर्याप्त क्यों है, इसके विवरण के लिए संदर्भ [^15] देखें। इसका मतलब है कि फ़्लैग क्यूबिट मापों से त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं को सीधे शामिल करने के बजाय, हम आभासी पाउली Z सुधार लागू करने और तदनुसार बाद की त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं को समायोजित करने के लिए फ़्लैग जानकारी का उपयोग करके डेटा को पूर्व-संसाधित करते हैं। फ़्लैग किए गए हाइपरग्राफ के लिए हाइपरएज स्टेबलाइज़र सिमुलेशन के माध्यम से पाए जा सकते हैं जिसमें Z सुधार शामिल हैं। मान लीजिए r दौरों की संख्या को दर्शाता है। फ़्लैगिंग के बाद, Z (क्रमशः X आधार) प्रयोगों के लिए V का आकार |V| = 6r + 2 (क्रमशः 6r + 4) है, क्योंकि प्रति दौर छह स्टेबलाइजर मापा जाता है और स्थिति की तैयारी के बाद दो (क्रमशः चार) प्रारंभिक त्रुटि-संवेदनशील स्टेबलाइजर होते हैं। E का आकार इसी तरह r > 0 के लिए |E| = 60r - 13 (क्रमशः 60r - 1) है। X और Z त्रुटियों को अलग-अलग मानते हुए, सतह कोड के लिए न्यूनतम भार त्रुटि सुधार खोजने की समस्या को एक ग्राफ [^4] में न्यूनतम भार पूर्ण मिलान खोजने की समस्या में घटाया जा सकता है। मिलान डिकोडर अपनी व्यावहारिकता [^27] और व्यापक प्रयोज्यता [^{28,29}] के कारण अध्ययन जारी रखते हैं। इस खंड में, हम अपने दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड के लिए मिलान डिकोडर का वर्णन करते हैं। डिकोडिंग ग्राफ, X-त्रुटियों (चित्र 1c) के लिए एक और Z-त्रुटियों (चित्र 1d) के लिए, न्यूनतम भार पूर्ण मिलान के लिए पिछले अनुभाग में हाइपरग्राफ के उप-ग्राफ हैं। यहां X-त्रुटियों को ठीक करने के लिए ग्राफ पर ध्यान केंद्रित करते हैं, क्योंकि Z-त्रुटि ग्राफ समान है। इस मामले में, डिकोडिंग हाइपरग्राफ से हम (बाद के मापों के अंतर) Z-स्टेबलाइजर मापों के अनुरूप नोड्स VZ और उनके बीच किनारों (अर्थात, आकार दो के हाइपरएज) को रखते हैं। इसके अतिरिक्त, एक सीमावर्ती नोड b बनाया जाता है, और {v} जैसे आकार-एक हाइपरएज, v ∈ VZ, {v, b} किनारों को शामिल करके दर्शाए जाते हैं। X-त्रुटि ग्राफ में सभी किनारे अपने संबंधित हाइपरएज से संभाव्यता और तार्किक लेबल प्राप्त करते हैं (2-दौर प्रयोग के लिए X और Z-त्रुटि एज डेटा के लिए तालिका 1 देखें)। एक पूर्ण मिलान एल्गोरिथम भारित किनारों वाले एक ग्राफ और हाइलाइट किए गए नोड्स के एक सम-आकार के सेट को लेता है, और ग्राफ में किनारों का एक सेट लौटाता है जो सभी हाइलाइट किए गए नोड्स को जोड़े में जोड़ता है और ऐसे किनारों के सेट में न्यूनतम कुल भार होता है। हमारे मामले में, हाइलाइट किए गए नोड्स गैर-तुच्छ त्रुटि-संवेदनशील घटनाएं हैं (यदि विषम संख्या है, तो सीमा नोड भी हाइलाइट किया गया है), और किनारे के भार या तो एक (समान विधि) के रूप में चुने जाते हैं या pe = 1 - exp(-log(1/pe) / 2) के रूप में सेट किए जाते हैं, जहां pe एज संभाव्यता है (विश्लेषणात्मक विधि)। बाद वाला विकल्प का मतलब है कि एक एज सेट का कुल भार ग्राफ में किनारों पर इस संभावना को अधिकतम करने की कोशिश करता है, लॉग-संभावना के बराबर है। एक न्यूनतम भार पूर्ण मिलान को देखते हुए, एक तार्किक स्थिति