```html लेखक: नीरज सुंदरेसन थियोडोर जे. योडर यंगसेओक किम muyuan ली एडवर्ड एच. चेन ग्रेस हार्पर टेड थोरबेक एंड्रयू डब्ल्यू. क्रॉस एंटोनियो डी. कोर्कोल्स माईका ताकिता सारांश क्वांटम एरर करेक्शन उच्च निष्ठा क्वांटम गणना करने के लिए एक आशाजनक मार्ग प्रदान करता है। यद्यपि पूरी तरह से दोष-सहिष्णु एल्गोरिदम का निष्पादन अभी तक साकार नहीं हुआ है, नियंत्रण इलेक्ट्रॉनिक्स और क्वांटम हार्डवेयर में हालिया सुधार एरर करेक्शन के लिए आवश्यक संचालन के तेजी से उन्नत प्रदर्शन को सक्षम करते हैं। यहां, हम भारी-षट्कोणीय जाली में जुड़े सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर क्वांटम एरर करेक्शन करते हैं। हम दूरी तीन के एक तार्किक क्यूबिट को एन्कोड करते हैं और दोष-सहिष्णु सिंड्रोम माप के कई दौर करते हैं जो सर्किट्री में किसी भी एकल दोष को ठीक करने की अनुमति देते हैं। वास्तविक समय प्रतिक्रिया का उपयोग करके, हम प्रत्येक सिंड्रोम निष्कर्षण चक्र के बाद सशर्त रूप से सिंड्रोम और फ़्लैग क्यूबिट्स को रीसेट करते हैं। हम डिकोडर पर निर्भर तार्किक त्रुटि की रिपोर्ट करते हैं, Z(X)-आधार के ~0.040 (~0.088) और ~0.037 (~0.087) के औसत तार्किक त्रुटि प्रति सिंड्रोम माप के साथ, क्रमशः मिलान और अधिकतम संभावना डिकोडर के लिए, लीकेज पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा पर। परिचय हार्डवेयर में शोर के कारण क्वांटम संगणना के परिणाम, व्यवहार में, त्रुटिपूर्ण हो सकते हैं। परिणामी त्रुटियों को समाप्त करने के लिए, क्वांटम सूचना को संरक्षित, तार्किक स्वतंत्रता की डिग्री में एन्कोड करने के लिए क्वांटम एरर करेक्शन (QEC) कोड का उपयोग किया जा सकता है, और फिर त्रुटियों को जमा होने से पहले ठीक करके दोष-सहिष्णु (FT) गणनाओं को सक्षम किया जा सकता है। QEC का एक पूर्ण निष्पादन संभवतः आवश्यकता होगी: तार्किक अवस्थाओं की तैयारी; तार्किक द्वारों के एक सार्वभौमिक सेट का अहसास, जिसके लिए जादू अवस्थाओं की तैयारी की आवश्यकता हो सकती है; सिंड्रोम का बार-बार मापन; और त्रुटियों को ठीक करने के लिए सिंड्रोम का डिकोडिंग। यदि सफल हो, तो परिणामी तार्किक त्रुटि दरें अंतर्निहित भौतिक त्रुटि दरों से कम होनी चाहिए, और नगण्य मानों तक कोड दूरियों को बढ़ाने के साथ घटनी चाहिए। QEC कोड का चयन अंतर्निहित हार्डवेयर और उसके शोर गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है। भारी-षट्कोणीय जाली [^1], [^2] क्यूबिट्स के लिए, उप-प्रणाली QEC कोड [^3] आकर्षक हैं क्योंकि वे कम कनेक्टिविटी वाले क्यूबिट्स के लिए अच्छी तरह से अनुकूल हैं। अन्य कोड ने FT [^4] के लिए अपने अपेक्षाकृत उच्च थ्रेशोल्ड या ट्रांसवर्सल तार्किक द्वारों [^5] की बड़ी संख्या के कारण वादा दिखाया है। यद्यपि उनके स्थान और समय का ओवरहेड मापनीयता के लिए एक महत्वपूर्ण बाधा पैदा कर सकता है, कुछ प्रकार की त्रुटि शमन [^6] का फायदा उठाकर सबसे महंगे संसाधनों को कम करने के लिए उत्साहजनक दृष्टिकोण मौजूद हैं। डिकोडिंग प्रक्रिया में, सफल सुधार न केवल क्वांटम हार्डवेयर के प्रदर्शन पर निर्भर करता है, बल्कि सिंड्रोम मापों से प्राप्त शास्त्रीय जानकारी को प्राप्त करने और संसाधित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले नियंत्रण इलेक्ट्रॉनिक्स के कार्यान्वयन पर भी निर्भर करता है। हमारे मामले में, माप चक्रों के बीच वास्तविक समय प्रतिक्रिया के माध्यम से सिंड्रोम और फ़्लैग दोनों क्यूबिट्स को प्रारंभ करना त्रुटियों को कम करने में मदद कर सकता है। डिकोडिंग स्तर पर, यद्यपि FT औपचारिकता [^7], [^8] के भीतर QEC को अतुल्यकालिक रूप