Συγγραφείς: Neereja Sundaresan Theodore J. Yoder Youngseok Kim Muyuan Li Edward H. Chen Grace Harper Ted Thorbeck Andrew W. Cross Antonio D. Córcoles Maika Takita Περίληψη Η διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων προσφέρει μια πολλά υποσχόμενη διαδρομή για την εκτέλεση κβαντικών υπολογισμών υψηλής πιστότητας. Αν και η πλήρης ανεκτική στα σφάλματα εκτέλεση αλγορίθμων παραμένει μη υλοποιημένη, πρόσφατες βελτιώσεις στα ηλεκτρονικά ελέγχου και στο κβαντικό υλικό επιτρέπουν ολοένα και πιο προηγμένες επιδείξεις των απαραίτητων λειτουργιών για τη διόρθωση σφαλμάτων. Εδώ, εκτελούμε διόρθωση κβαντικών σφαλμάτων σε υπεραγώγιμα qubit που συνδέονται σε ένα πλέγμα βαρέος εξαγώνου. Κωδικοποιούμε ένα λογικό qubit με απόσταση τρία και εκτελούμε πολλαπλούς γύρους ανεκτικών στα σφάλματα μετρήσεων συνδρόμου που επιτρέπουν τη διόρθωση οποιουδήποτε μοναδικού σφάλματος στην κυκλωματική διάταξη. Χρησιμοποιώντας ανατροφοδότηση σε πραγματικό χρόνο, επαναφέρουμε τα qubit συνδρόμου και σημαίας υπό συνθήκη μετά από κάθε κύκλο εξαγωγής συνδρόμου. Αναφέρουμε λογικό σφάλμα εξαρτώμενο από τον αποκωδικοποιητή, με μέσο λογικό σφάλμα ανά μέτρηση συνδρόμου στη βάση Z(X) ~0,040 (~0,088) και ~0,037 (~0,087) για αποκωδικοποιητές αντιστοίχισης και μέγιστης πιθανοφάνειας, αντίστοιχα, σε δεδομένα που έχουν υποστεί φιλτράρισμα διαρροής. Εισαγωγή Τα αποτελέσματα των κβαντικών υπολογισμών μπορεί να είναι εσφαλμένα, στην πράξη, λόγω θορύβου στο υλικό. Για την εξάλειψη των προκυπτόντων σφαλμάτων, οι κώδικες διόρθωσης κβαντικών σφαλμάτων (QEC) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κωδικοποίηση της κβαντικής πληροφορίας σε προστατευμένους, λογικούς βαθμούς ελευθερίας, και στη συνέχεια, διορθώνοντας τα σφάλματα ταχύτερα από ό,τι συσσωρεύονται, επιτρέπουν ανεκτικές στα σφάλματα (FT) υπολογισμούς. Μια πλήρης εκτέλεση της QEC πιθανότατα θα απαιτήσει: προετοιμασία λογικών καταστάσεων. υλοποίηση ενός καθολικού συνόλου λογικών πυλών, που μπορεί να απαιτεί την προετοιμασία μαγικών καταστάσεων· επαναλαμβανόμενες μετρήσεις συνδρόμων· και την αποκωδικοποίηση των συνδρόμων για τη διόρθωση σφαλμάτων. Εάν είναι επιτυχείς, τα προκύπτοντα ποσοστά λογικών σφαλμάτων θα πρέπει να είναι μικρότερα από τα υποκείμενα ποσοστά φυσικών σφαλμάτων και να μειώνονται με την αύξηση των αποστάσεων του κώδικα προς αμελητέες τιμές. Η επιλογή ενός κώδικα QEC απαιτεί την εξέταση του υποκείμενου υλικού και των ιδιοτήτων θορύβου του. Για ένα πλέγμα βαρέος εξαγώνου , qubit, οι κώδικες QEC υποσυστήματος είναι