सुधार पर निर्णय लेने के लिए मिलान में किनारों के तार्किक लेबल का उपयोग किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, मिलान डिकोडर के लिए X-त्रुटि (Z-त्रुटि) ग्राफ ऐसा है कि प्रत्येक किनारे को एक कोड क्यूबिट (या माप त्रुटि) से जोड़ा जा सकता है, जैसे कि मिलान में एक किनारे को शामिल करने का तात्पर्य संबंधित क्यूबिट पर एक X (Z) सुधार लागू किया जाना चाहिए। अधिकतम संभावना डिकोडिंग (MLD) क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड को डिकोड करने के लिए एक इष्टतम, यद्यपि गैर-मापने योग्य, विधि है। इसकी मूल अवधारणा में, MLD को घटनात्मक शोर मॉडल पर लागू किया गया था जहां त्रुटियां सिंड्रोम मापे जाने से ठीक पहले होती हैं [^{24,30}]। यह निश्चित रूप से अधिक यथार्थवादी मामले की उपेक्षा करता है जहां त्रुटियां सिंड्रोम माप सर्किटरी के माध्यम से फैल सकती हैं। हाल ही में, MLD को सर्किट शोर [^{23,31}] को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है। यहां, हम वर्णन करते हैं कि MLD डिकोडिंग हाइपरग्राफ का उपयोग करके सर्किट शोर को कैसे ठीक करता है। MLD त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं के अवलोकन को देखते हुए सबसे संभावित तार्किक सुधार का अनुमान लगाता है। यह Pr[β, γ] की संभाव्यता वितरण की गणना करके किया जाता है, जहां β त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं का प्रतिनिधित्व करता है और γ एक तार्किक सुधार का प्रतिनिधित्व करता है। हम Pr[β, γ] की गणना डिकोडिंग हाइपरग्राफ, चित्र 1c-f, से शून्य-त्रुटि वितरण से शुरू होने वाले प्रत्येक हाइपरएज को शामिल करके कर सकते हैं, अर्थात, Pr[0|V|, 0^2k] = 1। यदि हाइपरएज h में संभाव्यता ph है, जो किसी अन्य हाइपरएज से स्वतंत्र है, तो हम h को अपडेट करके शामिल करते हैं जहां βh केवल हाइपरएज का एक द्विआधारी वेक्टर प्रतिनिधित्व है। यह अपडेट E में प्रत्येक हाइपरएज के लिए एक बार लागू किया जाना चाहिए। एक बार Pr[β, γ] की गणना हो जाने पर, हम इसका उपयोग सर्वोत्तम तार्किक सुधार का अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं। यदि β* प्रयोग के एक दौर में देखा जाता है, यह दर्शाता है कि तार्किक ऑपरेटरों के मापों को कैसे ठीक किया जाना चाहिए। विशिष्ट MLD कार्यान्वयन के बारे में अधिक जानकारी के लिए, विधि "अधिकतम संभावना कार्यान्वयन" देखें। प्रायोगिक अहसास इस प्रदर्शन के लिए हम ibm_peekskill v2.0.0 का उपयोग करते हैं, एक 27 क्यूबिट IBM क्वांटम फाल्कन प्रोसेसर [^32] जिसका कपलिंग मैप दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड को सक्षम करता है, चित्र 1 देखें। क्यूबिट माप और उसके बाद वास्तविक-समय सशर्त रीसेट का कुल समय, प्रत्येक दौर के लिए, 768ns लेता है और सभी क्यूबिट्स के लिए समान है। बेहतर प्रदर्शन के लिए सभी सिंड्रोम माप और रीसेट एक साथ होते हैं। कोड क्यूबिट्स पर उनके संबंधित निष्क्रिय अवधियों के दौरान एक साधारण Xπ-Xπ गतिशील डिकपलिंग अनुक्रम जोड़ा जाता है। क्यूबिट रिसाव एक महत्वपूर्ण कारण है कि डिकोडर डिजाइन द्वारा अनुमानित पाउली डिपोलाइज़िंग त्रुटि मॉडल गलत हो सकता