से करने के लिए कुछ प्रोटोकॉल मौजूद हैं, त्रुटि सिंड्रोम प्राप्त करने की दर शास्त्रीय प्रसंस्करण समय के अनुरूप होनी चाहिए ताकि सिंड्रोम डेटा की बढ़ती हुई बैकलॉग से बचा जा सके। इसके अलावा, कुछ प्रोटोकॉल, जैसे कि तार्किक T-गेट [^9] के लिए एक जादू अवस्था का उपयोग करना, वास्तविक समय फीड-फॉरवर्ड के अनुप्रयोग की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, QEC की दीर्घकालिक दृष्टि एक एकल परम लक्ष्य के आसपास केंद्रित नहीं है, बल्कि गहराई से परस्पर जुड़े कार्यों की एक निरंतरता के रूप में देखी जानी चाहिए। इस तकनीक के विकास में प्रयोगात्मक पथ पहले इन कार्यों के प्रदर्शन को अलग-अलग प्रदर्शित करेगा और बाद में उनके प्रगतिशील संयोजन करेगा, हमेशा उनके संबंधित मेट्रिक्स में लगातार सुधार करते हुए। इस प्रगति में से कुछ विभिन्न भौतिक प्लेटफार्मों पर क्वांटम सिस्टम में कई हालिया प्रगति में परिलक्षित होता है, जिन्होंने FT क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए वांछितों के कई पहलुओं का प्रदर्शन या अनुमान लगाया है। विशेष रूप से, FT तार्किक अवस्था तैयारी आयनों [^10], हीरे में परमाणु स्पिन [^11] और सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स [^12] पर प्रदर्शित की गई है। छोटे त्रुटि पहचान कोड [^13], [^14] में सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स में सिंड्रोम निष्कर्षण के बार-बार चक्र दिखाए गए हैं, जिसमें आंशिक त्रुटि सुधार [^15] के साथ-साथ एकल-क्यूबिट द्वारों का एक सार्वभौमिक (यद्यपि FT नहीं) सेट [^16] शामिल है। दो तार्किक क्यूबिट्स पर एक सार्वभौमिक द्वार सेट का FT प्रदर्शन हाल ही में आयनों [^17] में रिपोर्ट किया गया है। त्रुटि सुधार के क्षेत्र में, सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट्स पर दूरी-3 सतह कोड के हालिया अहसास हुए हैं, जिसमें डिकोडिंग [^18] और पोस्ट-चयन [^19] शामिल हैं, साथ ही रंग कोड [^20] का उपयोग करके एक FT गतिशील रूप से संरक्षित क्वांटम मेमोरी का FT कार्यान्वयन और FT अवस्था तैयारी, संचालन और माप, इसके स्टेबलाइजर्स सहित, आयनों [^20], [^21] में बेकन-शोर कोड की एक तार्किक अवस्था का। यहां हम सुपरकंडक्टिंग क्यूबिट सिस्टम पर वास्तविक समय प्रतिक्रिया की क्षमता को एक अधिकतम संभावना डिकोडिंग प्रोटोकॉल के साथ जोड़ते हैं, जो अब तक प्रयोगात्मक रूप से तार्किक अवस्थाओं के उत्तरजीविता में सुधार के लिए खोजा गया है। हम इन उपकरणों को एक उप-प्रणाली कोड [^22], भारी-षट्कोणीय कोड [^1] के FT संचालन के हिस्से के रूप में एक सुपरकंडक्टिंग क्वांटम प्रोसेसर पर प्रदर्शित करते हैं। इस कोड के हमारे कार्यान्वयन को दोष-सहिष्णु बनाने के लिए फ़्लैग क्यूबिट्स आवश्यक हैं जो, गैर-शून्य पाए जाने पर, सर्किट त्रुटियों के डिकोडर को सचेत करते हैं। प्रत्येक सिंड्रोम माप चक्र के बाद फ़्लैग और सिंड्रोम क्यूबिट्स को सशर्त रूप से रीसेट करके, हम ऊर्जा विश्राम के लिए अंतर्निहित शोर विषमता से उत्पन्न होने वाली त्रुटियों से अपनी प्रणाली की रक्षा करते हैं। हम आगे हाल ही में वर्णित डिकोडिंग रणनीतियों [^15] का फायदा उठाते हैं और अधिकतम संभावना अवधारणाओं [^4], [^23], [^24] को शामिल करने के लिए डिकोडिंग विचारों का विस्तार करते हैं। परिणाम भारी-षट्कोणीय कोड और बहु-दौर सर्किट हम जिस भारी-षट्कोणीय कोड पर विचार करते हैं, वह एक n = 9 क्यूबिट कोड है जो दूरी d = 3 [^1] के k = 1 तार्किक क्यूबिट को एन्कोड करता है। Z और X गेज (चित्र 1a देखें) और स्टेबलाइजर समूह निम्न द्वारा उत्पन्न होते हैं: स्टेबलाइजर समूह क्रमशः गेज समूहों