Autori: Sergey Bravyi Andrew W. Cross Jay M. Gambetta Dmitri Maslov Patrick Rall Theodore J. Yoder Sažetak Nakupljanje fizičkih grešaka , , onemogućava izvršavanje velikih algoritama na trenutnim kvantnim računarima. Kvantno ispravljanje grešaka obećava rješenje kodiranjem logičkih kvantnih bitova u veći broj fizičkih kvantnih bitova, tako da se greške fizičkih kvantnih bitova potiskuju dovoljno da bi se omogućilo pokretanje željenog izračuna sa prihvatljivom preciznošću. Kvantno ispravljanje grešaka postaje praktično ostvarivo kada je stopa grešaka fizičkih kvantnih bitova ispod granične vrijednosti koja zavisi od izbora kvantnog koda, kruga za mjerenje sindroma i algoritma za dekodiranje . Predstavljamo potpuni protokol kvantnog ispravljanja grešaka koji implementira tolerantnu memoriju zasnovanu na porodici nisko-gustih paritetnih kodova . Naš pristup postiže prag greške od 0,7% za standardni model šuma zasnovan na krugovima, ravan sa površinskim kodom , , , koji je 20 godina bio vodeći kod u pogledu praga greške. Ciklus mjerenja sindroma za kod dužine u našoj porodici zahtijeva ancilarnih kvantnih bitova i krug dubine 8 sa CNOT kapijama, inicijalizacijama kvantnih bitova i mjerenjima. Potrebna povezanost kvantnih bitova je graf stepena 6 sastavljen od dva plana podgrafa bez ivica. Konkretno, pokazujemo da se 12 logičkih kvantnih bitova može sačuvati skoro milion ciklusa mjerenja sindroma koristeći ukupno 288 fizičkih kvantnih bitova, pod pretpostavkom fizičke stope greške od 0,1%, dok bi površinski kod zahtijevao skoro 3000 fizičkih kvantnih bitova za postizanje navedenih performansi. Naši rezultati približavaju demonstracije jeftine tolerantne kvantne memorije kvantnim procesorima bliske budućnosti. 1 2 3 4 k n 5 6 7 8 9 10 n n Glavni dio Kvantno računarstvo je privuklo pažnju zbog svoje sposobnosti da ponudi asimptotski brža rješenja za niz računarskih problema u poređenju sa najboljim poznatim klasičnim algoritmima . Vjeruje se da bi funkcionalni skalabilni kvantni računar mogao pomoći u rješavanju računarskih problema u oblastima kao što su naučna otkrića, istraživanje materijala, hemija i dizajn lijekova, da navedemo samo neke , , , . 5 11 12 13 14 Glavna prepreka izgradnji kvantnog računara je krhkost kvantne informacije, uslijed raznih izvora šuma koji je utiču na nju. Budući da su izolovanje kvantnog računara od vanjskih uticaja i njegovo upravljanje radi izvođenja željenog izračuna u sukobu jedno s drugim, šum se čini neizbježnim. Izvori šuma uključuju nesavršenosti u kvantnim bitovima, korištenim materijalima, kontrolnoj opremi, greške pri pripremi stanja i mjerenju, te razne vanjske faktore koji variraju od lokalnih antropogenih, poput zalutalih elektromagnetnih polja, do onih inherentnih Univerzumu, poput kosmičkih zraka. Vidi ref. za sažetak. Dok se neki izvori šuma mogu eliminisati boljom kontrolom , materijalima i oklapanjem , , , nekoliko drugih izvora čini se teško, ako ne i nemoguće, ukloniti. Potonja vrsta može uključivati spontanu i stimulisanu emisiju u zarobljenim ionima , , i interakciju sa kupatilom (Purcellov efekat) u superprovodnim krugovima—pokrivajući obje vodeće kvantne tehnologije. Tako greške postaju ključni zahtjev za izgradnju funkcionalnog skalabilnog kvantnog računara. 