Autori: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Sažetak Nagomilavanje fizičkih grešaka , , sprječava izvršavanje velikih algoritama na trenutnim kvantnim računarima. Kvantna korekcija grešaka obećava rješenje kodiranjem logičkih kubita u veći broj fizičkih kubita, tako da su fizičke greške potisnute dovoljno da omoguće pokretanje željenog izračuna s podnošljivom vjernošću. Kvantna korekcija grešaka postaje praktično ostvariva kada je stopa fizičkih grešaka ispod pragovne vrijednosti koja zavisi od izbora kvantnog koda, kruga za mjerenje sindroma i algoritma dekodiranja . Predstavljamo end-to-end protokol kvantne korekcije grešaka koji implementira tolerantnu memoriju na osnovu porodice kodova sa niskom gustinom pariteta (low-density parity-check codes) . Naš pristup postiže prag greške od 0,7% za standardni model buke zasnovan na krugu, uporediv sa površinskim kodom (surface code) , , , koji je 20 godina bio vodeći kod u smislu praga grešaka. Ciklus mjerenja sindroma za kod dužine u našoj porodici zahtijeva ancilarnih kubita i krug dubine 8 s CNOT kapijama, inicijalizacijama kubita i mjerenjima. Potrebna konektivnost kubita je graf stepena 6 sastavljen od dva plana podgrafa bez ivica. Konkretno, pokazujemo da se 12 logičkih kubita može očuvati skoro 1 milion ciklusa sindroma koristeći ukupno 288 fizičkih kubita, pod pretpostavkom fizičke stope greške od 0,1%, dok bi površinski kod zahtijevao skoro 3.000 fizičkih kubita za postizanje navedenih performansi. Naši nalazi približavaju demonstracije jeftine, tolerantne kvantne memorije dometu kvantnih procesora bliske budućnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Glavni dio Kvantno računarstvo je privuklo pažnju zbog svoje sposobnosti da ponudi asimptotski brža rješenja za skup računarskih problema u poređenju s najboljim poznatim klasičnim algoritmima . Vjeruje se da funkcionalni skalabilni kvantni računar može pomoći u rješavanju računarskih problema u oblastima kao što su naučna otkrića, istraživanje materijala, hemija i dizajn lijekova, da navedemo samo neke , , , . 5 11 12 13 14 Glavna prepreka izgradnji kvantnog računara je krhkost kvantne informacije, uslijed raznih izvora buke koji na nju utiču. Budući da izolovanje kvantnog računara od vanjskih utjecaja i njegovo kontrolisanje radi izvođenja željenog izračuna su u sukobu jedno s drugim, buka se čini neizbježnom. Izvori buke uključuju nesavršenosti u kubitima, korištenim materijalima, kontrolnoj aparaturi, greške pri pripremi stanja i mjerenju, te razne vanjske faktore u rasponu od lokalnih vještačkih, poput lutajućih elektromagnetnih polja, do onih inherentnih svemiru, poput kosmičkih zraka. Vidjeti ref. za sažetak. Dok se neki izvori buke mogu eliminisati boljom kontrolom , materijalima i zaštitom , , , nekoliko drugih izvora čini se teškim, ako je uopšte moguće, za uklanjanje. Posljednja vrsta može uključivati spontanu i stimuliranu emisiju u zarobljenim ionima , , te interakciju s kupkom (Purcellov efekat) u superprovodnim krugovima—pokrivajući obje vodeće kvantne tehnologije. Dakle, korekcija grešaka postaje ključni zahtjev za izgradnju funkcionalnog skalabilnog kvantnog računara. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Mogućnost kvantne tolerantnosti na greške je dobro uspostavljena . Kodiranje logičkog kubita redundantno u mnoge fizičke kubite omogućava dijagnosticiranje i ispravljanje grešaka ponovljenim mjerenjem sindroma paritetnih operatorskih provjera. Međutim, korekcija grešaka je korisna samo ako je stopa grešaka hardvera ispod određene pragovne vrijednosti koja zavisi od određenog protokola korekcije grešaka. Prvi prijedlozi za kvantnu korekciju grešaka, poput konkateniranih kodova , , , fokusirali su se na demonstraciju teoretske mogućnosti supresije grešaka. Kako je razumijevanje kvantne korekcije grešaka i mogućnosti kvantnih tehnologija sazrijevalo, fokus se pomjerio na pronalaženje praktičnih protokola kvantne korekcije grešaka. To je rezultiralo razvojem površinskog koda (surface code) , , , koji nudi visoki prag grešaka blizu 1%, brze algoritme dekodiranja i kompatibilnost sa postojećim kvantnim procesorima koji se oslanjaju na dvodimenzionalnu (2D) kvadratnu mrežu konektivnosti kubita. Mali primjeri površinskog koda s jednim logičkim kubitom već su eksperimentalno demonstrirani od strane nekoliko grupa , , , , . Međutim, povećanje površinskog koda na 100 ili više logičkih kubita bilo bi neisplativo zbog njegove slabe efikasnosti kodiranja. Ovo je potaknulo interes za općenitije kvantne kodove poznate kao kodovi niske gustine pariteta (LDPC) . Nedavni napredak u proučavanju LDPC kodova sugerira da oni mogu postići kvantnu tolerantnost na greške s mnogo većom efikasnošću kodiranja . Ovdje se fokusiramo na proučavanje LDPC kodova, jer je naš cilj pronaći kvantne kodove i protokole za korekciju grešaka koji su efikasni i mogu se praktično demonstrirati, s obzirom na ograničenja tehnologija kvantnog računanja. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantni kod za korekciju grešaka je tipa LDPC ako svaki operatorski provjernik koda djeluje samo na nekoliko kubita i svaki kubit učestvuje u samo nekoliko provjera. Nedavno je predloženo nekoliko varijanti LDPC kodova uključujući hiperbolične površinske kodove , , , hipergraf proizvod , uravnotežene produkt kodove , dvostruke produkt kodove zasnovane na konačnim grupama , , , i kvantne Tanner kodove , . Posljednji su pokazali , da su asimptotski ‘dobri’ u smislu ponude konstantne stope kodiranja i linearne udaljenosti: parametra koji kvantificira broj grešaka koje se mogu ispraviti. Nasuprot tome, površinski kod ima asimptotski nultu stopu kodiranja i samo udaljenost kvadratnog korijena. Zamjena površinskog koda LDPC kodom visoke brzine i visoke udaljenosti mogla bi imati značajne praktične implikacije. Prvo, režijski troškovi tolerancije na greške (omjer između broja fizičkih i logičkih kubita) mogli bi se znatno smanjiti. Drugo, kodovi s velikom udaljenošću pokazuju vrlo oštar pad u logaritamskoj stopi grešaka: kako vjerovatnost fizičke greške prelazi pragovnu vrijednost, količina supresije grešaka postignuta kodom može se povećati za redove veličine čak i uz malo smanjenje vjerovatnosti fizičke greške. Ova karakteristika čini LDPC kodove s velikom udaljenošću atraktivnim za demonstracije bliske budućnosti koje će vjerovatno raditi u režimu blizu praga. Međutim, ranije se vjerovalo da bi nadmašivanje površinskog koda za realne modele buke uključujući greške memorije, kapije i pripreme stanja i mjerenja moglo zahtijevati vrlo velike LDPC kodove s više od 10.000 fizičkih kubita . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ovdje predstavljamo nekoliko konkretnih primjera LDPC kodova visoke brzine s nekoliko stotina fizičkih kubita opremljenih krugom za mjerenje sindroma niske dubine, efikasnim algoritmom dekodiranja i protokolom tolerantnim na greške za adresiranje pojedinačnih logičkih kubita. Ovi kodovi pokazuju prag grešaka blizu 0,7%, pokazuju odlične performanse u režimu blizu praga i nude 10 puta smanjenje režijskih troškova kodiranja u poređenju s površinskim kodom. Hardverski zahtjevi za realizaciju naših protokola korekcije grešaka su relativno blagi, jer je svaki fizički kubit povezan dvokubičnim kapijama sa samo šest drugih kubita. Iako graf konektivnosti kubita nije lokalno ugradljiv u 2D mrežu, može se razložiti na dva ravna podgrafa sa stepenom 3. Kako dalje argumentiramo, takva konektivnost kubita je dobro prilagođena arhitekturama zasnovanim na superprovodnim kubitima. Naši kodovi su generalizacija bicikl kodova koje su predložili MacKay et al. i detaljnije proučavali u ref. , , . Naše kodove smo nazvali dvobivarijatni bicikl (bivariate bicycle - BB) jer su zasnovani na dvobivarijatnim polinomima, kako je detaljnije opisano u odjeljku . Ovo su stabilizatorski kodovi tipa Calderbank–Shor–Steane (CSS) , koji se mogu opisati kolekcijom šestokubičnih operatorskih provjera (stabilizatora) sastavljenih od Pauli i . Na visokom nivou, BB kod je sličan dvodimenzionalnom toričnom kodu . Konkretno, fizički kubiti BB koda mogu se postaviti na dvodimenzionalnu mrežu s periodičnim graničnim uslovima tako da se svi operatorski provjernici dobivaju iz jednog para i provjera primjenom horizontalnih i vertikalnih pomaka mreže. Međutim, za razliku od stabilizatora pločica i vrhova koji opisuju torični kod, operatorski provjernici BB kodova nisu geometrijski lokalni. Nadalje, svaka provjera djeluje na šest kubita umjesto četiri kubita. Kod ćemo opisati Tannerovim grafom tako da svaki vrh predstavlja ili podatkovni kubit ili operatorsku provjeru. Vrh provjere i vrh podataka su povezani ivicom ako -ti operatorski provjernik djeluje netrivijalno na -ti podatkovni kubit (primjenom Pauli ili ). Vidjeti sliku za primjere Tannerovih grafova površinskog i BB kodova. Tannerov graf bilo kojeg BB koda ima stepen vrha šest i debljinu grafa jednak dva, što znači da se može razložiti na dva ravna podgrafa bez ivica ( ). Debljina-2 konektivnost kubita je dobro prilagođena za superprovodne kubite povezane mikrotalasnim rezonatorima. Na primjer, dva ravna sloja konektora i njihove upravljačke linije mogu se pričvrstiti na gornju i donju stranu čipa koji sadrži kubite, a dvije strane spojiti. 41 35 36 42 Metode 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Tannerov graf površinskog koda, radi poređenja. , Tannerov graf BB koda s parametrima [[144, 12, 12]] ugrađenog u torus. Svaka ivica Tannerovog grafa povezuje podatkovni i provjerni vrh. Podatkovni kubiti povezani s registrima ( ) i ( ) prikazani su plavim i narandžastim krugovima. Svaki vrh ima šest incidentnih ivica, uključujući četiri kratke ivice (uputstva sjever, jug, istok i zapad) i dvije dugodometne ivice. Prikazujemo samo nekoliko dugodometnih ivica kako bismo izbjegli nered. Isprekidane i pune ivice označavaju dva ravna podgrafa koja pokrivaju Tannerov graf, vidjeti . , Skica proširenja Tannerovog grafa za mjerenje i prema ref. , koje se povezuje sa površinskim kodom. Ancila koja odgovara mjerenju može se povezati sa površinskim kodom, omogućavajući učitavanje-spremanje operacija za sve logičke kubite putem kvantne teleportacije i nekih logičkih unitarnih transformacija. Ovaj prošireni Tannerov graf također ima implementaciju u arhitekturi debljine 2 kroz i ivice ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode BB kod s parametrima [[ , , ]] kodira logičkih kubita u podatkovnih kubita nudeći kodnu udaljenost , što znači da bilo koja logička greška pokriva najmanje podatkovnih kubita. Dijelimo podatkovnih kubita u registre ( ) i ( ) veličine /2 