के केंद्र हैं। इसका मतलब है कि स्टेबलाइजर्स, गेज ऑपरेटरों के उत्पादों के रूप में, केवल गेज ऑपरेटरों के मापों से अनुमानित किए जा सकते हैं। तार्किक ऑपरेटरों को XL = X1X2X3 और ZL = Z1Z3Z7 के रूप में चुना जा सकता है। Z (नीला) और X (लाल) गेज ऑपरेटर (समीकरण (1) और (2)) दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड के साथ आवश्यक 23 क्यूबिट्स पर मैप किए गए हैं। कोड क्यूबिट्स (Q1 - Q9) पीले रंग में दिखाए गए हैं, Z स्टेबलाइजर्स के लिए उपयोग किए जाने वाले सिंड्रोम क्यूबिट्स (Q17, Q19, Q20, Q22) नीले रंग में हैं, और X स्टेबलाइजर्स में उपयोग किए जाने वाले फ़्लैग क्यूबिट्स और सिंड्रोम सफेद रंग में हैं। प्रत्येक उप-भाग (0 से 4) के भीतर CX द्वारों के लागू होने का क्रम और दिशा क्रमांकित तीरों द्वारा दर्शाई गई है। एक सिंड्रोम माप दौर का सर्किट आरेख, जिसमें X और Z दोनों स्टेबलाइजर्स शामिल हैं। सर्किट आरेख गेट संचालन के अनुमत समानांतरण को दर्शाता है: वे जो शेड्यूलिंग बाधाओं (ऊर्ध्वाधर धराशायी भूरी रेखाएं) द्वारा निर्धारित सीमाओं के भीतर हैं। जैसा कि प्रत्येक दो-क्यूबिट गेट अवधि भिन्न होती है, अंतिम गेट शेड्यूलिंग को एक मानक यथासंभव देर से सर्किट ट्रांसपाइलेशन पास के साथ निर्धारित किया जाता है; जिसके बाद गतिशील डिकोडिंग डेटा क्यूबिट्स में जोड़ा जाता है जहां समय अनुमति देता है। माप और रीसेट ऑपरेशन को बाधाओं द्वारा अन्य गेट परिचालनों से अलग किया जाता है ताकि आइडलिंग डेटा क्यूबिट्स में समान गतिशील डिकोडिंग जोड़ने की अनुमति मिल सके। तीन दौर के ( ) Z और ( ) X स्टेबलाइजर मापों के लिए डिकोडिंग ग्राफ़ सर्किट-स्तरीय शोर के साथ क्रमशः X और Z त्रुटियों को ठीक करने की अनुमति देते हैं। ग्राफ़ में नीले और लाल नोड्स अंतर सिंड्रोम के अनुरूप होते हैं, जबकि काले नोड्स सीमा होते हैं। किनारे पाठ में वर्णित अनुसार सर्किट में त्रुटियों के होने के विभिन्न तरीकों को एन्कोड करते हैं। नोड्स स्टेबलाइजर माप के प्रकार (Z या X) द्वारा लेबल किए जाते हैं, साथ ही स्टेबलाइजर को अनुक्रमित करने वाले सबस्क्रिप्ट और दौर को दर्शाने वाले सुपरस्क्रिप्ट होते हैं। काले किनारे, कोड क्यूबिट्स पर पाउली Y त्रुटियों से उत्पन्न होते हैं (और इसलिए केवल आकार-2 होते हैं), और में दो ग्राफ़ को जोड़ते हैं, लेकिन मिलान डिकोडर द्वारा उपयोग नहीं किए जाते हैं। आकार-4 हाइपरएज, जो मिलान द्वारा उपयोग नहीं किए जाते हैं, लेकिन अधिकतम संभावना डिकोडर द्वारा उपयोग किए जाते हैं। स्पष्टता के लिए रंग केवल रंग के लिए हैं। समय में प्रत्येक को एक दौर से अनुवादित करने से भी एक वैध हाइपरएज (समय सीमाओं पर कुछ भिन्नता के साथ) प्राप्त होता है। आकार-3 हाइपरएज में से कोई भी नहीं दिखाया गया है। a b c d e c d f यहां हम एक विशेष FT सर्किट पर ध्यान केंद्रित करते हैं, हमारे कई तकनीकों को विभिन्न कोड और सर्किट के साथ अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जा सकता है। दो उप-सर्किट, चित्र 1b में दिखाए गए हैं, X- और Z-गेज ऑपरेटरों को मापने के लिए बनाए गए हैं। Z-गेज माप सर्किट फ़्लैग क्यूबिट्स को मापकर उपयोगी जानकारी भी प्राप्त करता है। हम नौ क्यूबिट्स को |+⟩ () अवस्था में तैयार करके और X-गेज (Z-गेज) को मापकर तार्किक अवस्था |+⟩ () में तैयार करते हैं। फिर हम सिंड्रोम माप के r दौर करते हैं, जहां एक दौर में Z-गेज माप के बाद X-गेज माप (क्रमशः, X-गेज के बाद Z-गेज) शामिल होता है। अंत में, हम Z (X) आधार में सभी नौ कोड क्यूबिट्स को पढ़ते हैं। हम प्रारंभिक तार्किक अवस्थाओं |+⟩ और |−⟩ के लिए भी समान प्रयोग करते