15 16 17 18 19 20 1 2 3 Mogućnost kvantne tolerantnosti grešaka je dobro uspostavljena . Kodiranje logičkog kvantnog bita redundantno u mnoge fizičke kvantne bitove omogućava dijagnosticiranje i ispravljanje grešaka ponovljenim mjerenjem sindroma paritetnih operatorskih provjera. Međutim, ispravljanje grešaka je korisno samo ako je hardverska stopa grešaka ispod određene granične vrijednosti koja zavisi od određenog protokola za ispravljanje grešaka. Prvi prijedlozi za kvantno ispravljanje grešaka, kao što su udvojeni kodovi , , , fokusirali su se na demonstraciju teorijske mogućnosti suzbijanja grešaka. Kako je razumijevanje kvantnog ispravljanja grešaka i mogućnosti kvantnih tehnologija sazrelo, fokus se pomjerio na pronalaženje praktičnih protokola za kvantno ispravljanje grešaka. Ovo je rezultiralo razvojem površinskog koda , , , koji nudi visoki prag greške blizu 1%, brze algoritme dekodiranja i kompatibilnost sa postojećim kvantnim procesorima koji se oslanjaju na dvodimenzionalnu (2D) kvadratnu mrežu povezanosti kvantnih bitova. Mali primjeri površinskog koda sa jednim logičkim kvantnim bitom već su demonstrirani eksperimentalno od strane nekoliko grupa , , , , . Međutim, skaliranje površinskog koda na 100 ili više logičkih kvantnih bitova bilo bi prohibitivno skupo zbog njegove loše efikasnosti kodiranja. Ovo je podstaklo interesovanje za opštije kvantne kodove poznate kao nisko-gusti paritetni kodovi (LDPC) . Nedavni napredak u proučavanju LDPC kodova sugeriše da oni mogu postići kvantnu tolerantnost grešaka sa mnogo većom efikasnošću kodiranja . Ovdje se fokusiramo na proučavanje LDPC kodova, jer je naš cilj pronalaženje kvantnih kodova za ispravljanje grešaka i protokola koji su istovremeno efikasni i mogući za demonstraciju u praksi, uzimajući u obzir ograničenja tehnologija kvantnog računanja. 4 21 22 23 7 8 9 10 24 25 26 27 28 6 29 Kvantni kod za ispravljanje grešaka je LDPC tipa ako svaki operatorski provjeravac koda djeluje samo na nekoliko kvantnih bitova i svaki kvantni bit učestvuje u samo nekoliko provjera. Nedavno je predloženo nekoliko varijanti LDPC kodova, uključujući hiperbolične površinske kodove , , , hipergraf proizvod , uravnotežene produktne kodove , dvoblok kodove zasnovane na konačnim grupama , , , i kvantne Tanner kodove , . Potonji su pokazali , da su asimptotski „dobri“ u smislu nuđenja konstantne stope kodiranja i linearne udaljenosti: parametar koji kvantificira broj grešaka koje se mogu ispraviti. Nasuprot tome, površinski kod ima asimptotski nultu stopu kodiranja i samo udaljenost odmjerenu kvadratnim korijenom. Zamjena površinskog koda LDPC kodom visoke stope i velike udaljenosti mogla bi imati značajne praktične implikacije. Prvo, režija za tolerantnost grešaka (odnos između broja fizičkih i logičkih kvantnih bitova) mogla bi se znatno smanjiti. Drugo, kodovi sa velikom udaljenosti pokazuju vrlo oštar pad stope logičke greške: kako vjerovatnoća greške fizičkog kvantnog bita prelazi graničnu vrijednost, stepen suzbijanja grešaka postignut kodom može se povećati za redove veličine čak i uz malo smanjenje stope greške fizičkog kvantnog bita. Ova karakteristika čini LDPC kodove sa velikom udaljenosti privlačnim za demonstracije bliske budućnosti koje će vjerovatno raditi u režimu blizu praga. Međutim, ranije se smatralo da bi nadmašivanje površinskog koda za realne modele šuma koji uključuju memorijske greške, greške pri radu sa kapijama te greške pri pripremi stanja i mjerenju moglo zahtijevati vrlo velike LDPC kodove sa više od 10.000 fizičkih kvantnih bitova . 