Định lý gương cho các gói Toric không phân chia: Tóm tắt và giới thiệu

Bảng liên kết

• Tóm tắt và giới thiệu
• Lý thuyết Gromov-Witten Genus-zero
• Gói Toric
• Nón Lagrange của bó Toric
• Định lý gương cho tích các bó xạ ảnh
• Định lý gương cho gói Toric
• Phụ lục A. Biến đổi Fourier tương đương và tham chiếu

trừu tượng

Chúng tôi xây dựng hàm I cho các gói hình xuyến thu được dưới dạng thương số GIT theo sợi của gói vectơ (không nhất thiết phải tách). Đây là sự tổng quát hóa hàm I của Brown cho các bó hình xuyến được phân chia [5] và hàm I cho các bó xạ ảnh không phân chia [21]. Để chứng minh định lý gương, chúng tôi thiết lập đặc tính của các điểm trên nón Givental Lagrange của các bó hình xuyến và chứng minh định lý gương cho lý thuyết Gromov-Witten xoắn của tích sợi của các bó xạ ảnh. Kết quả trước đây khái quát hóa đặc tính của Brown đối với các bó hình xuyến được chia [5] cho trường hợp không phân chia.

1. Giới thiệu

Lý thuyết Gromov-Witten giống-không của đa dạng xạ ảnh trơn X đóng một vai trò quan trọng trong hình học đối xứng, hình học đại số và đối xứng gương. Nó có thể được nghiên cứu bằng định lý gương [13], nghĩa là bằng cách tìm một điểm thuận tiện (được gọi là hàm I) trên nón Lagrangian Givental LX [14]. Nón LX là một đa tạp Lagrangian của không gian vectơ đối xứng vô hạn chiều HX, được gọi là không gian Givental, và được xác định bởi các bất biến Gromov-Witten hấp dẫn giống 0. Một định lý gương cho X cho phép chúng ta tính toán các bất biến Gromov-Witten giống 0 của X và nghiên cứu đối đồng điều lượng tử.

Đây là sự tổng quát hóa kết quả của Brown [5, Định lý 2], đưa ra đặc tính tương tự cho các bó hình xuyến được chia. Ngoài ra còn có các kết quả mô tả đặc tính tương tự đối với các giống/chồng khác; xem [8, 23, 11].

Kết quả này là sự tổng quát hóa đơn giản của định lý gương cho các bó xạ ảnh không phân chia [21, Định lý 3.3]. Thành phần chính của chứng minh là định lý Riemann-Roch lượng tử [9, Hệ quả 4] và thực tế nổi tiếng [24] rằng Gromov-Witten bất biến của quỹ tích 0 của tiết diện chính quy của bó vectơ lồi trên nhiều X được cho bởi các bất biến Gromov-Witten xoắn của X.

Cac kê hoạch của bai bao như sau. Trong Phần 2, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về bất biến GromovWitten và giới thiệu nón Givental không tương đương/tương đương/xoắn và định lý Riemann-Roch lượng tử. Trong Phần 3, chúng tôi giới thiệu khái niệm bó toric phân tách/không phân chia và tóm tắt cấu trúc đối đồng điều và nửa nhóm được tạo ra bởi các lớp đường cong hiệu quả, sẽ cần thiết trong các phần tiếp theo. Trong Phần 4, chúng ta thiết lập một định lý mô tả đặc tính (Định lý 4.2) cho các điểm trên nón Lagrange của một bó hình xuyến. Trong Mục 5, chúng tôi chứng minh định lý gương xoắn cho lý thuyết Gromov-Witten xoắn của tích sợi của các bó xạ ảnh trên B. Trong Mục 6, chúng tôi chứng minh kết quả chính (Định lý 6.1) của bài báo, đó là định lý gương cho ( có thể không phân chia) các bó toric. Trong Phụ lục A, chúng tôi giải thích ngắn gọn về biến đổi Fourier của hình nón Givental và kiểm tra xem hàm I của chúng tôi có trùng với biến đổi Fourier của hàm I của một bó vectơ hay không.

Sự nhìn nhận . Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Hiroshi Iritani vì sự hướng dẫn và hỗ trợ nhiệt tình trong suốt quá trình viết bài viết này. Anh ấy cũng xin cảm ơn Yuan-Pin Lee và Fumihiko Sanda vì những cuộc thảo luận rất hữu ích. Công việc này được hỗ trợ bởi Số tài trợ JSPS KAKENHI 22KJ1717.