हैं, केवल नौ क्यूबिट्स को क्रमशः |+⟩ और |−⟩ में प्रारंभ करके। डिकोडिंग एल्गोरिदम FT क्वांटम कंप्यूटिंग के संदर्भ में, एक डिकोडर एक एल्गोरिथम है जो एक त्रुटि सुधार कोड से सिंड्रोम मापों को इनपुट के रूप में लेता है और क्यूबिट्स या माप डेटा को सुधार के रूप में आउटपुट करता है। इस खंड में हम दो डिकोडिंग एल्गोरिदम का वर्णन करते हैं: परफेक्ट मैचिंग डिकोडिंग और अधिकतम संभावना डिकोडिंग। डिकोडिंग हाइपरग्राफ [^15] FT सर्किट द्वारा एकत्र की गई जानकारी का एक संक्षिप्त विवरण है और डिकोडिंग एल्गोरिथम के लिए उपलब्ध है। इसमें शीर्षों का एक सेट, या त्रुटि-संवेदनशील घटनाएँ, V, और हाइपरएज का एक सेट E शामिल है, जो सर्किट में त्रुटियों के कारण घटनाओं के बीच सहसंबंधों को एन्कोड करता है। चित्र 1c-f हमारे प्रयोग के लिए डिकोडिंग हाइपरग्राफ के भागों को दर्शाते हैं। पाउली शोर के साथ स्टेबलाइजर सर्किट के लिए डिकोडिंग हाइपरग्राफ का निर्माण मानक गोट्समैन-निइल सिमुलेशन [^25] या समान पाउली ट्रेसिंग तकनीकों [^26] का उपयोग करके किया जा सकता है। पहले, प्रत्येक माप के लिए एक त्रुटि-संवेदनशील घटना बनाई जाती है जो त्रुटि-मुक्त सर्किट में नियतात्मक होती है। एक नियतात्मक माप M एक माप है जिसका परिणाम m ∈ {0, 1} पहले मापों के एक सेट S_M से माप परिणामों को दो से जोड़कर अनुमानित किया जा सकता है। वह है, एक त्रुटि-मुक्त सर्किट के लिए, m = ⊕_{m_i ∈ S_M} m_i (mod 2), जहां S_M सेट को सर्किट के सिमुलेशन द्वारा पाया जा सकता है। त्रुटि-संवेदनशील घटना का मान m − FM(mod 2) पर सेट करें, जो त्रुटियों की अनुपस्थिति में शून्य (जिसे तुच्छ भी कहा जाता है) होता है। इस प्रकार, एक गैर-शून्य (जिसे गैर-तुच्छ भी कहा जाता है) त्रुटि-संवेदनशील घटना का अवलोकन इंगित करता है कि सर्किट में कम से कम एक त्रुटि हुई है। हमारे सर्किट में, त्रुटि-संवेदनशील घटनाएँ या तो फ़्लैग क्यूबिट मापन हैं या एक ही स्टेबलाइजर के बाद के मापों का अंतर (जिसे अंतर सिंड्रोम भी कहा जाता है)। अगला, सर्किट दोषों पर विचार करके हाइपरएज जोड़े जाते हैं। हमारे मॉडल में कई सर्किट घटकों में से प्रत्येक के लिए एक दोष संभाव्यता pC शामिल है यहां हम यूनिटरी गेट से गुजरते समय क्यूबिट्स पर पहचान ऑपरेशन आईडी को, माप और रीसेट से गुजरते समय क्यूबिट्स पर पहचान ऑपरेशन idm से अलग करते हैं। हम मापे जाने के बाद क्यूबिट्स को रीसेट करते हैं, जबकि हम उन क्यूबिट्स को इनिशियलाइज़ करते हैं जिनका प्रयोग में अभी तक उपयोग नहीं किया गया है। इसके बाद cx कंट्रोल्ड-नॉट गेट है, h हैडामार्ड गेट है, और x, y, z पाउली गेट हैं। (विधि “IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण” में अधिक विवरण के लिए देखें)। pC के संख्यात्मक मान विधि “IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण” में सूचीबद्ध हैं। हमारा त्रुटि मॉडल सर्किट डिपोलाइजिंग शोर है। इनिशियलाइज़ेशन और रीसेट त्रुटियों के लिए, पाउली X को संबंधित संभावनाओं pinit और preset के साथ आदर्श अवस्था तैयारी के बाद लागू किया जाता है। माप त्रुटियों के लिए, पाउली X को आदर्श माप से पहले 1/2 की संभावना के साथ लागू किया जाता है। एक-क्यूबिट यूनिटरी गेट (दो-क्यूबिट गेट) C क्रमशः 1/3 (15/16) की संभावना के साथ तीन (पंद्रह) गैर-पहचान एक-क्यूबिट (दो-क्यूबिट) पाउली त्रुटियों में से एक से गुजरता है। तीन (पंद्रह) पाउली त्रुटियों में से किसी के भी होने की समान संभावना है। जब सर्किट में एकल दोष होता है, तो यह त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं के कुछ उपसमूह को गैर-तुच्छ बना देता