Mở rộng cho các sơ đồ Hilbert: Phối cảnh ngăn xếp

Bảng liên kết

• Tóm tắt và giới thiệu
• Bối cảnh về phối cảnh nhiệt đới
• Việc xây dựng mở rộng
• Độ ổn định của GIT
• Phối cảnh ngăn xếp
• Ngăn xếp mô-đun chuẩn
• Người giới thiệu

5. Phối cảnh ngăn xếp

5.1 Các ngăn xếp và điều kiện ổn định

Trước khi mô tả sự thoái hóa mở rộng dưới dạng ngăn xếp, chúng tôi nhận xét về vai trò của ngăn xếp trong vấn đề này và về các điều kiện ổn định được xác định trong Phần 5.3.

Thay đổi cơ sở . Mục đích của chúng tôi là xây dựng sự thoái hóa của sơ đồ điểm Hilbert dưới dạng không gian mô đun tốt. Trong chứng minh Mệnh đề 6.1.2 và 6.1.4, chúng ta sẽ sử dụng tiêu chuẩn định giá để chứng minh sự đóng và tách phổ quát. Chúng ta sẽ thấy rằng lập luận này chỉ đúng với sự thay đổi cơ sở, đó là lý do tại sao chúng ta cần làm việc với ngăn xếp thay vì lược đồ.

Do đó, trong các phần sau, khi nghiên cứu các ngăn xếp thương, chúng ta sẽ muốn xem xét tập con của quỹ tích ổn định ổn định GIT chỉ chứa các sơ đồ con không chiều có độ dài m được hỗ trợ trơn tru trong một sợi X[n] cho trước. Việc xây dựng một phép rút gọn trong đó các giới hạn được biểu diễn bằng các sơ đồ con được hỗ trợ trơn tru cũng sẽ hữu ích cho các ứng dụng trong tương lai vì nó cho phép chúng ta phân tích bài toán sơ đồ Hilbert gồm m điểm trên một bề mặt đơn thành các tích của sơ đồ Hilbert nhỏ hơn m điểm trên thành phần mịn.

Định nghĩa 5.1.1. Chúng ta nói rằng một sợi trong một số suy thoái mở rộng X[n] có mã kích thước cơ sở k nếu chính xác k hướng cơ sở triệt tiêu ở sợi này. Điều này độc lập với giá trị n.

Làm cho sự thoái hóa mở rộng đủ lớn. Cuối cùng, nếu chúng ta xây dựng một thương GIT duy nhất trong đó không phải tất cả các lược đồ con giới hạn đều được hỗ trợ trơn tru thì các giới hạn được đưa ra bởi các đóng quỹ đạo chỉ chứa các lược đồ con có hỗ trợ đơn lẻ sẽ không nằm trong sợi của hệ số cơ sở dự kiến. Điều này mang lại trực giác rằng độ suy thoái mà chúng ta đã chọn là quá nhỏ. Như đã nói, có thể hữu ích khi nghĩ về thương số GIT này nếu điều chúng ta đang cố gắng làm chỉ đơn giản là giải quyết các điểm kỳ dị theo cách bảo tồn một số tính chất tốt của không gian, ví dụ như trong bối cảnh xây dựng các mô hình tối thiểu cho thoái hóa loại III Sơ đồ Hilbert của các điểm trên bề mặt K3.

5.2 Cấu trúc mở rộng cho ngăn xếp

5.3 Điều kiện ổn định.

Chúng tôi nhận xét rằng vì quỹ tích trơn của các sợi của X[n] là G-bất biến, nên việc giới hạn functor ở quỹ tích này sẽ bảo toàn G-bất biến. Do đó, các hạn chế của quỹ tích bán ổn định và ổn định đối với quỹ tích của các lược đồ con được hỗ trợ trơn tru mang lại các lược đồ con mở G-bất biến.

Chúng tôi có các sự bao gồm sau:

Li-Wu ổn định. Ở đây chúng tôi nhớ lại khái niệm về độ ổn định được sử dụng trong [LW15], để so sánh nó với độ ổn định GIT và xây dựng điều kiện ổn định thích hợp cho trường hợp này.

Độ ổn định GIT được sửa đổi. Như đã nêu ở trên, chúng ta chỉ muốn cho phép các sơ đồ con không thứ nguyên có độ dài m ổn định nếu điểm tựa của chúng nằm trong quỹ tích trơn của sợi. Tuy nhiên, việc hạn chế điều kiện ổn định GIT đối với quỹ tích này làm cho không gian của các lược đồ con ổn định không còn đóng về mặt phổ biến. Thật vậy, không có điều kiện GIT đơn lẻ nào có thể biểu diễn tất cả các lược đồ con không chiều có độ dài m mong muốn dưới dạng các lược đồ con được hỗ trợ trơn tru. Do đó, chúng ta phải xác định một điều kiện ổn định GIT đã được sửa đổi để vá một số điều kiện ổn định GIT lại với nhau để có được quỹ tích ổn định mong muốn.