है। कुछ मामलों में, हम पता लगा सकते हैं कि माप के समय एक क्यूबिट गणना उप-स्थान से लीक हो गया है (पोस्ट-सेलेक्शन विधि और सीमाओं पर अधिक जानकारी के लिए विधि "पोस्ट-सेलेक्शन विधि" देखें)। इसका उपयोग करके, हम उन प्रयोगों के दौरों पर पोस्ट-सेलेक्ट कर सकते हैं जब रिसाव का पता नहीं चला है, जैसा कि संदर्भ [^18] में है। चित्र 2a में, हम तार्किक स्थिति |0⟩L () को प्रारंभ करते हैं, और r सिंड्रोम माप दौर लागू करते हैं, जहां एक दौर में X और Z दोनों स्टेबलाइजर्स शामिल होते हैं (प्रति दौर लगभग 5.3μs का कुल समय, चित्र 1b)। पूर्ण डेटा सेट (प्रति दौर 500,000 शॉट्स) पर विश्लेषणात्मक पूर्ण मिलान डिकोडिंग का उपयोग करके, हम चित्र 2a, लाल (नीला) त्रिकोण में तार्किक त्रुटियों को निकालते हैं। विश्लेषणात्मक पूर्ण मिलान डिकोडिंग में उपयोग किए जाने वाले अनुकूलित मापदंडों का विवरण विधि "IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण" में पाया जा सकता है। पूर्ण क्षय वक्रों (समीकरण (14)) को 10 दौर तक फिट करके, हम चित्र 2b में 0.059(2) (0.058(3)) Z (|0⟩L) और 0.113(5) (0.107(4)) X (|1⟩L) के लिए प्रति दौर तार्किक त्रुटि निकालते हैं। सिंड्रोम माप दौर r की संख्या के मुकाबले तार्किक त्रुटि, जहां एक दौर में Z और X स्टेबलाइजर माप दोनों शामिल हैं। नीले दाएँ-बिंदु त्रिकोण (लाल त्रिकोण) Z (|0⟩L) अवस्थाओं के लिए कच्चे प्रयोगात्मक डेटा पर मिलान विश्लेषणात्मक डिकोडिंग का उपयोग करने से प्राप्त तार्किक त्रुटियों को चिह्नित करते हैं। हल्के नीले वर्ग (हल्के लाल वृत्त) समान डिकोडिंग विधि का उपयोग करके, लेकिन रिसाव-पोस्ट-चयनित प्रयोगात्मक डेटा का उपयोग करके X (|1⟩L) के लिए हैं। त्रुटि बार प्रत्येक दौर की नमूनाकरण त्रुटि को दर्शाते हैं (कच्चे डेटा के लिए 500,000 शॉट्स, पोस्ट-चयनित के लिए चर शॉट्स की संख्या)। धराशायी रेखाएँ (b) में प्लॉट किए गए प्रति दौर त्रुटि का फिट हैं। रिसाव-पोस्ट-चयनित डेटा पर समान डिकोडिंग विधि लागू करने से, सभी चार तार्किक अवस्थाओं के लिए समग्र त्रुटि में काफी कमी आती है। पोस्ट-सेलेक्शन विधि पर विवरण के लिए विधि "पोस्ट-सेलेक्शन विधि" देखें। Z, X, Z, X के लिए प्रति दौर फिट अस्वीकृति दर क्रमशः 4.91%, 4.64%, 4.37%, और 4.89% है। त्रुटि बार फिट दर पर एक मानक विचलन को दर्शाते हैं। , पोस्ट-चयनित डेटा का उपयोग करके, हम चार डिकोडरों के साथ प्राप्त तार्किक त्रुटि की तुलना करते हैं: मिलान समान (गुलाबी वृत्त), मिलान विश्लेषणात्मक (हरा वृत्त), नरम जानकारी के साथ मिलान विश्लेषणात्मक (ग्रे वृत्त), और अधिकतम संभावना (नीला वृत्त)। (Z और X के लिए चित्र 6 देखें)। धराशायी फिट दरें (e), (f) में प्रस्तुत की गई हैं। त्रुटि बार फिट दर पर नमूनाकरण त्रुटि को दर्शाते हैं। , रिसाव-पोस्ट-चयनित डेटा पर मिलान समान (गुलाबी), मिलान विश्लेषणात्मक (हरा), नरम जानकारी के साथ मिलान विश्लेषणात्मक (ग्रे), और अधिकतम संभावना (नीला) डिकोडरों का उपयोग करके सभी चार तार्किक अवस्थाओं के लिए फिट त्रुटि प्रति दौर की तुलना। त्रुटि बार फिट दर पर एक मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करते हैं। a b c