ελκυστικοί επειδή είναι κατάλληλοι για qubit με μειωμένες συνδεσιμότητες. Άλλοι κώδικες έχουν δείξει υποσχέσεις λόγω του σχετικά υψηλού ορίου τους για FT ή μεγάλου αριθμού εγκάρσιων λογικών πυλών . Αν και το χωρικό και χρονικό τους κόστος μπορεί να αποτελέσει σημαντικό εμπόδιο για την κλιμάκωση, υπάρχουν ενθαρρυντικές προσεγγίσεις για τη μείωση των πιο δαπανηρών πόρων εκμεταλλευόμενοι κάποια μορφή μετριασμού σφαλμάτων . 1 2 3 4 5 6 Στη διαδικασία αποκωδικοποίησης, η επιτυχής διόρθωση εξαρτάται όχι μόνο από την απόδοση του κβαντικού υλικού, αλλά και από την υλοποίηση των ηλεκτρονικών ελέγχου που χρησιμοποιούνται για τη λήψη και επεξεργασία των κλασικών πληροφοριών που λαμβάνονται από τις μετρήσεις συνδρόμου. Στην περίπτωσή μας, η αρχικοποίηση τόσο των qubit συνδρόμου όσο και των qubit σημαίας μέσω ανατροφοδότησης σε πραγματικό χρόνο μεταξύ των κύκλων μέτρησης μπορεί να βοηθήσει στον μετριασμό των σφαλμάτων. Σε επίπεδο αποκωδικοποίησης, ενώ υπάρχουν ορισμένα πρωτόκολλα για την ασύγχρονη εκτέλεση QEC εντός ενός πλαισίου FT , , ο ρυθμός με τον οποίο λαμβάνονται τα συμπτώματα σφάλματος θα πρέπει να είναι ανάλογος με τον χρόνο κλασικής επεξεργασίας τους για να αποφευχθεί αυξανόμενο υπόλοιπο δεδομένων συνδρόμου. Επίσης, ορισμένα πρωτόκολλα, όπως η χρήση μαγικής κατάστασης για μια λογική πύλη T , απαιτούν την εφαρμογή τροφοδοσίας σε πραγματικό χρόνο. 7 8 9 Έτσι, το μακροπρόθεσμο όραμα της QEC δεν εστιάζει σε έναν μοναδικό τελικό στόχο, αλλά θα πρέπει να θεωρείται ως ένα συνεχές βαθιά αλληλένδετων εργασιών. Η πειραματική πορεία στην ανάπτυξη αυτής της τεχνολογίας θα περιλαμβάνει την επίδειξη αυτών των εργασιών αρχικά απομονωμένα και στη συνέχεια την προοδευτική τους συνδυασμό, πάντα ενώ βελτιώνονται συνεχώς οι σχετικοί δείκτες τους. Κάποια από αυτή την πρόοδο αντικατοπτρίζεται σε πολυάριθμες πρόσφατες εξελίξεις σε κβαντικά συστήματα σε διάφορες φυσικές πλατφόρμες, οι οποίες έχουν επιδείξει ή προσεγγίσει διάφορες πτυχές των επιθυμητών για την FT κβαντική υπολογιστική. Συγκεκριμένα, η προετοιμασία λογικών καταστάσεων FT έχει επιδειχθεί σε ιόντα , πυρηνικούς σπιν σε διαμάντι και υπεραγώγιμα qubit . Επαναλαμβανόμενοι κύκλοι εξαγωγής συνδρόμου έχουν επιδειχθεί σε υπεραγώγιμα qubit σε μικρούς κώδικες ανίχνευσης σφαλμάτων , , συμπεριλαμβανομένης της μερικής διόρθωσης σφαλμάτων καθώς και ένα καθολικό (αν και όχι FT) σύνολο πυλών ενός qubit . Μια επίδειξη FT ενός καθολικού συνόλου πυλών σε δύο λογικά qubit έχει αναφερθεί πρόσφατα σε ιόντα . Στο πεδίο της διόρθωσης σφαλμάτων, έχουν