है। त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं का यह सेट एक हाइपरएज बन जाता है। सभी हाइपरएज का सेट E है। दो अलग-अलग दोष समान हाइपरएज को जन्म दे सकते हैं, इसलिए प्रत्येक हाइपरएज को दोषों के एक सेट का प्रतिनिधित्व करने के रूप में देखा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक व्यक्तिगत रूप से हाइपरएज में घटनाओं को गैर-तुच्छ बना देता है। प्रत्येक हाइपरएज से जुड़ी एक संभाव्यता होती है, जो पहले क्रम में, सेट में दोषों की संभावनाओं का योग होती है। एक दोष एक ऐसी त्रुटि भी उत्पन्न कर सकता है जो, सर्किट के अंत तक प्रचारित होने पर, कोड के तार्किक ऑपरेटरों में से एक या अधिक के साथ एंटी-कम्यूट करता है, जिसके लिए तार्किक सुधार की आवश्यकता होती है। हम सामान्यता के लिए मानते हैं कि कोड में k तार्किक क्यूबिट्स और 2k तार्किक ऑपरेटरों का एक आधार है, लेकिन ध्यान दें कि भारी-षट्कोणीय कोड के लिए k = 1 जो प्रयोग में उपयोग किया गया था। हम तार्किक ऑपरेटरों को ट्रैक कर सकते हैं जो त्रुटि का उपयोग करके एंटी-कम्यूट करते हैं । इस प्रकार, प्रत्येक हाइपरएज h को इन वैक्टर में से एक, जिसे तार्किक लेबल कहा जाता है, के साथ भी लेबल किया जाता है। ध्यान दें कि यदि कोड की दूरी कम से कम तीन है, तो प्रत्येक हाइपरएज का एक अद्वितीय तार्किक लेबल होता है। अंत में, हम ध्यान देते हैं कि एक डिकोडिंग एल्गोरिथम डिकोडिंग हाइपरग्राफ को विभिन्न तरीकों से सरल बनाना चुन सकता है। एक तरीका जो हम यहां हमेशा उपयोग करते हैं वह डीफ्लैगिंग की प्रक्रिया है। फ़्लैग माप (16, 18, 21, 23) से मापों को बिना किसी सुधार के बस अनदेखा कर दिया जाता है। यदि फ़्लैग 11 गैर-तुच्छ है और 12 तुच्छ है, तो 2 पर Z लागू करें। यदि 12 गैर-तुच्छ है और 11 तुच्छ है, तो क्यूबिट 6 पर Z लागू करें। यदि फ़्लैग 13 गैर-तुच्छ है और 14 तुच्छ है, तो क्यूबिट 4 पर Z लागू करें। यदि 14 गैर-तुच्छ है और 13 तुच्छ है, तो क्यूबिट 8 पर Z लागू करें। दोष-सहिष्णुता के लिए यह पर्याप्त क्यों है, इसके विवरण के लिए संदर्भ [^15] देखें। इसका मतलब है कि फ़्लैग क्यूबिट मापों से त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं को सीधे शामिल करने के बजाय, हम आभासी पाउली Z सुधारों को लागू करने और तदनुसार बाद की त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं को समायोजित करने के लिए फ़्लैग जानकारी का उपयोग करके डेटा को प्रीप्रोसेस करते हैं। डीफ्लैग्ड हाइपरग्राफ के लिए हाइपरएज को Z सुधारों को शामिल करने वाले स्टेबलाइजर सिमुलेशन के माध्यम से पाया जा सकता है। मान लीजिए कि r दौर की संख्या है। डीफ्लैगिंग के बाद, Z (क्रमशः X आधार) प्रयोगों के लिए V के सेट का आकार |V| = 6r + 2 (क्रमशः 6r + 4) है, क्योंकि प्रति दौर छह स्टेबलाइजर मापा जाता है और अवस्था तैयारी के बाद दो (क्रमशः चार) प्रारंभिक त्रुटि-संवेदनशील स्टेबलाइजर होते हैं। E का आकार भी इसी तरह |E| = 60r - 13 (क्रमशः 60r - 1) है, r > 0 के लिए। X और Z त्रुटियों को अलग-अलग मानते हुए, सतह कोड के लिए न्यूनतम वजन त्रुटि सुधार खोजने की समस्या को एक ग्राफ [^4] में न्यूनतम वजन पूर्ण मिलान खोजने की समस्या तक कम किया जा सकता है। मिलान डिकोडर उनकी व्यावहारिकता [^27] और व्यापक प्रयोज्यता [^28], [^29] के कारण अध्ययन किए जाते रहे हैं। इस अनुभाग में, हम अपने दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड के लिए मिलान डिकोडर का वर्णन करते हैं। डिकोडिंग ग्राफ, X-त्रुटियों (चित्र 1c) के लिए एक और Z-त्रुटियों (चित्र 1d) के लिए एक, न्यूनतम वजन पूर्ण मिलान के लिए वास्तव में पिछले