```html Συγγραφείς: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Περίληψη Η συσσώρευση φυσικών σφαλμάτων , , εμποδίζει την εκτέλεση αλγορίθμων μεγάλης κλίμακας σε τρέχοντες κβαντικούς υπολογιστές. Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων υπόσχεται μια λύση κωδικοποιώντας λογικά qubit σε έναν μεγαλύτερο αριθμό φυσικών qubit, έτσι ώστε τα φυσικά σφάλματα να καταστέλλονται αρκετά ώστε να επιτρέπουν την εκτέλεση μιας επιθυμητής υπολογικής με ανεκτή πιστότητα. Η κβαντική διόρθωση σφαλμάτων γίνεται πρακτικά εφικτή μόλις το ποσοστό φυσικού σφάλματος είναι κάτω από μια τιμή κατωφλίου που εξαρτάται από την επιλογή του κβαντικού κώδικα, του κυκλώματος μέτρησης συνδρόμου και του αλγορίθμου αποκωδικοποίησης . Παρουσιάζουμε ένα ολοκληρωμένο πρωτόκολλο κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων που υλοποιεί μνήμη ανθεκτική σε σφάλματα βάσει μιας οικογένειας κωδίκων χαμηλής πυκνότητας αρνητικής ταυτότητας (LDPC) . Η προσέγγισή μας επιτυγχάνει κατώφλι σφάλματος 0,7% για το τυπικό μοντέλο θορύβου βασισμένο σε κυκλώματα, εφάμιλλη με τον κώδικα επιφάνειας , , , που για 20 χρόνια ήταν ο κορυφαίος κώδικας όσον αφορά το κατώφλι σφάλματος. Ο κύκλος μέτρησης συνδρόμου για έναν κώδικα μήκους- στην οικογένειά μας απαιτεί βοηθητικά qubit και ένα κύκλωμα βάθους 8 με πύλες CNOT, αρχικοποιήσεις qubit και μετρήσεις. Η απαιτούμενη συνδεσιμότητα qubit είναι ένας γράφος βαθμού 6 που αποτελείται από δύο υπο-γραφήματα επιπέδου χωρίς ακμές. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι 12 λογικά qubit μπορούν να διατηρηθούν για σχεδόν 1 εκατομμύριο κύκλους συνδρόμου χρησιμοποιώντας συνολικά 288 φυσικά qubit, υποθέτοντας ποσοστό φυσικού σφάλματος 0,1%, ενώ ο κώδικας επιφάνειας θα απαιτούσε σχεδόν 3.000 φυσικά qubit για να επιτύχει την εν λόγω απόδοση. Τα ευρήματά μας καθιστούν τις επιδείξεις μνήμης κβαντικής ανθεκτικής σε σφάλματα χαμηλού κόστους προσιτές σε κβαντικούς επεξεργαστές κοντινού μέλλοντος. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Κύριο Μέρος Ο κβαντικός υπολογισμός προσέλκυσε την προσοχή λόγω της ικανότητάς του να προσφέρει ασυμπτωτικά ταχύτερες λύσεις σε ένα σύνολο υπολογιστικών προβλημάτων σε σύγκριση με τους καλύτερους γνωστούς κλασικούς αλγορίθμους . Πιστεύεται ότι ένας λειτουργικός κλιμακούμενος κβαντικός υπολογιστής μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων σε τομείς όπως η επιστημονική ανακάλυψη, η έρευνα υλικών, η χημεία και ο σχεδιασμός φαρμάκων, για να αναφέρουμε μερικούς , , , . 