υπάρξει πρόσφατες υλοποιήσεις του κώδικα επιφανείας απόστασης-3 σε υπεραγώγιμα qubit με αποκωδικοποίηση και μετα-επιλογή , καθώς και μια υλοποίηση FT κβαντικής μνήμης δυναμικά προστατευμένης χρησιμοποιώντας τον κώδικα χρώματος και η FT προετοιμασία κατάστασης, λειτουργία και μέτρηση, συμπεριλαμβανομένων των σταθεροποιητών της, μιας λογικής κατάστασης στον κώδικα Bacon-Shor σε ιόντα , . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 Εδώ συνδυάζουμε την ικανότητα ανατροφοδότησης σε πραγματικό χρόνο σε ένα σύστημα υπεραγώγιμων qubit με ένα πρωτόκολλο αποκωδικοποίησης μέγιστης πιθανοφάνειας που δεν έχει εξερευνηθεί μέχρι σήμερα πειραματικά, προκειμένου να βελτιωθεί η επιβιωσιμότητα των λογικών καταστάσεων. Επιδεικνύουμε αυτά τα εργαλεία ως μέρος της λειτουργίας FT ενός κώδικα υποσυστήματος , του κώδικα βαρέος εξαγώνου , σε έναν υπεραγώγιμο κβαντικό επεξεργαστή. Απαραίτητα για να καταστήσουμε την υλοποίησή μας αυτού του κώδικα ανεκτική στα σφάλματα είναι τα qubit σημαίας που, όταν βρεθούν μη μηδενικά, ειδοποιούν τον αποκωδικοποιητή για σφάλματα κυκλώματος. Με την υπό συνθήκη επαναφορά των qubit σημαίας και συνδρόμου μετά από κάθε κύκλο μέτρησης συνδρόμου, προστατεύουμε το σύστημά μας από σφάλματα που προκύπτουν από την ασυμμετρία θορύβου που είναι εγγενής στη χαλάρωση ενέργειας. Εκμεταλλευόμαστε περαιτέρω πρόσφατα περιγραφόμενες στρατηγικές αποκωδικοποίησης και επεκτείνουμε τις ιδέες αποκωδικοποίησης για να συμπεριλάβουμε έννοιες μέγιστης πιθανοφάνειας , , . 22 1 15 4 23 24 Αποτελέσματα Ο κώδικας βαρέος εξαγώνου και τα κυκλώματα πολλαπλών γύρων Ο κώδικας βαρέος εξαγώνου που εξετάζουμε είναι ένας κώδικας n = 9 qubit που κωδικοποιεί k = 1 λογικό qubit με απόσταση d = 3 . Οι ομάδες βαθμονόμησης Z και X (βλ. Εικ. 1α) και οι ομάδες σταθεροποιητών παράγονται από 1 Οι ομάδες σταθεροποιητών S είναι τα κέντρα των αντίστοιχων ομάδων βαθμονόμησης G. Αυτό σημαίνει ότι οι σταθεροποιητές, ως γινόμενα τελεστών βαθμονόμησης, μπορούν να συναχθούν από μετρήσεις μόνο των τελεστών βαθμονόμησης. Οι λογικοί τελεστές μπορούν να επιλεγούν ως XL = X1X2X3 και ZL = Z1Z3Z7. Τελεστές βαθμονόμησης Z (μπλε) και X (κόκκινο) (εξισώσεις (1) και (2)) χαρτογραφημένοι στα 23 qubit που απαιτούνται με τον κώδικα βαρέος εξαγώνου απόστασης-3. Τα qubit του κώδικα (Q1−Q9) εμφανίζονται κίτρινα, τα qubit συνδρόμου (Q17, Q19, Q20, Q22) που χρησιμοποιούνται για σταθεροποιητές Z σε μπλε, και τα qubit σημαίας και οι σύνδρομοι που χρησιμοποιούνται σε σταθεροποιητές X σε λευκό. Η σειρά και η κατεύθυνση