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 39 40 31 Ovdje predstavljamo nekoliko konkretnih primjera LDPC kodova visoke stope sa nekoliko stotina fizičkih kvantnih bitova opremljenih krugom za mjerenje sindroma male dubine, efikasnim algoritmom dekodiranja i protokolom tolerantnim na greške za adresiranje pojedinačnih logičkih kvantnih bitova. Ovi kodovi pokazuju prag greške blizu 0,7%, pokazuju odlične performanse u režimu blizu praga i nude 10 puta smanjenje režije kodiranja u poređenju sa površinskim kodom. Hardverski zahtjevi za realizaciju naših protokola ispravljanja grešaka su relativno blagi, jer je svaki fizički kvantni bit povezan dvokvantnim kapijama sa samo šest drugih kvantnih bitova. Iako graf povezanosti kvantnih bitova nije lokalno ugrađen u 2D mrežu, može se razložiti na dva plana podgrafa sa debljinom 2. Kao što ćemo kasnije argumentirati, takva povezanost kvantnih bitova je dobro prilagođena arhitekturama zasnovanim na superprovodnim kvantnim bitovima. Naši kodovi su generalizacija biciklističkih kodova koje su predložili MacKay i saradnici i detaljnije proučavani u ref. , , . Naše kodove smo nazvali dvobivarijatnim biciklističkim (BB) jer su zasnovani na dvobivarijatnim polinomima, kao što je detaljno opisano u . Ovo su stabilizatorski kodovi tipa Calderbank–Shor–Steane (CSS) , koji se mogu opisati kolekcijom šestokvantnih operatorskih provjera (stabilizatora) sastavljenih od Paulijevih i . Na visokom nivou, BB kod je sličan dvodimenzionalnom toričnom kodu . Konkretno, fizički kvantni bitovi BB koda mogu biti raspoređeni na dvodimenzionalnoj mreži sa periodičnim graničnim uslovima tako da se svi operatorski provjeraci dobijaju iz jednog para i provjera primjenom horizontalnih i vertikalnih pomaka mreže. Međutim, za razliku od stabilizatora pločica i čvorova koji opisuju torični kod, operatorski provjeraci BB kodova nisu geometrijski lokalni. Nadalje, svaka provjera djeluje na šest kvantnih bitova umjesto na četiri. Kod ćemo opisati Tannerovim grafom tako da svaki čvor predstavlja ili podatkovni kvantni bit ili operatorski provjeravac. Provjeravački čvor i podatkovni čvor povezani su ivicom ako -ti operatorski provjeravac ne-trivijalno djeluje na -ti podatkovni kvantni bit (primjenom Paulijevog ili ). Vidjeti sliku. za primjere Tannerovih grafova površinskog i BB kodova. Tannerov graf bilo kojeg BB koda ima stepen čvora šest i debljinu grafa jednaku dva, što znači da se može razložiti na dva plana podgrafa bez ivica ( ). Povezanost kvantnih bitova debljine 2 dobro je prilagođena superprovodnim kvantnim bitovima povezanim mikrotalasnim rezonatorima. Na primjer, dva planarna sloja konektora i njihove upravljačke linije mogu se pričvrstiti na gornju i donju stranu čipa koji sadrži kvantne bitove, a dva strane spojiti. 41 35 36 42 Metodama 43 44 X Z 7 X Z G G i j i j X Z 1a,b 29 Metode , Tannerov graf površinskog koda, radi poređenja. , Tannerov graf BB koda sa parametrima [[144, 12, 12]] ugrađen u torus. Svaka ivica Tannerovog grafa povezuje podatkovni i provjeravački čvor. Podatkovni kvantni bitovi povezani sa registrima ( ) i ( ) prikazani su plavim i narandžastim kružićima. Svaki čvor ima šest incidenatanih ivica uključujući četiri kratkodometne ivice (uput u pravcu sjevera, juga, istoka i zapada) i dvije dugodometne ivice. Prikazujemo samo nekoliko dugodometnih ivica da bismo izbjegli gužvu. Isječene i pune ivice označavaju dva planarna podgrafa koji prekrivaju Tannerov graf, vidjeti . , Skica proširenja Tannerovog grafa za mjerenje i prema ref. , priključena na površinski kod. Ancila koja odgovara mjerenju može se povezati sa površinskim kodom, omogućavajući operacije učitavanja-pohranjivanja za sve logičke kvantne bitove putem kvantne teleportacije i nekih logičkih unitarnih transformacija. Ovaj prošireni Tannerov graf takođe ima implementaciju u debljini-2 arhitekturi