希尔伯特方案的扩展：摘要和简介

链接表

• 摘要和简介
• 热带视角的背景
• 扩建工程
• 胃肠道稳定性
• 堆栈视角
• 规范模量堆栈
• 参考

抽象的

本文旨在扩展 Li 和 Wu 的扩展退化构造，以获得半稳定曲面族上点的希尔伯特方案的良好退化，并讨论替代稳定性条件和与 Gulbrandsen、Halle 和 Hulek 的 GIT 构造以及 Maulik 和 Ranganathan 的对数希尔伯特方案构造的相似性。我们构造了点的希尔伯特方案的良好退化作为适当的 Deligne-Mumford 堆栈，并表明它提供了源自 Maulik 和 Ranganathan 工作的一个几何上有意义的构造示例。

1. 简介

模空间的研究是代数几何学的一个中心课题；在模空间中，希尔伯特方案是一类重要的例子。它们在几何表示理论、枚举几何和组合几何中得到了广泛的研究，并且是超凯勒流形的两个主要例子，即 K3 曲面上的点的希尔伯特方案和广义库默尔簇。该领域的一个突出方向是理解此类对象的局部模空间，特别是平滑希尔伯特方案的退化如何被赋予模紧化。

例如，我们可以考虑相对希尔伯特方案的几何形状，该方案的中心纤维具有正常交叉奇点。然后，我们可能会问如何在保留某些属性的同时解决这种希尔伯特方案的奇点，或者如何将其表示为一个好的模空间。这随后变成了关于奇异轨迹给出的边界的紧化问题。从历史上看，模数和紧化问题中使用的一种重要方法是几何不变理论 (GIT)。最近，Maulik 和 Ranganthan [MR20] 的工作探索了如何使用热带几何和对数几何方法来解决希尔伯特方案的此类问题。这建立在 Li [Li13] 和 Li 和 Wu [LW15] 关于 Quot 方案的扩展退化的工作以及 Ranganathan [Ran22b] 关于带展开的对数 Gromov-Witten 理论的工作的基础上。

简而言之，本文的目的是提供这种紧化的明确例子并探索这些方法之间的联系。

1.1 基本设置

如 1.3 节所述，这种构造方法可用于构造 K3 曲面上点的希尔伯特格式的 III 型退化。这将在未来的工作中描述。

1.2 该领域的先前研究

继 [LW15] 之后，Gulbrandsen、Halle 和 Hulek [GHH19] 针对点的希尔伯特方案提出了上述构造的 GIT 版本。他们构造了一个显式扩展退化，即在更大的基上修改的族，其纤维对应于族中 X0 分量的爆炸。他们在这个空间上为自然环面作用提出了一个线性化的线束，并且他们能够证明在这种情况下，希尔伯特-芒福德标准简化为纯组合标准。利用这一点，他们施加了一个 GIT 稳定性条件，该条件恢复了 Li 和 Wu 的横向零维子方案，并证明了相应的堆栈商与 Li 和 Wu 的堆栈商同构。这项工作的动机是构造 K3 曲面上点的希尔伯特方案的 II 型退化。事实上，K3 曲面的 II 型良好退化在特殊纤维中呈现出这些类型的奇点，该纤维是沿光滑曲线相交的曲面链。

Maulik 和 Ranganathan [MR20] 有更近期的研究，这些研究基于 Ranganathan [Ran22b] 的早期思想和 Tevelev [Tev07] 的结果，他们使用对数和热带几何技术来构造 X ! C 的适当展开。这使得他们能够从 X0 是任何简单正态交叉品种的情况开始定义横向子方案的模堆栈。他们表明，这样构造的堆栈是适当的和 Deligne-Mumford 的。有关这方面的更多详细信息，请参见第 2.2 节。

1.3 主要结果

假设 X ! C 是曲面的半稳定退化。在以下部分中，我们将提出在这些扩展族上显式构造扩展退化和稳定长度为 m 的零维子方案的堆栈，并证明它们具有良好的性质。

允许不同的扩展选择。在本文中，我们仅讨论希尔伯特点方案的特定模型选择，我们称之为规范模量堆栈。在即将开展的工作中，我们将研究如何扩展这些方法来描述其他模型选择。我们将考虑一种与 Kennedy-Hunt 在对数 Quot 方案 [Ken23] 上的工作相似的方法，并恢复某些几何上有意义的模量堆栈选择，这些选择源自 Maulik 和 Ranganathan [MR20] 的方法。特别是，我们将讨论管组件和 DonaldsonThomas 稳定性如何在这些更一般的情况下发挥作用（定义见第 2.2 节）。

1.4 组织

在第 2 节中，我们首先介绍对数几何和热带几何的一些背景知识，并概述 Maulik 和 Ranganathan 在 [MR20] 中的工作，我们将在后面的章节中引用这些工作。然后，在第 3 节中，我们阐述了方案的扩展构造，在第 4 节中，我们讨论了如何在此构造上定义各种 GIT 稳定性条件。在第 5 节中，我们描述了其上的扩展和系列的相应堆栈，这些堆栈基于我们构造为方案的扩展退化。在第 6 节中，我们将稳定性条件扩展到此设置。然后，我们表明定义的稳定对象堆栈具有所需的 Deligne-Mumford 和适当性属性。

致谢。我要感谢 Gregory Sankaran 在整个项目中提供的所有支持。还要感谢我的博士论文考官 Alastair Craw 和 Dhruv Ranganathan 的许多有益评论。这项工作是在巴斯大学研究生奖学金资助下进行的。我还要感谢 Patrick Kennedy-Hunt 和 Thibault Poiret 的许多有趣对话。