των πυλών CX που εφαρμόζονται εντός κάθε υποενότητας (0 έως 4) υποδηλώνονται από τους αριθμημένους βέλη. Διάγραμμα κυκλώματος ενός γύρου μέτρησης συνδρόμου, που περιλαμβάνει τόσο σταθεροποιητές X όσο και Z. Το διάγραμμα κυκλώματος απεικονίζει την επιτρεπόμενη παραλληλοποίηση των λειτουργιών πύλης: αυτές που βρίσκονται εντός των ορίων που ορίζονται από τα φράγματα χρονοπρογραμματισμού (κάθετες διακεκομμένες γκρι γραμμές). Καθώς η διάρκεια κάθε πύλης δύο qubit διαφέρει, ο τελικός χρονοπρογραμματισμός πύλης καθορίζεται με μια τυπική διέλευση μεταγλώττισης κυκλώματος "όσο το δυνατόν αργότερα"· μετά από αυτό, προστίθεται δυναμική απόσβεση στα qubit δεδομένων όπου ο χρόνος το επιτρέπει. Οι λειτουργίες μέτρησης και επαναφοράς απομονώνονται από άλλες λειτουργίες πύλης με φράγματα για να επιτραπεί η προσθήκη ομοιόμορφης δυναμικής απόσβεσης στα αδρανή qubit δεδομένων. Γραφήματα αποκωδικοποίησης για τρεις γύρους μετρήσεων σταθεροποιητών ( ) Z και ( ) X με θόρυβο επιπέδου κυκλώματος επιτρέπουν τη διόρθωση σφαλμάτων X και Z, αντίστοιχα. Οι μπλε και κόκκινες κόμβοι στα γραφήματα αντιστοιχούν σε διαφορικούς συνδρόμους, ενώ οι μαύρες κόμβοι είναι τα όρια. Οι ακμές κωδικοποιούν διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορούν να προκύψουν σφάλματα στο κύκλωμα, όπως περιγράφεται στο κείμενο. Οι κόμβοι φέρουν ετικέτες με τον τύπο μέτρησης του σταθεροποιητή (Z ή X), μαζί με έναν δείκτη που υποδηλώνει τον σταθεροποιητή, και εκθέτες που δηλώνουν τον γύρο. Μαύρες ακμές, που προκύπτουν από σφάλματα Pauli Y στα qubit του κώδικα (και επομένως είναι μόνο μεγέθους 2), συνδέουν τα δύο γραφήματα στα και , αλλά δεν χρησιμοποιούνται στον αποκωδικοποιητή αντιστοίχισης. Οι υπερα ακμές μεγέθους 4, οι οποίες δεν χρησιμοποιούνται από την αντιστοίχιση, αλλά χρησιμοποιούνται στον αποκωδικοποιητή μέγιστης πιθανοφάνειας. Τα χρώματα είναι μόνο για σαφήνεια. Η χρονική μετατόπιση κάθε υπερα ακμής κατά έναν γύρο δίνει επίσης μια έγκυρη υπερα ακμή (με κάποια παραλλαγή στα χρονικά όρια). Επίσης, δεν εμφανίζονται οι υπερα ακμές μεγέθους 3. α β c d e c d f Εδώ εστιάζουμε σε ένα συγκεκριμένο κύκλωμα FT, πολλές από τις τεχνικές μας μπορούν να χρησιμοποιηθούν γενικότερα με διαφορετικούς κώδικες και κυκλώματα. Δύο υπο-κυκλώματα, που εμφανίζονται στην Εικ. 1β, κατασκευάζονται για τη μέτρηση των τελεστών βαθμονόμησης X και Z. Το κύκλωμα μέτρησης βαθμονόμησης Z αποκτά επίσης χρήσιμες πληροφορίες μετρώντας τα qubit σημαίας. Προετοιμάζουμε λογικές καταστάσεις στην κατάσταση |0⟩L (|1⟩L) αρχικά προετοιμάζοντας