kroz i ivice ( ). a b q L q R Metode c 50 A B Metode BB kod sa parametrima [[ , , ]] kodira logičkih kvantnih bitova u podatkovnih kvantnih bitova nudeći kodnu udaljenost , što znači da svaka logička greška obuhvata najmanje podatkovnih kvantnih bitova. Dijelimo podatkovnih kvantnih bitova u registre ( ) i ( ) veličine /2 svaki. Svaka provjera djeluje na tri kvantna bita iz ( ) i tri kvantna bita iz ( ). Kod se oslanja na ancilarnih provjeravačkih kvantnih bitova za mjerenje sindroma greške. Dijelimo provjeravačkih kvantnih bitova u registre ( ) i ( ) veličine /2 koji prikupljaju sindrome i tipova, redom. Ukupno, kodiranje se oslanja na 2 fizičkih kvantnih bitova. Neto stopa kodiranja je stoga = /(2 ). Na primjer, standardna arhitektura površinskog koda kodira = 1 logički kvantni bit u = podatkovnih kvantnih bitova za kod udaljenosti i koristi − 1 provjeravačkih kvantnih bitova za mjerenje sindroma. Neto stopa kodiranja je ≈ 1/(2 ), što brzo postaje nepraktično jer smo prisiljeni odabrati veliku kodnu udaljenost, zbog, na primjer, fizičkih grešaka blizu granične vrijednosti. Nasuprot tome, BB kodovi imaju stopu kodiranja ≫ 1/ , vidjeti Tabelu za primjere kodova. Koliko nam je poznato, svi kodovi prikazani u Tabeli su novi. Kod udaljenosti 12 [[144, 12, 12]] je možda najperspektivniji za demonstracije bliske budućnosti, jer kombinuje veliku udaljenost i visoku neto stopu kodiranja = 1/24. Za poređenje, površinski kod udaljenosti 11 ima neto stopu kodiranja = 1/241. U nastavku pokazujemo da BB kod udaljenosti 12 nadmašuje površinski kod udaljenosti 11 za eksperimentalno relevantan opseg stopa grešaka. n k d k n d d n q L q R n q L q R n n q X q Z n X Z n r k n k n d 2 d n r d 2 r d 2 1 1 r r Da bi se spriječilo nakupljanje grešaka, mora se moći mjeriti sindrom greške dovoljno često. Ovo se postiže krugom za mjerenje sindroma koji povezuje podatkovne kvantne bitove u podršci svakog operatorskog provjeravaca sa odgovarajućim ancilarnim kvantnim bitom putem niza CNOT kapija. Zatim se provjeravački kvantni bitovi mjere otkrivajući vrijednost sindroma greške. Vrijeme potrebno za implementaciju kruga za mjerenje sindroma je proporcionalno njegovoj dubini: broj slojeva kapija sastavljenih od nepreklapajućih CNOT kapija. Kako nove greške nastavljaju da se javljaju tokom izvršavanja kruga za mjerenje sindroma, njegova dubina treba biti minimizirana. Cijeli ciklus mjerenja sindroma za BB kod ilustrovan je na Sl. . Ciklus sindroma zahtijeva samo sedam slojeva CNOT kapija bez obzira na dužinu koda. Provjeravački kvantni bitovi se inicijalizuju i mjere na početku i na kraju ciklusa sindroma, odnosno (vidjeti za detalje). Krug poštuje simetriju cikličnog pomaka osnovnog koda. 2 Metode Potpuni ciklus mjerenja sindroma koji se oslanja na sedam slojeva CNOT kapija. Pružamo lokalni pogled na krug koji uključuje samo jedan podatkovni kvantni bit iz svakog registra ( ) i ( ). Krug je simetričan pod horizontalnim i vertikalnim pomacima Tannerovog grafa. Svaki podatkovni kvantni bit je povezan CNOT kapijama sa tri *X-*provjeravačka i tri *Z-*provjeravačka kvantna bita: vidjeti za više detalja. q L q R Metode Potpuni protokol ispravljanja grešaka izvodi ≫ 1 ciklusa mjerenja sindroma, a zatim poziva dekoder: klasični algoritam koji kao ulaz prima izmjerene sindrome i daje pretpostavku o konačnoj grešci na podatkovnim kvantnim bitovima. Ispravljanje grešaka uspijeva ako se pretpostavljena i stvarna greška poklapaju modulo proizvod operatorskih provjera. U tom slučaju, dvije greške imaju isto djelovanje na bilo koje kod N c