अनुभाग में डिकोडिंग हाइपरग्राफ के उप-ग्राफ़ हैं। आइए यहां X-त्रुटियों को ठीक करने के लिए ग्राफ पर ध्यान केंद्रित करें, क्योंकि Z-त्रुटि ग्राफ समान है। इस मामले में, डिकोडिंग हाइपरग्राफ से हम (बाद के मापों के अंतर) Z-स्टेबलाइजर मापों के अनुरूप नोड्स VZ और उनके बीच किनारों (यानी, आकार दो के हाइपरएज) को रखते हैं। इसके अतिरिक्त, एक सीमावर्ती वर्टेक्स b बनाया गया है, और {v} आकार-एक हाइपरएज जैसे v ∈ VZ को {v, b} किनारों को शामिल करके दर्शाया गया है। X-त्रुटि ग्राफ में सभी किनारों को उनके संबंधित हाइपरएज से संभाव्यता और तार्किक लेबल विरासत में मिलते हैं (2-दौर प्रयोग के लिए X और Z-त्रुटि किनारे डेटा के लिए तालिका 1 देखें)। एक पूर्ण मिलान एल्गोरिथम भारित किनारों वाले ग्राफ और हाइलाइट किए गए नोड्स के एक सम-आकार सेट को लेता है, और ग्राफ में किनारों का एक सेट लौटाता है जो सभी हाइलाइट किए गए नोड्स को जोड़े में जोड़ता है और सभी ऐसे किनारों सेटों के बीच न्यूनतम कुल भार होता है। हमारे मामले में, हाइलाइट किए गए नोड्स गैर-तुच्छ त्रुटि-संवेदनशील घटनाएँ हैं (यदि एक विषम संख्या है, तो सीमावर्ती नोड भी हाइलाइट किया गया है), और किनारे का भार या तो एक (समान विधि) पर चुना जाता है या log(pe) के रूप में निर्धारित किया जाता है, जहां pe किनारे की संभाव्यता है (विश्लेषणात्मक विधि)। बाद वाला विकल्प का मतलब है कि एक किनारे सेट का कुल भार उस सेट की लॉग-संभावना के बराबर है, और न्यूनतम वजन पूर्ण मिलान ग्राफ में किनारों पर इस संभावना को अधिकतम करने का प्रयास करता है। न्यूनतम वजन पूर्ण मिलान को देखते हुए, कोई भी मिलान में किनारों के तार्किक लेबल का उपयोग तार्किक स्थिति में सुधार पर निर्णय लेने के लिए कर सकता है। वैकल्पिक रूप से, मिलान डिकोडर के लिए X-त्रुटि (Z-त्रुटि) ग्राफ ऐसा है कि प्रत्येक किनारे को एक कोड क्यूबिट (या माप त्रुटि) से जोड़ा जा सकता है, जैसे कि मिलान में एक किनारे को शामिल करने का मतलब संबंधित क्यूबिट पर एक X (Z) सुधार लागू किया जाना है। अधिकतम संभावना डिकोडिंग (MLD) क्वांटम एरर-करेक्शन कोड को डीकोड करने के लिए एक इष्टतम, यद्यपि गैर-स्केलेबल, विधि है। इसकी मूल अवधारणा में, MLD को फेनोमेनोलॉजिकल शोर मॉडल पर लागू किया गया था जहां त्रुटियां केवल सिंड्रोम मापे जाने से ठीक पहले होती हैं [^24], [^30]। यह निश्चित रूप से अधिक यथार्थवादी मामले को अनदेखा करता है जहां त्रुटियां सिंड्रोम माप सर्किट्री के माध्यम से प्रचारित हो सकती हैं। हाल ही में, MLD को सर्किट शोर [^23], [^31] को शामिल करने के लिए बढ़ाया गया है। यहां, हम वर्णन करते हैं कि MLD डिकोडिंग हाइपरग्राफ का उपयोग करके सर्किट शोर को कैसे ठीक करता है। MLD त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं के अवलोकन को देखते हुए सबसे संभावित तार्किक सुधार का अनुमान लगाता है। यह प्रायिकता वितरण Pr[β, γ] की गणना करके किया जाता है, जहां β त्रुटि-संवेदनशील घटनाओं का प्रतिनिधित्व करता है और γ एक तार्किक सुधार का प्रतिनिधित्व करता है। हम Pr[β, γ] की गणना डिकोडिंग हाइपरग्राफ, चित्र 1c-f, से हर हाइपरएज को शामिल करके कर सकते हैं, जो शून्य-त्रुटि वितरण से शुरू होता है, अर्थात, Pr[0^|V|, 0^(2^k)] = 1। यदि हाइपरएज h में संभाव्यता ph होती है, जो अन्य हाइपरएज से स्वतंत्र होती है, तो हम अपडेट करके h को शामिल करते हैं जहां βh केवल हाइपरएज का एक बाइनरी वेक्टर प्रतिनिधित्व है। यह अपडेट E में प्रत्येक हाइपरएज के लिए एक बार लागू किया जाना चाहिए। एक बार Pr[β, γ] की गणना हो जाने के बाद, हम सर्वोत्तम तार्किक सुधार