εννέα qubit στην κατάσταση |+⟩ (|-⟩) και μετρώντας τη βαθμονόμηση X (βαθμονόμηση Z). Στη συνέχεια, εκτελούμε r γύρους μέτρησης συνδρόμου, όπου ένας γύρος περιλαμβάνει μια μέτρηση βαθμονόμησης Z ακολουθούμενη από μια μέτρηση βαθμονόμησης X (αντίστοιχα, μέτρηση βαθμονόμησης X ακολουθούμενη από μέτρηση βαθμονόμησης Z). Τέλος, διαβάζουμε όλα τα εννέα qubit του κώδικα στη βάση Z (X). Εκτελούμε τα ίδια πειράματα για τις αρχικές λογικές καταστάσεις |1⟩L και |-⟩L, επίσης, απλώς αρχικοποιώντας τα εννέα qubit σε |1⟩ και |-⟩ αντίστοιχα. Αλγόριθμοι αποκωδικοποίησης Στο πλαίσιο της κβαντικής υπολογιστικής FT, ένας αποκωδικοποιητής είναι ένας αλγόριθμος που δέχεται ως είσοδο μετρήσεις συνδρόμου από έναν κώδικα διόρθωσης σφαλμάτων και εξάγει μια διόρθωση στα qubit ή στα δεδομένα μέτρησης. Σε αυτή την ενότητα περιγράφουμε δύο αλγορίθμους αποκωδικοποίησης: αποκωδικοποίηση τέλειας αντιστοίχισης και αποκωδικοποίηση μέγιστης πιθανοφάνειας. Το υπεργράφημα αποκωδικοποίησης είναι μια συνοπτική περιγραφή των πληροφοριών που συλλέγονται από ένα κύκλωμα FT και καθίστανται διαθέσιμες σε έναν αλγόριθμο αποκωδικοποίησης. Αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών, ή γεγονότα ευαίσθητα σε σφάλματα, V, και ένα σύνολο υπερα ακμών E, οι οποίες κωδικοποιούν τις συσχετίσεις μεταξύ γεγονότων που προκαλούνται από σφάλματα στο κύκλωμα. Η Εικ. 1γ-στ απεικονίζει μέρη του υπεργραφήματος αποκωδικοποίησης για το πείραμά μας. 15 Η κατασκευή ενός υπεργραφήματος αποκωδικοποίησης για κυκλώματα σταθεροποιητών με θόρυβο Pauli μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τυπικές προσομοιώσεις Gottesman-Knill ή παρόμοιες τεχνικές ιχνηλάτησης Pauli . Πρώτον, δημιουργείται ένα γεγονός ευαίσθητο σε σφάλματα για κάθε μέτρηση που είναι ντετερμινιστική στο κύκλωμα χωρίς σφάλματα. Μια ντετερμινιστική μέτρηση M είναι οποιαδήποτε μέτρηση της οποίας το αποτέλεσμα m ∈ {0, 1} μπορεί να προβλεφθεί προσθέτοντας modulo δύο τα αποτελέσματα μέτρησης από ένα σύνολο προηγούμενων μετρήσεων S. Δηλαδή, για ένα κύκλωμα χωρίς σφάλματα, m = ∑s∈Sms(mod2), όπου το σύνολο S μπορεί να βρεθεί με προσομοίωση του κυκλώματος. Ορίστε την τιμή του γεγονότος ευαίσθητου σε σφάλματα σε m − FM(mod2), η οποία είναι μηδέν (ονομάζεται επίσης τετριμμένη) απουσία σφαλμάτων. Έτσι, η παρατήρηση ενός μη μηδενικού (ονομάζεται επίσης μη τετριμμένου) γεγονότος ευαίσθητου σε σφάλματα υποδηλώνει ότι το κύκλωμα υπέστη τουλάχιστον ένα σφάλμα. Στα κυκλώματά μας, τα γεγονότα ευαίσθητα σε σφάλματα είναι είτε μετρήσεις qubit σημαίας είτε η διαφορά διαδοχικών μετρήσεων του ίδιου σταθεροποιητή (ονομάζεται επίσης διαφορικοί σύνδρομοι). 