ヒルベルトスキームの展開: 概要と導入

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• 概要と序文
• 熱帯観点の背景
• 拡張された建設
• GITの安定性
• スタックの視点
• 標準モジュライスタック
• 参考文献

抽象的な

この論文の目的は、Li と Wu の拡張退化構成を拡張して、半安定な曲面族上の点のヒルベルト スキームの良好な退化を得ること、および Gulbrandsen、Halle、Hulek の GIT 構成と Maulik と Ranganathan の対数ヒルベルト スキーム構成に対する代替の安定性条件と類似点について議論することです。点のヒルベルト スキームの良好な退化を適切な Deligne-Mumford スタックとして構成し、それが Maulik と Ranganathan の研究から生じる構成の幾何学的に意味のある例となることを示します。

1. はじめに

モジュライ空間の研究は代数幾何学の中心的なテーマです。モジュライ空間の中でも、ヒルベルト スキームは重要な例の 1 つです。ヒルベルト スキームは、幾何学的表現論、列挙幾何学、組合せ幾何学で広く研究されており、ハイパーカーラー多様体の 2 つの主な例として、K3 曲面上の点のヒルベルト スキームと一般化されたクンマー多様体があります。この分野での顕著な方向性は、そのようなオブジェクトのローカル モジュライ空間を理解すること、特に、滑らかなヒルベルト スキームの退化にモジュラー コンパクト化を与える方法を理解することです。

たとえば、中心ファイバーが正規交差特異点を持つ退化上の相対ヒルベルト スキームの幾何学を考えてみましょう。その場合、そのようなヒルベルト スキームの特異点を、その特定の特性を維持しながら解決する方法、またはそれを良好なモジュライ空間として表現する方法を尋ねることができます。これは、特異点軌跡によって与えられた境界に関するコンパクト化の問題になります。歴史的に、モジュライとコンパクト化の問題で使用された重要な方法は、幾何学的不変理論 (GIT) でした。最近では、Maulik と Ranganthan [MR20] の研究で、トロピカル幾何学と対数幾何学の方法を使用して、ヒルベルト スキームのこのような問題に対処する方法を検討しました。これは、Quot スキームの拡張退化に関する Li [Li13] と Li と Wu [LW15] の以前の研究、および展開を含む対数 Gromov-Witten 理論に関する Ranganathan [Ran22b] の研究に基づいています。

簡単に言えば、この論文の目的は、そのようなコンパクト化の明確な例を示し、これらの方法間の関連性を探ることです。

1.1 基本設定

セクション 1.3 で述べたように、このタイプの構成は、K3 面上の点のヒルベルト スキームのタイプ III 退化を構成するために適用できます。これについては、今後の研究で説明します。

1.2 この分野におけるこれまでの研究

[LW15] に続いて、Gulbrandsen、Halle、および Hulek [GHH19] は、点のヒルベルト スキームの場合の上記の構成の GIT バージョンを提示しています。彼らは、明示的な拡張退化、つまり、より大きな基底上の修正された族を構築し、そのファイバーは族内の X0 の成分の爆発に対応します。彼らは、この空間上に自然トーラス作用の線形化された線束を提示し、この場合、ヒルベルト-マンフォード基準が純粋に組み合わせ基準に簡略化されることを示しています。これを使用して、彼らは、Li と Wu の横方向のゼロ次元サブスキームを回復する GIT 安定性条件を課し、対応するスタック商が Li と Wu のスタック商と同型であることを証明しています。この研究の動機は、K3 面上の点のヒルベルト スキームのタイプ II 退化を構築することでした。実際、K3 曲面のタイプ II の良好な退化は、滑らかな曲線に沿って交差する曲面のチェーンである特殊ファイバーにこれらのタイプの特異点を示します。

Maulik と Ranganathan による最近の研究 [MR20] は、Ranganathan の以前のアイデア [Ran22b] と Tevelev の結果 [Tev07] に基づいており、対数幾何学と熱帯幾何学の手法を使用して X ! C の適切な展開を構築しています。これにより、X0 が任意の単純な正規交差多様体である場合から始めて、横断部分スキームのモジュライスタックを定義できます。彼らは、このようにして構築されたスタックが適切かつ Deligne-Mumford であることを示しています。詳細については、セクション 2.2 を参照してください。

1.3 主な結果

X ! C を曲面の半安定退化とします。次のセクションでは、これらの拡張された族上の拡張退化と安定した長さ m のゼロ次元部分スキームのスタックの明示的な構成を提案し、それらが優れた特性を持つことを示します。

さまざまな展開の選択を可能にする。この論文では、ヒルベルト点スキームの特定のモデル選択についてのみ議論し、これを標準モジュライスタックと呼んでいます。今後の研究では、これらの方法を拡張して他のモデル選択を記述する方法を調査する予定です。対数 Quot スキームに関する Kennedy-Hunt の研究 [Ken23] と並行するアプローチを検討するとともに、Maulik と Ranganathan の方法 [MR20] から生じるモジュライスタックの特定の幾何学的に意味のある選択を復元します。特に、これらのより一般的なケースでチューブ成分と DonaldsonThomas 安定性がどのように関係するかについて説明します (定義についてはセクション 2.2 を参照)。

1.4 組織

まず第 2 節で、対数幾何学と熱帯幾何学の背景と、後の節で参照する [MR20] の Maulik と Ranganathan の研究の概要を説明します。次に、第 3 節で、スキームの拡張された構成を示し、第 4 節で、この構成でさまざまな GIT 安定性条件をどのように定義できるかについて説明します。第 5 節では、スキームとして構築した拡張退化に基づいて、対応する展開のスタックとその上のファミリについて説明します。第 6 節では、この設定に安定性条件を拡張します。次に、定義された安定オブジェクトのスタックが、必要な Deligne-Mumford および適切性プロパティを持つことを示します。

謝辞。このプロジェクト全体を通してサポートしてくれた Gregory Sankaran に感謝します。また、多くの有益なコメントをくれた博士論文審査官の Alastair Craw と Dhruv Ranganathan にも感謝します。この研究は、バース大学研究学生奨学金の資金援助を受けて行われました。また、多くの興味深い会話をしてくれた Patrick Kennedy-Hunt と Thibault Poiret にも感謝します。