5 11 12 13 14 Το κύριο εμπόδιο για την κατασκευή ενός κβαντικού υπολογιστή είναι η ευθραυστότητα της κβαντικής πληροφορίας, λόγω διαφόρων πηγών θορύβου που την επηρεάζουν. Καθώς η απομόνωση ενός κβαντικού υπολογιστή από εξωτερικές επιδράσεις και ο έλεγχός του για την πρόκληση μιας επιθυμητής υπολογισμού έρχονται σε σύγκρουση, ο θόρυβος φαίνεται αναπόφευκτος. Οι πηγές θορύβου περιλαμβάνουν ατέλειες στα qubit, στα υλικά που χρησιμοποιούνται, στον εξοπλισμό ελέγχου, σφάλματα στην προετοιμασία κατάστασης και στη μέτρηση, και μια ποικιλία εξωτερικών παραγόντων που κυμαίνονται από τοπικούς τεχνητούς, όπως παρεμβαλλόμενα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, έως αυτούς που είναι εγγενείς στο Σύμπαν, όπως οι κοσμικές ακτίνες. Βλ. αναφ. για μια σύνοψη. Ενώ ορισμένες πηγές θορύβου μπορούν να εξαλειφθούν με καλύτερο έλεγχο , υλικά και θωράκιση , , , πολλές άλλες πηγές φαίνονται δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να αφαιρεθούν. Το τελευταίο είδος μπορεί να περιλαμβάνει αυθόρμητη και διεγερμένη εκπομπή σε παγιδευμένα ιόντα , , και την αλληλεπίδραση με το λουτρό (φαινόμενο Purcell) σε υπεραγώγιμα κυκλώματα—καλύπτοντας και τις δύο κορυφαίες κβαντικές τεχνολογίες. Έτσι, η διόρθωση σφαλμάτων γίνεται βασική απαίτηση για την κατασκευή ενός λειτουργικού κλιμακούμενου κβαντικού υπολογιστή. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Η δυνατότητα κβαντικής ανθεκτικότητας σε σφάλματα είναι καλά εδραιωμένη . Η κωδικοποίηση ενός λογικού qubit πλεοναστικά σε πολλά φυσικά qubit επιτρέπει τη διάγνωση και διόρθωση σφαλμάτων με επαναλαμβανόμενη μέτρηση συνδρόμων τελεστών αρνητικής ταυτότητας. Ωστόσο, η διόρθωση σφαλμάτων είναι ωφέλιμη μόνο εάν το ποσοστό σφάλματος του υλικού είναι κάτω από μια ορισμένη τιμή κατωφλίου που εξαρτάται από ένα συγκεκριμένο πρωτόκολλο διόρθωσης σφαλμάτων. Οι πρώτες προτάσεις για κβαντική διόρθωση σφαλμάτων, όπως οι συνδυαστικοί κώδικες , , , εστίασαν στην απόδειξη της θεωρητικής δυνατότητας καταστολής σφαλμάτων. Καθώς η κατανόηση της κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων και των δυνατοτήτων των κβαντικών τεχνολογιών ωρίμασε, η εστίαση μετατοπίστηκε στην εύρεση πρακτικών πρωτοκόλλων κβαντικής διόρθωσης σφαλμάτων. Αυτό οδήγησε στην ανάπτυξη του κώδικα επιφάνειας , , , που προσφέρει υψηλό κατώφλι σφάλματος κοντά στο 1%, γρήγορους αλγορίθμους αποκωδικοποίησης και συμβατότητα με τους υπάρχοντες κβαντικούς επεξεργαστές που βασίζονται σε δισδιάστατη (2D) πλεγματοειδή συνδεσιμότητα qubit. Μικρά παραδείγματα του κώδικα επιφάνειας με ένα μόνο λογικό qubit έχουν ήδη επιδειχθεί πειραματικά από διάφορες ομάδες , , , , . Ωστόσο, η κλιμάκωση του κώδικα επιφάνειας σε 100 ή περισσότερα λογικά qubit θα ήταν απαγορευτικά δαπανηρή λόγω της χαμηλής αποδοτικότητας κωδικοποίησής του. Αυτό πυροδότησε ενδιαφέρον για γενικότερους κβαντικούς κώδικες γνωστούς ως κώδικες χαμηλής