svaki. Svaka provjera djeluje na tri kubita iz ( ) i tri kubita iz ( ). Kod se oslanja na ancilarnih provjernih kubita za mjerenje sindroma greške. Dijelimo provjernih kubita u registre ( ) i ( ) veličine /2 koji prikupljaju sindrome tipa i , respektivno. Ukupno, kodiranje se oslanja na 2 fizičkih kubita. Neto stopa kodiranja je stoga = /(2 ). Na primjer, standardna arhitektura površinskog koda kodira = 1 logički kubit u = 2 podatkovnih kubita za kod udaljenosti i koristi − 1 provjernih kubita za mjerenje sindroma. Neto stopa kodiranja je ≈ 1/(2 2), što brzo postaje nepraktično jer su prisiljeni odabrati veliku kodnu udaljenost, na primjer, zbog toga što su fizičke greške blizu pragovne vrijednosti. Nasuprot tome, BB kodovi imaju stopu kodiranja ≫ 1/ 2, vidjeti Tabelu za primjere kodova. Koliko nam je poznato, svi kodovi prikazani u Tabeli su novi. Kod udaljenosti 12 [[144, 12, 12]] je možda najperspektivniji za demonstracije bliske budućnosti, jer kombinuje veliku udaljenost i visoku neto stopu kodiranja = 1/24. Za poređenje, površinski kod udaljenosti 11 ima neto stopu kodiranja = 1/241. U nastavku pokazujemo da BB kod udaljenosti 12 nadmašuje površinski kod udaljenosti 11 za eksperimentalno relevantan opseg stopa grešaka. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d d n r d r d 1 1 r r Da bi se spriječilo nakupljanje grešaka, mora se moći mjeriti sindrom greške dovoljno često. Ovo se postiže krugom za mjerenje sindroma koji povezuje podatkovne kubite u podršci svakog operatorskog provjernika sa odgovarajućim ancilarnim kubitom nizom CNOT kapija. Provjerni kubiti se zatim mjere, otkrivajući vrijednost sindroma greške. Vrijeme potrebno za implementaciju kruga za mjerenje sindroma je proporcionalno njegovoj dubini: broj slojeva kapija sastavljenih od nepreklapajućih CNOT kapija. Kako nove greške nastaju dok se izvodi krug za mjerenje sindroma, njegova dubina treba biti minimizirana. Potpuni ciklus mjerenja sindroma za BB kod ilustrovan je na slici . Sindromski ciklus zahtijeva samo sedam slojeva CNOT kapija bez obzira na dužinu koda. Provjerni kubiti se inicijaliziraju i mjere na početku i kraju sindromskog ciklusa, respektivno (vidjeti odjeljak za detalje). Krug poštuje cikličnu simetriju pomaka osnovnog koda. 2 Metode Potpuni ciklus mjerenja sindroma koji se oslanja na sedam slojeva CNOT kapija. Pružamo lokalni prikaz kruga koji uključuje samo jedan podatkovni kubit iz svakog registra ( ) i ( ). Krug je simetričan u odnosu na horizontalne i vertikalne pomake Tannerovog grafa. Svaki podatkovni kubit je povezan CNOT kapijama s tri *X-*provjernička i tri *Z-*provjernička kubita: vidjeti odjeljak za više detalja. q L q R Metode Potpuni protokol korekcije grešaka izvodi c ≫ 1 ciklusa mjerenja sindroma i zatim poziva dekoder: klasični algoritam koji kao ulaz uzima izmjerene sindrome i daje pretpostavku o konačnoj grešci na podatkovnim kubitima. Korekcija greške uspijeva ako se pretpostavljena i stvarna greška poklapaju modulo proizvod operatorskih provjera. U tom slučaju, dvije greške imaju isto djelovanje na bilo koje kodirano (logičko) stanje. Dakle, primjena inverzne pretpostavljene greške vraća podatkovne kubite u početno logičko stanje. U suprotnom, ako se pretpostavljena i stvarna greška razlikuju za netrivijalni logički operator, korekcija greške ne uspijeva, što rezultira logičkom greškom. Naši numerički eksperimenti zasnovani su na metodi propagacije vjerovatnoće (belief propagation) s dekoderom uređenih statistika (BP-OSD) koji je predložio Panteleev i Kalachev N