d e f रिसाव-पोस्ट-चयनित डेटा पर समान डिकोडिंग विधि लागू करने से चित्र 2a में तार्किक त्रुटियां कम हो जाती हैं, और चित्र 2b में दिखाए अनुसार Z (|0⟩L) () और X (|1⟩L) () के लिए क्रमशः 0.041(1) (0.044(4)) और 0.088(3) (0.085(3)) की फिट त्रुटि दर होती है। पोस्ट-सेलेक्शन से प्रति दौर अस्वीकृति दरें Z, X, Z, और X के लिए क्रमशः 4.91%, 4.64%, 4.37%, और 4.89% हैं। विवरण के लिए विधि "पोस्ट-सेलेक्शन विधि" देखें। चित्र 2c-f में, हम अनुभाग "डिकोडिंग एल्गोरिदम" में पहले वर्णित तीन डिकोडरों का उपयोग करके पोस्ट-चयनित डेटा सेट से प्रत्येक दौर के लिए तार्किक त्रुटि और निकाली गई तार्किक त्रुटि प्रति दौर की तुलना करते हैं। हम विधि "नरम-सूचना डिकोडिंग" में वर्णित नरम-सूचना [^33] का लाभ उठाने वाले विश्लेषणात्मक डिकोडर के एक संस्करण को भी शामिल करते हैं। हम (चित्र 2e, f देखें) मिलान समान (गुलाबी) से मिलान विश्लेषणात्मक (हरा) तक, नरम जानकारी के साथ मिलान विश्लेषणात्मक तक, अधिकतम संभावना (ग्रे) तक डिकोडिंग में एक सुसंगत सुधार देखते हैं, हालांकि यह X-आधारित तार्किक अवस्थाओं के लिए बहुत कम महत्वपूर्ण है। सभी चार तार्किक अवस्थाओं के लिए r = 2 दौरों पर तीन डिकोडरों के बीच एक मात्रात्मक तुलना विधि "r = 2 दौरों पर तार्किक त्रुटि" में प्रदान की गई है। कम से कम तीन कारण हैं कि X-आधारित अवस्थाएँ Z-आधारित अवस्थाओं से खराब प्रदर्शन क्यों करती हैं। पहला सर्किट में स्वाभाविक विषमता है। Z स्टेबलाइजर्स को मापने के लिए आवश्यक बड़ी गहराई डेटा क्यूबिट्स पर Z त्रुटियों के कारण अधिक समय तक पता न चलने का कारण बनती है। यह सिमुलेशन द्वारा समर्थित है, जैसे कि [^1] में, जो एक अलग डिकोडर का उपयोग करता है, और यहां विधि "सिमुलेशन विवरण" में, जो इस d=3 कोड के लिए X-आधार के खराब प्रदर्शन को देखते हैं। दूसरा, डिकोडिंग में किए गए विकल्प, विशेष रूप से फ़्लैगिंग चरण, विषमता को बढ़ा सकते हैं, प्रभावी रूप से माप और रीसेट त्रुटियों को डेटा क्यूबिट्स पर Z त्रुटियों में परिवर्तित करके। इससे एक उच्च प्रभावी Z-त्रुटि दर होती है जिसे अधिकतम संभावना डिकोडिंग द्वारा भी सुधारा नहीं जा सकता है। इसके विपरीत, यदि हम केवल मापों के पहले दौर को फ़्लैग करते हैं, तो r = 2 दौर, Z (|0⟩L) प्रयोग पर अधिकतम संभावना डिकोडर की तार्किक त्रुटि 2.8% से 18.02(7)% तक कम हो जाती है। इस तरह की फ़्लैगिंग डिकोडिंग बड़े दौर की गणनाओं के लिए समय लेने वाली हो जाती है क्योंकि डिकोडिंग हाइपरग्राफ में फ़्लैग नोड्स जोड़ने से इसका आकार बहुत बढ़ जाता है। अंत में, डिकोडर केवल हमारे प्रयोगात्मक शोर के मॉडल जितने ही अच्छे होते हैं। गैर-डिपोलाइज़िंग शोर स्रोत जैसे कि दर्शक ZZ त्रुटियां, जो हम जानते हैं कि मौजूद हैं, हमारे किसी भी डिकोडर द्वारा मॉडल नहीं की जाती हैं और X-आधारित अवस्थाओं को अधिक प्रतिकूल रूप से प्रभावित करेंगी। इस तरह के प्रयोगात्मक शोर के अधिक सटीक अनुमान और समावेश और दोष-सहिष्णुता के लिए इसके निहितार्थ आगे के शोध के लिए एक महत्वपूर्ण विषय हैं। चर्चा इस कार्य में प्रस्तुत परिणाम क्वांटम हार्डवेयर, दोनों आकार और गुणवत्ता में, और शास्त्री