πυκνότητας αρνητικής ταυτότητας (LDPC) . Η πρόσφατη πρόοδος στη μελέτη των κωδίκων LDPC υποδηλώνει ότι μπορούν να επιτύχουν κβαντική ανθεκτικότητα σε σφάλματα με πολύ υψηλότερη αποδοτικότητα κωδικοποίησης . Εδώ, εστιάζουμε στη μελέτη των κωδίκων LDPC, καθώς στόχος μας είναι να βρούμε κβαντικούς κώδικες και πρωτόκολλα διόρθωσης σφαλμάτων που είναι ταυτόχρονα αποτελεσματικοί και εφικτοί στην επίδειξη, δεδομένων των περιορισμών των τεχνολογιών κβαντικών υπολογιστών. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Ένας κβαντικός κώδικας διόρθωσης σφαλμάτων είναι τύπου LDPC εάν κάθε τελεστής ελέγχου του κώδικα δρα μόνο σε λίγα qubit και κάθε qubit συμμετέχει σε λίγους ελέγχους. Πρόσφατα έχουν προταθεί διάφορες παραλλαγές των κωδίκων LDPC, όπως υπερβολικοί κώδικες επιφάνειας , , , υπεργραφήματα , ισορροπημένοι κώδικες γινομένου , κώδικες διπλού γινομένου βασισμένοι σε πεπερασμένες ομάδες , , , και κβαντικοί κώδικες Tanner , . Οι τελευταίοι έχουν αποδειχθεί , ότι είναι ασυμπτωτικά «καλοί» με την έννοια ότι προσφέρουν σταθερό ρυθμό κωδικοποίησης και γραμμική απόσταση: μια παράμετρος που ποσοτικοποιεί τον αριθμό των διορθώσιμων σφαλμάτων. Αντίθετα, ο κώδικας επιφάνειας έχει ασυμπτωτικά μηδενικό ρυθμό κωδικοποίησης και μόνο απόσταση τετραγωνικής ρίζας. Η αντικατάσταση του κώδικα επιφάνειας με έναν κώδικα LDPC υψηλού ρυθμού και μεγάλης απόστασης θα μπορούσε να έχει σημαντικές πρακτικές επιπτώσεις. Πρώτον, το κόστος ανθεκτικότητας σε σφάλματα (ο λόγος μεταξύ του αριθμού των φυσικών και λογικών qubit) θα μπορούσε να μειωθεί αισθητά. Δεύτερον, οι κώδικες μεγάλης απόστασης δείχνουν μια πολύ απότομη μείωση του λογικού ποσοστού σφάλματος: καθώς η πιθανότητα φυσικού σφάλματος διασχίζει την τιμή κατωφλίου, η ποσότητα καταστολής σφαλμάτων που επιτυγχάνεται από τον κώδικα μπορεί να αυξηθεί κατά τάξεις μεγέθους ακόμη και με μια μικρή μείωση του ποσοστού φυσικού σφάλματος. Αυτό το χαρακτηριστικό καθιστά τους κώδικες LDPC μεγάλης απόστασης ελκυστικούς για επιδείξεις κοντινού μέλλοντος που πιθανότατα θα λειτουργούν στο καθεστώς κοντά στο κατώφλι. Ωστόσο, πιστευόταν προηγουμένως ότι η υπέρβαση του κώδικα επιφάνειας για ρεαλιστικά μοντέλα θορύβου, συμπεριλαμβανομένων των σφαλμάτων μνήμης, πύλης και προετοιμασίας κατάστασης και μέτρησης, μπορεί να απαιτεί πολύ μεγάλους κώδικες LDPC με περισσότερα από 10.000 φυσικά qubit . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Εδώ παρουσιάζουμε πολλά συγκεκριμένα παραδείγματα κωδίκων LDPC υψηλού ρυθμού με μερικές εκατοντάδες φυσικά qubit, εξοπλισμένα με κύκλωμα μέτρησης συνδρόμου χαμηλού βάθους, έναν αποτελεσματικό αλγόριθμο αποκωδικοποίησης και ένα πρωτόκολλο ανθεκτικό σε σφάλματα για τη διεύθυνση μεμονωμένων λογικών qubit. Αυτοί οι κώδικες δείχνουν κατώφλι σφάλματος κοντά στο 0,7%, εμφανίζουν εξαιρετική απόδοση στο καθεστώς κοντά στο κατώφλι και προσφέρουν μείωση κατά 10 φορές στο κόστος κωδικοποίησης σε σύγκριση με τον κώδικα επιφάνειας. Οι απαιτήσεις υλικού για την υλοποίηση των πρωτοκόλλων διόρθωσης σφαλμάτων μας είναι σχετικά ήπιες, καθώς κάθε φυσικό qubit συνδέεται με πύλες δύο qubit με μόνο έξι άλλα qubit. Παρόλο που ο γράφος συνδεσιμότητας qubit δεν είναι τοπικά ενσωματώσιμος σε ένα πλέγμα 2D, μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο υπο-γραφήματα επιπέδου. Όπως υποστηρίζουμε παρακάτω, τέτοια συνδεσιμότητα qubit είναι κατάλληλη για αρχιτεκτονικές βασισμένες σε υπεραγώγιμα qubit. Οι κώδικοί μας αποτελούν γενίκευση των κωδίκων ποδηλάτου που προτάθηκαν από τους MacKay et al. και μελετήθηκαν με μεγαλύτερη λεπτομέρεια στις αναφ. , , . Ονομάσαμε τους κώδικούς μας διμεταβλητούς ποδηλάτου (BB) επειδή βασίζονται σε διμεταβλητά πολυώνυμα, όπως περιγράφεται λεπτομερώς στις . Αυτοί είναι κώδικες σταθεροποιητή τύπου Calderbank–Shor–Steane (CSS) , που μπορούν να περιγραφούν από μια συλλογή τελεστών ελέγχου (σταθεροποιητών) έξι qubit που αποτελούνται από Pauli και . Σε υψηλό επίπεδο, ένας κώδικας BB είναι παρόμοιος με τον δισδιάστατο κώδικα τοροειδούς . Συγκεκριμένα, τα φυσικά qubit ενός κώδικα BB μπορούν να τοποθετηθούν σε ένα δισδιάστατο πλέγμα με περιοδικές οριακές συνθήκες, έτσι ώστε όλοι οι τελεστές ελέγχου να προκύπτουν από ένα μόνο ζεύγος ελέγχων και με εφαρμογή οριζόντιων και κάθετων μετατοπίσεων του πλέγματος. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους σταθεροποιητές πλακέτας και κορυφής που περιγράφουν τον κώδικα τοροειδούς, οι τελεστές ελέγχου των κωδίκων BB δεν είναι γεωμετρικά τοπικοί. Επιπλέον, κάθε έλεγχος δρα σε έξι qubit αντί για τέσσερα qubit. Θα περιγράψουμε τον κώδικα μέσω ενός γραφήματος Tanner έτσι ώστε κάθε κορυφή του να αντιπροσωπεύει είτε ένα qubit δεδομένων είτε έναν τελεστή ελέγχου. Μια κορυφή ελέγχου και μια κορυφή δεδομένων συνδέονται με μια ακμή εάν ο -οστός τελεστής ελέγχου δρα μη τετριμμένα στο -οστό qubit δεδομένων (εφαρμόζοντας Pauli ή ). Βλ. Εικ. για παραδείγματα γραφημάτων Tanner κωδίκων επιφάνειας και BB, αντίστοιχα. Το γράφημα Tanner οποιουδήποτε κώδικα BB έχει βαθμό κορυφής έξι και πάχος γραφήματος ίσο με δύο, που σημαίνει ότι μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο υπο-γραφήματα επιπέδου χωρίς ακμές ( ). Η συνδεσιμότητα qubit πάχους 2 είναι κατάλληλη για υπεραγώγιμα qubit που συνδέονται με μικροκυματικούς συντονιστές. Για παράδειγμα, δύο επίπεδα συνδετήρων και οι γραμμές ελέγχου τους μπορούν να συνδεθούν στην πάνω και την κάτω πλευρά του τσιπ που φιλοξενεί τα qubit, και οι δύο πλευρές να ενωθούν. 