非分裂环面束的镜像定理：摘要和简介

链接表

• 摘要和简介
• 零属格罗莫夫-维滕理论
• 环面光束束
• 环面束的拉格朗日锥
• 射影丛积的镜像定理
• 环面束的镜像定理
• 附录 A. 等变傅里叶变换和参考文献

抽象的

我们为从（不一定分裂的）向量束的纤维 GIT 商获得的环面束构造了一个 I 函数。这是 Brown 的分裂环面束 I 函数 [5] 和非分裂射影束 I 函数 [21] 的推广。为了证明镜像定理，我们建立了环面束 Givental Lagrangian 锥上点的特征，并证明了射影束纤维积的扭曲 Gromov-Witten 理论的镜像定理。前一个结果将 Brown 的分裂环面束特征 [5] 推广到非分裂情况。

1. 简介

光滑射影簇 X 的属零格罗莫夫-维顿理论在辛几何、代数几何和镜像对称中起着重要作用。它可以通过镜像定理 [13] 进行研究，即通过在 Givental 拉格朗日锥 LX [14] 上找到一个方便点（称为 I 函数）。锥 LX 是无限维辛向量空间 HX（称为 Givental 空间）的拉格朗日子流形，由属零引力格罗莫夫-维顿不变量定义。X 的镜像定理使我们能够计算 X 的属零格罗莫夫-维顿不变量并研究量子上同调。

这是 Brown 的结果 [5，定理 2] 的推广，它对分裂环面束给出了相同的表征。其他种类/堆栈也有类似的表征结果；参见 [8, 23, 11]。

这个结果是非分裂射影丛镜像定理的直接推广 [21，定理 3.3]。证明的关键要素是量子黎曼-罗赫定理 [9，推论 4] 和众所周知的事实 [24]，即簇 X 上凸向量丛正则截面的零轨迹的 Gromov-Witten 不变量由 X 的扭曲 Gromov-Witten 不变量给出。

本文的思路如下：第二部分，我们回顾Gromov-Witten不变量的定义，并介绍非等变/等变/扭曲的Givental锥和量子Riemann-Roch定理。第三部分，我们引入分裂/非分裂的环面束的概念，并总结上同调的结构和有效曲线类生成的半群，这些在后面的部分会用到。第四部分，我们建立了环面束拉格朗日锥上点的刻画定理（定理4.2）。第五部分，我们证明了B上射影束纤维积的扭曲Gromov-Witten理论的镜像定理。第六部分，我们证明了本文的主要结果（定理6.1），即（可能非分裂的）环面束的镜像定理。在附录 A 中，我们简要解释了 Givental 锥的傅里叶变换，并检查我们的 I 函数是否与向量束的 I 函数的傅里叶变换一致。

致谢。作者非常感谢 Hiroshi Iritani 在本文撰写期间的指导和热情支持。他还要感谢 Yuan-Pin Lee 和 Fumihiko Sanda 的非常有益的讨论。这项工作得到了 JSPS KAKENHI 资助，资助编号为 22KJ1717。