25 26 Στη συνέχεια, προστίθενται υπερα ακμές εξετάζοντας σφάλματα κυκλώματος. Το μοντέλο μας περιέχει μια πιθανότητα σφάλματος pC για κάθε ένα από διάφορα στοιχεία κυκλώματος Εδώ διακρίνουμε την ταυτοτική λειτουργία id σε qubit κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου που άλλα qubit υφίστανται μοναδιαίες πύλες, από τη λειτουργία ταυτότητας idm σε qubit όταν άλλα υφίστανται μέτρηση και επαναφορά. Επαναφέρουμε τα qubit μετά τη μέτρησή τους, ενώ αρχικοποιούμε qubit που δεν έχουν χρησιμοποιηθεί ακόμη στο πείραμα. Τέλος, το cx είναι η ελεγχόμενη-όχι πύλη, το h είναι η πύλη Hadamard, και τα x, y, z είναι πύλες Pauli. (βλ. Μέθοδοι “IBM_Peekskill και πειραματικές λεπτομέρειες” για περισσότερες λεπτομέρειες). Οι αριθμητικές τιμές για pC παρατίθενται στις Μεθόδους “IBM_Peekskill και πειραματικές λεπτομέρειες”. Το μοντέλο σφάλματος μας είναι ο θόρυβος αποπολωτικοποίησης κυκλώματος. Για σφάλματα αρχικοποίησης και επαναφοράς, εφαρμόζεται ένα Pauli X με τις αντίστοιχες πιθανότητες pinit και preset μετά την ιδανική προετοιμασία κατάστασης. Για σφάλματα μέτρησης, εφαρμόζεται ένα Pauli X με πιθανότητα pM πριν από την ιδανική μέτρηση. Μια μοναδιαία πύλη (πύλη δύο qubit) C υφίσταται με πιθανότητα pC ένα από τα τρία (δεκαπέντε) μη-ταυτοτικά σφάλματα Pauli μετά την ιδανική πύλη. Υπάρχει ίση πιθανότητα εμφάνισης οποιουδήποτε από τα τρία (δεκαπέντε) σφάλματα Pauli. Όταν συμβαίνει ένα μοναδικό σφάλμα στο κύκλωμα, προκαλεί σε ένα υποσύνολο γεγονότων ευαίσθητων σε σφάλματα να γίνουν μη τετριμμένα. Αυτό το σύνολο γεγονότων ευαίσθητων σε σφάλματα γίνεται μια υπερα ακμή. Το σύνολο όλων των υπερα ακμών είναι E. Δύο διαφορετικά σφάλματα μπορεί να οδηγήσουν στην ίδια υπερα ακμή, έτσι κάθε υπερα ακμή μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει ένα σύνολο σφαλμάτων, καθένα από τα οποία προκαλεί μεμονωμένα τα γεγονότα στην υπερα ακμή να είναι μη τετριμμένα. Συνδεδεμένη με κάθε υπερα ακμή υπάρχει μια πιθανότητα, η οποία, στην πρώτη τάξη, είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των σφαλμάτων στο σύνολο. Ένα σφάλμα μπορεί επίσης να οδηγήσει σε ένα σφάλμα που, όταν διαδοθεί μέχρι το τέλος του κυκλώματος, αντιμετατίθεται με έναν ή περισσότερους από τους λογικούς τελεστές του κώδικα, απαιτώντας λογική διόρθωση. Υποθέτουμε για γενικότητα ότι ο κώδικας έχει k λογικά qubit και μια βάση 2k λογικών τελεστών, αλλά σημειώνουμε ότι k=1 για τον κώδικα βαρέος εξαγώνου