का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं। यदि प्रयोग के एक रन में β* देखा जाता है, माप के तार्किक ऑपरेटरों को कैसे ठीक किया जाना चाहिए, यह इंगित करता है। विशिष्ट MLD कार्यान्वयन पर अधिक विवरण के लिए, विधि "अधिकतम संभावना कार्यान्वयन" देखें। प्रयोगात्मक अहसास इस प्रदर्शन के लिए हम ibm_peekskill v2.0.0 का उपयोग करते हैं, जो 27 क्यूबिट वाला IBM Quantum Falcon प्रोसेसर है [^32] जिसका कपलिंग मैप दूरी-3 भारी-षट्कोणीय कोड को सक्षम बनाता है, चित्र 1 देखें। क्यूबिट माप और बाद के वास्तविक समय सशर्त रीसेट का कुल समय, प्रत्येक दौर के लिए, 768ns है और सभी क्यूबिट्स के लिए समान है। बेहतर प्रदर्शन के लिए सभी सिंड्रोम माप और रीसेट एक साथ होते हैं। कोड क्यूबिट्स पर उनके संबंधित आइडलिंग अवधियों के दौरान एक साधारण Xπ-Xπ गतिशील डिकोडिंग अनुक्रम जोड़ा जाता है। क्यूबिट रिसाव वह महत्वपूर्ण कारण है कि डिकोडर डिजाइन द्वारा माना गया पाउली डिपोलाइजिंग त्रुटि मॉडल गलत हो सकता है। कुछ मामलों में, हम माप के समय यह पता लगा सकते हैं कि क्या कोई क्यूबिट गणना सबस्पेस से बाहर निकल गया है (पोस्ट-चयन विधि और सीमाओं पर अधिक जानकारी के लिए विधि "पोस्ट-चयन विधि" देखें)। इसका उपयोग करके, हम प्रयोग के उन रनों पर पोस्ट-चयन कर सकते हैं जब रिसाव का पता नहीं चला है, संदर्भ [^18] के समान। चित्र 2a में, हम तार्किक अवस्था |0⟩ () को इनिशियलाइज़ करते हैं, और r सिंड्रोम माप दौर लागू करते हैं, जहाँ एक दौर में X और Z दोनों स्टेबलाइजर्स शामिल होते हैं (लगभग 5.3μs प्रति दौर का कुल समय, चित्र 1b)। रॉ डेटा (500,000 शॉट्स प्रति रन) पर विश्लेषणात्मक परफेक्ट मैचिंग डिकोडिंग का उपयोग करके, हम चित्र 2a, लाल (नीला) त्रिकोण में तार्किक त्रुटियों को निकालते हैं। विश्लेषणात्मक परफेक्ट मैचिंग डिकोडिंग में उपयोग किए गए अनुकूलित मापदंडों का विवरण विधि "IBM_Peekskill और प्रयोगात्मक विवरण" में पाया जा सकता है। पूर्ण क्षय वक्रों (समीकरण (14)) को 10 दौर तक फिट करके, हम चित्र 2b में 0.059(2) (0.058(3)) Z () और 0.113(5) (0.107(4)) X () के लिए बिना पोस्ट-चयन के प्रति दौर तार्किक त्रुटि निकालते हैं। सिंड्रोम माप दौर r की संख्या बनाम तार्किक त्रुटि, जहाँ एक दौर में Z और X दोनों स्टेबलाइजर माप शामिल होते हैं। नीले दाएँ-बिंदु त्रिकोण (लाल त्रिकोण) Z (|0⟩) अवस्थाओं के लिए भारी-षट्कोणीय कोड में |0⟩ () अवस्थाओं के लिए और |+⟩ () अवस्थाओं के लिए समान डिकोडिंग विधि का उपयोग करके, लेकिन लीकेज-पोस्ट-सिलेक्टेड प्रयोगात्मक डेटा का उपयोग करके, Z (|0⟩) अवस्थाओं और |+⟩ () अवस्थाओं के लिए, कच्ची प्रयोगात्मक डेटा के लिए विश्लेषणात्मक मिलान डिकोडिंग का उपयोग करके प्राप्त तार्किक त्रुटियों को चिह्नित करते हैं। त्रुटि बार प्रत्येक रन की नमूना त्रुटि दर्शाते हैं (कच्चे डेटा के लिए 500,000 शॉट्स, पोस्ट-सिलेक्टेड के लिए चर संख्या में शॉट्स)। धराशायी रेखा फिटिंग त्रुटि प्रति दौर दर्शाती है जो में प्लॉट की गई है। लीकेज-पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा पर समान डिकोडिंग विधि लागू करने से, सभी चार तार्किक अवस्थाओं के लिए समग्र त्रुटि में काफी कमी आती है। पोस्ट-चयन विधि में विवरण के लिए विधि "पोस्ट-चयन विधि" देखें। Z, X, Y, और I के लिए प्रति दौर अस्वीकृति दर 4.91%, 4.64%, 4.37%, और 4.89% है, क्रमशः। त्रुटि बार फिट दर पर एक मानक विचलन दर्शाते हैं। , पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा का उपयोग करके, हम चार डिकोडर के साथ प्राप्त तार्किक त्रुटि की तुलना करते हैं: मिलान