Tổ hợp ổn định tuyến tính cho hệ Hamilton theo chiều tùy ý: Giới thiệu

Bảng liên kết

• trừu tượng
• Giới thiệu
• Vòng sơ loại
• chữ ký B
• Trình tự GIT: kích thước thấp
• Trình tự GIT: kích thước tùy ý
• Phụ lục A. Tính ổn định, định lý Krein–Moser, các cải tiến và tài liệu tham khảo

1. Giới thiệu

Sự ổn định của các quỹ đạo tuần hoàn là chủ đề trọng tâm trong nghiên cứu các hệ Hamilton, quay trở lại vấn đề ổn định của hệ mặt trời trong cơ học thiên thể. Phổ biến trong nghiên cứu về ODE, khái niệm về tính ổn định nảy sinh bất cứ khi nào nghiên cứu các quỹ đạo trong các nhóm và sự phân nhánh của chúng, một thực tiễn đòi hỏi cả sự quan tâm về mặt lý thuyết và thực tiễn. Ví dụ, từ góc độ thiết kế sứ mệnh không gian, quỹ đạo được sử dụng để đỗ tàu vũ trụ quanh Mặt trăng mục tiêu phải ổn định nhất có thể, nhằm giảm thiểu việc điều chỉnh nhiên liệu và giữ nguyên trạm. Từ quan điểm toán học, các khái niệm chính về tính ổn định của một hệ thống có ba loại, liên quan với nhau bởi những hàm ý sau:

Độ ổn định phi tuyến tính (Lyapunov) ⇒ độ ổn định tuyến tính ⇒ độ ổn định quang phổ.

Nói một cách đại khái, độ ổn định phi tuyến tính có nghĩa là các quỹ đạo bắt đầu gần một quỹ đạo tuần hoàn nhất định sẽ luôn ở gần quỹ đạo đó. Độ ổn định tuyến tính tương ứng với độ ổn định của gốc đối với động lực tuyến tính hóa, tức là các quỹ đạo của hệ thống tuyến tính hóa phải luôn bị chặn. Đối với hệ Hamilton, điều này có nghĩa là các giá trị riêng của ma trận đơn hình của quỹ đạo tương ứng phải nằm trong vòng tròn đơn vị và là bán đơn. Mặt khác, độ ổn định quang phổ đòi hỏi tất cả các giá trị riêng đều nằm trong vòng tròn đơn vị, nhưng cho phép chúng có bội số (để các quỹ đạo có thể thoát ra vô tận trong thời gian đa thức, thay vì theo cấp số nhân). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung vào khái niệm ổn định tuyến tính .

Với sự có mặt của tính đối xứng, việc nghiên cứu độ ổn định tuyến tính của các quỹ đạo tuần hoàn được bảo toàn bởi tính đối xứng có thể được cải tiến đáng kể. Với mục đích này, tác giả đầu tiên và Urs Frauenfelder đã giới thiệu trong [FM] khái niệm về chuỗi GIT, như một sự cải tiến của sơ đồ ổn định Broucke [Br69], thông qua khái niệm chữ ký B. Chuỗi GIT bao gồm một chuỗi gồm ba không gian và bản đồ giữa chúng có cấu trúc liên kết mã hóa sự ổn định và sự phân nhánh của các quỹ đạo định kỳ, cũng như cấu hình giá trị riêng của chúng và gây trở ngại cho sự tồn tại của hình trụ quỹ đạo đều đặn. Ở kích thước thấp, các không gian có thể được hiển thị trong mặt phẳng hoặc trong không gian ba chiều, điều này khiến chúng có thể phù hợp với công việc số học. Chúng ta nên lưu ý rằng mặc dù trình tự GIT được thiết kế để nghiên cứu độ ổn định tuyến tính nhưng nó làm mờ đi sự khác biệt của nó với độ ổn định quang phổ.

Thật vậy, hãy nhớ lại rằng định lý Krein–Moser đưa ra một tiêu chí khi nào sự phân nhánh Kerin có thể xảy ra (tức là hai giá trị riêng eliptic của ma trận đơn điệu đến với nhau và sau đó phân nhánh ra khỏi đường tròn). Sự sàng lọc của chúng tôi đưa ra một tiêu chí tương tự cho trường hợp khi hai giá trị riêng hyperbol kết hợp với nhau ở một giá trị riêng hyperbol của bội số hai và sau đó trở nên phức tạp, nhưng đối với trường hợp quỹ đạo đối xứng. Chúng tôi gọi sự chuyển đổi như vậy là chuyển tiếp HN và giá trị riêng có bội số cao, giá trị riêng chuyển tiếp. Việc chuyển đổi như vậy có thể xảy ra hay không hoàn toàn được xác định bởi chữ ký B của giá trị riêng chuyển tuyến. Cụ thể, kết quả sau đây là hệ quả của nghiên cứu tôpô của chúng tôi về nhóm đối xứng.

Định lý A. Xét một Hamiltonian với bậc tự do tùy ý, thừa nhận tính đối xứng. Cho t 7→ γt , t ∈ [0, 1], là một họ quỹ đạo tuần hoàn đối xứng, trải qua quá trình chuyển tiếp HN. Khi đó chữ ký B của giá trị riêng chuyển tiếp là không xác định.

Định nghĩa về chữ ký B sẽ được đưa ra ở Phần 3, và chứng minh định lý này có ở Phụ lục A.

Sự nhìn nhận . Các tác giả rất biết ơn Urs Frauenfelder, người có ý tưởng truyền cảm hứng cho bài viết này. A. Moreno hiện được hỗ trợ bởi Sonderforschungsbereich TRR 191 Cấu trúc đối xứng trong Hình học, Đại số và Động lực học, được tài trợ bởi DFG (Projektnummer 281071066 – TRR 191), và cả DFG theo Chiến lược Xuất sắc EXC 2181/1 - 390900948 (Heidelberg) của Đức CẤU TRÚC Cụm xuất sắc).