41 35 36 42 Μεθόδους 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Μέθοδοι , Γράφημα Tanner κώδικα επιφάνειας, για σύγκριση. , Γράφημα Tanner κώδικα BB με παραμέτρους [[144, 12, 12]] ενσωματωμένο σε έναν τόρο. Κάθε ακμή του γραφήματος Tanner συνδέει ένα qubit δεδομένων και μια κορυφή ελέγχου. Τα qubit δεδομένων που αντιστοιχούν στα μητρώα q( ) και q( ) φαίνονται με μπλε και πορτοκαλί κύκλους. Κάθε κορυφή έχει έξι εισερχόμενες ακμές, συμπεριλαμβανομένων τεσσάρων μικρής εμβέλειας ακμών (που δείχνουν βόρεια, νότια, ανατολικά και δυτικά) και δύο ακμών μεγάλης εμβέλειας. Δείχνουμε μόνο μερικές ακμές μεγάλης εμβέλειας για να αποφύγουμε τη σύγχυση. Διακεκομμένες και συνεχείς ακμές υποδηλώνουν δύο υπο-γραφήματα επιπέδου που καλύπτουν το γράφημα Tanner, βλ. τις . , Σκίτσο μιας επέκτασης γραφήματος Tanner για τη μέτρηση και σύμφωνα με την αναφ. , συνδέοντας με έναν κώδικα επιφάνειας. Το βοηθητικό qubit που αντιστοιχεί στη μέτρηση μπορεί να συνδεθεί με έναν κώδικα επιφάνειας, επιτρέποντας λειτουργίες φόρτωσης-αποθήκευσης για όλα τα λογικά qubit μέσω κβαντικής τηλεμεταφοράς και κάποιων λογικών μοναδιαίων τελεστών. Αυτό το επεκταμένο γράφημα Tanner έχει επίσης μια υλοποίηση σε αρχιτεκτονική πάχους 2 μέσω των ακμών και (βλ. τις ). α β L R Μεθόδους γ 50 A B Μεθόδους Ένας κώδικας BB με παραμέτρους [[ , , ]] κωδικοποιεί λογικά qubit σε qubit δεδομένων προσφέροντας απόσταση κώδικα , που σημαίνει ότι κάθε λογικό σφάλμα εκτείνεται σε τουλάχιστον qubit δεδομένων. Χωρίζουμε τα qubit δεδομένων σε μητρώα q( ) και q( ) μεγέθους /2 το καθένα. Κάθε έλεγχος δρα σε τρία qubit από το q( ) και τρία qubit από το q( ). Ο κώδικας βασίζεται σε βοηθητικά qubit ελέγχου για τη μέτρηση του συνδρόμου σφάλματος. Χωρίζουμε τα qubit ελέγχου σε μητρώα q( ) και q( ) μεγέθους /2 που συλλέγουν συνδρόμους τύπου και , αντίστοιχα. Συνολικά, η κωδικοποίηση βασίζεται σε 2 φυσικά qubit. Ο καθαρός ρυθμός κωδικοποίησης είναι επομένως = /(2 ). Για παράδειγμα, η τυπική αρχιτεκτονική του κώδικα επιφάνειας κωδικοποιεί = 1 λογικό qubit σε = qubit δεδομένων για έναν κώδικα απόστασης- και χρησιμοποιεί − 1 qubit ελέγχου για μετρήσεις συνδρόμου. Ο καθαρός ρυθμός κωδικοποίησης είναι ≈ 1/(2 ), ο οποίος γρήγορα γίνεται μη πρακτικός καθώς κανείς αναγκάζεται να επιλέξει μια μεγάλη απόσταση κώδικα, λόγω, για παράδειγμα, των φυσικών σφαλμάτων που είναι κοντά στην τιμή κατωφλίου. Αντίθετα, οι κώδικες BB έχουν ρυθμό κωδικοποίησης ≫ 1/ , βλ. Πίνακα για παραδείγματα κωδίκων. Κατά τη γνώση μας, όλοι οι κώδικες που παρουσιάζονται στον Πίνακα n k d k n d d n L R n L R n n X Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1