समान (गुलाबी वृत्त), मिलान विश्लेषणात्मक (हरा वृत्त), मिलान विश्लेषणात्मक नरम जानकारी के साथ (ग्रे वृत्त), और अधिकतम संभावना (नीला वृत्त)। (Z और X अवस्थाओं के लिए चित्र 6 देखें)। , में प्रस्तुत धराशायी फिट दरें। त्रुटि बार नमूना त्रुटि दर्शाते हैं। , लीकेज-पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा पर चार तार्किक अवस्थाओं के लिए प्रति दौर फिट त्रुटि की तुलना, मिलान समान (गुलाबी), मिलान विश्लेषणात्मक (हरा), मिलान विश्लेषणात्मक नरम जानकारी के साथ (ग्रे), और अधिकतम संभावना (नीला) डिकोडर का उपयोग करके। त्रुटि बार फिट दर पर एक मानक विचलन दर्शाते हैं। a b b c d e f e f लीकेज-पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा पर समान डिकोडिंग विधि लागू करने से चित्र 2a में तार्किक त्रुटियां कम हो जाती हैं, और चित्र 2b में दिखाए गए अनुसार Z () और X () के लिए क्रमशः 0.041(1) (0.044(4)) और 0.088(3) (0.085(3)) की फिट त्रुटि दरें प्राप्त होती हैं। पोस्ट-चयन से प्रति दौर अस्वीकृति दरें Z, X, Y, और I के लिए क्रमशः 4.91%, 4.64%, 4.37%, और 4.89% हैं। विवरण के लिए विधि "पोस्ट-चयन विधि" देखें। चित्र 2c-f में, हम खंड "डिकोडिंग एल्गोरिदम" में पहले वर्णित तीन डिकोडर का उपयोग करके पोस्ट-सिलेक्टेड डेटा सेट से प्रत्येक दौर के लिए तार्किक त्रुटि और निकाली गई तार्किक त्रुटि प्रति दौर की तुलना करते हैं। हम नरम जानकारी [^33] का फायदा उठाने वाले विश्लेषणात्मक डिकोडर का एक संस्करण भी शामिल करते हैं, जिसे विधि "नरम-सूचना डिकोडिंग" में वर्णित किया गया है। हम (चित्र 2e, f देखें) मिलान समान (गुलाबी), मिलान विश्लेषणात्मक (हरा), नरम जानकारी के साथ मिलान विश्लेषणात्मक, से अधिकतम संभावना (ग्रे) तक डिकोडिंग में एक सुसंगत सुधार देखते हैं, हालांकि यह Z-आधारित तार्किक अवस्थाओं के लिए बहुत कम महत्वपूर्ण है। सभी चार तार्किक अवस्थाओं के लिए r = 2 दौरों पर तीन डिकोडर के बीच एक मात्रात्मक तुलना विधि "r = 2 दौरों पर तार्किक त्रुटि" में प्रदान की गई है। Z-आधारित अवस्थाओं की तुलना में X-आधारित अवस्थाएँ खराब प्रदर्शन करने के कम से कम तीन कारण हैं। पहला सर्किट में प्राकृतिक विषमता है। Z स्टेबलाइजर्स को मापने के लिए आवश्यक बड़ी गहराई डेटा क्यूबिट्स पर Z त्रुटियों को बिना पता चले जमा होने के लिए अधिक समय देती है। यह सिमुलेशन द्वारा समर्थित है, जैसे कि [^1] में, जो एक अलग डिकोडर का उपयोग करता है, और यहां विधि "सिमुलेशन विवरण" में, जो इस d = 3 कोड के लिए X-आधार के खराब प्रदर्शन को देखते हैं। दूसरा, डिकोडिंग में किए गए विकल्प, विशेष रूप से डीफ्लैगिंग चरण, माप और रीसेट त्रुटियों को डेटा क्यूबिट्स पर Z त्रुटियों में परिवर्तित करके विषमता को बढ़ा सकते हैं। इससे एक उच्च प्रभावी Z-त्रुटि दर होती है जिसे अधिकतम संभावना डिकोडिंग द्वारा भी बहुत सुधार नहीं किया जा सकता है। इसके विपरीत, यदि हम केवल मापों के पहले दौर को डीफ्लैग करते हैं, तो r = 2 दौर, Z () प्रयोग पर अधिकतम संभावना डिकोडर की तार्किक त्रुटि 2.8% से 18.02(7)% तक कम हो जाती है। इस तरह डीफ्लैगिंग बड़े दौर की गिनती के लिए समय लेने वाली हो जाती है क्योंकि डिकोडिंग हाइपरग्राफ में फ़्लैग नोड्स जोड़ने से इसका आकार बहुत बढ़ जाता है। अंत में, डिकोडर केवल हमारे प्रयोगात्मक शोर के मॉडल जितने ही अच्छे होते हैं। गैर-डिपोलाइज़िंग शोर स्रोत जैसे कि दर्शक ZZ त्रुटियाँ, जिनके बारे में हम जानते हैं कि वे मौजूद हैं, हमारे किसी भी डिकोडर द्वारा मॉडल नहीं किए गए हैं और X-आधार अवस्थाओं को अधिक प्रतिकूल रूप से प्रभावित करेंगे। इस