που χρησιμοποιείται στο πείραμα. Μπορούμε να παρακολουθούμε ποιοι λογικοί τελεστές αντιμετατίθενται με το σφάλμα χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα από {0,1}2k. Έτσι, κάθε υπερα ακμή h είναι επίσης επισημασμένη με ένα από αυτά τα διανύσματα l(h) ∈ {0,1}2k, που ονομάζεται λογική ετικέτα. Σημειώστε ότι εάν ο κώδικας έχει απόσταση τουλάχιστον τρία, κάθε υπερα ακμή έχει μια μοναδική λογική ετικέτα. Τέλος, σημειώνουμε ότι ένας αλγόριθμος αποκωδικοποίησης μπορεί να επιλέξει να απλοποιήσει το υπεργράφημα αποκωδικοποίησης με διάφορους τρόπους. Ένας τρόπος που πάντα εφαρμόζουμε εδώ είναι η διαδικασία της αφαίρεσης σημαιών. Οι μετρήσεις σημαιών από τα qubit 16, 18, 21, 23 απλώς αγνοούνται χωρίς εφαρμογή διορθώσεων. Εάν η σημαία 11 είναι μη τετριμμένη και η 12 τετριμμένη, εφαρμόστε Z στο 2. Εάν η 12 είναι μη τετριμμένη και η 11 τετριμμένη, εφαρμόστε Z στο qubit 6. Εάν η σημαία 13 είναι μη τετριμμένη και η 14 τετριμμένη, εφαρμόστε Z στο qubit 4. Εάν η 14 είναι μη τετριμμένη και η 13 τετριμμένη, εφαρμόστε Z στο qubit 8. Βλ. αναφ. 15 για λεπτομέρειες σχετικά με το γιατί αυτό είναι επαρκές για την ανεκτικότητα στα σφάλματα. Αυτό σημαίνει ότι αντί να συμπεριλάβουμε απευθείας γεγονότα ευαίσθητα σε σφάλματα από τις μετρήσεις qubit σημαίας, προεπεξεργαζόμαστε τα δεδομένα χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες σημαίας για να εφαρμόσουμε εικονικές διορθώσεις Pauli Z και να προσαρμόσουμε αναλόγως τα επόμενα γεγονότα ευαίσθητα σε σφάλματα. Οι υπερα ακμές για το υπεργράφημα χωρίς σημαίες μπορούν να βρεθούν μέσω προσομοίωσης σταθεροποιητών που ενσωματώνει τις διορθώσεις Z. Έστω r ο αριθμός των γύρων. Μετά την αφαίρεση σημαιών, το μέγεθος του συνόλου V για πειράματα βάσης Z (αντίστοιχα X) είναι |V| = 6r + 2 (αντίστοιχα 6r + 4), λόγω της μέτρησης έξι σταθεροποιητών ανά γύρο και της ύπαρξης δύο (αντίστοιχα τεσσάρων) αρχικών σταθεροποιητών ευαίσθητων σε σφάλματα μετά την προετοιμασία κατάστασης. Το μέγεθος του E είναι ομοίως |E| = 60r − 13 (αντίστοιχα 60r − 1) για r > 0. Εξετάζοντας ξεχωριστά τα σφάλματα X και Z, το πρόβλημα της εύρεσης μιας διόρθωσης ελάχιστου βάρους για τον κώδικα επιφανείας μπορεί να αναχθεί στην εύρεση τέλειας αντιστοίχισης ελάχιστου βάρους σε ένα γράφημα . Οι αποκωδικοποιητές αντιστοίχισης συνεχίζουν να μελετώνται λόγω της πρακτικότητάς τους και της ευρείας εφαρμοσιμότητάς τους , . Σε αυτή την ενότητα, περιγράφουμε τον αποκωδικοποιητή αντιστοίχισης για τον κώδικα βαρέος εξαγώνου απόστασης-3. 4 27 28 29 Τα γραφήματα αποκωδικο
