Mở rộng cho các sơ đồ Hilbert: Tóm tắt và giới thiệu

Bảng liên kết

• Tóm tắt và giới thiệu
• Bối cảnh về phối cảnh nhiệt đới
• Việc xây dựng mở rộng
• Độ ổn định của GIT
• Phối cảnh ngăn xếp
• Ngăn xếp mô-đun chuẩn
• Người giới thiệu

trừu tượng

Mục đích của bài viết này là mở rộng cách xây dựng thoái hóa mở rộng của Li và Wu để thu được sự thoái hóa tốt của sơ đồ điểm Hilbert trên các họ bề mặt bán ổn định, cũng như thảo luận về các điều kiện ổn định thay thế và sự tương đồng với cách xây dựng GIT của Gulbrandsen, Halle và Cấu trúc sơ đồ Hulek và logarit Hilbert của Maulik và Ranganathan. Chúng tôi xây dựng một sự thoái hóa tốt của sơ đồ điểm Hilbert như một ngăn xếp Deligne-Mumford thích hợp và cho thấy rằng nó cung cấp một ví dụ có ý nghĩa về mặt hình học về một công trình phát sinh từ công trình của Maulik và Ranganathan.

1. Giới thiệu

Việc nghiên cứu không gian mô đun là chủ đề trọng tâm của hình học đại số; Trong số các không gian moduli, sơ đồ Hilbert tạo thành một lớp ví dụ quan trọng. Chúng đã được nghiên cứu rộng rãi trong lý thuyết biểu diễn hình học, hình học liệt kê và tổ hợp và là hai ví dụ chính của đa tạp hyperk¨ahler, đó là sơ đồ Hilbert của các điểm trên bề mặt K3 và các đa tạp Kummer tổng quát. Một hướng nổi bật trong lĩnh vực này là hiểu không gian mô đun cục bộ của các đối tượng như vậy và đặc biệt là các cách thức mà sự thoái hóa của các sơ đồ Hilbert trơn tru có thể được đưa ra cho sự nén chặt mô đun.

Ví dụ, chúng ta có thể xem xét hình học của sơ đồ Hilbert tương đối trên một suy thoái mà sợi trung tâm của nó có các điểm kỳ dị cắt ngang bình thường. Sau đó, chúng ta có thể hỏi làm thế nào các điểm kỳ dị của sơ đồ Hilbert như vậy có thể được giải quyết trong khi vẫn bảo toàn một số tính chất nhất định của nó hoặc làm thế nào nó có thể được biểu diễn dưới dạng một không gian mô đun tốt. Sau đó, điều này trở thành một vấn đề về nén đối với ranh giới được cho bởi quỹ tích kỳ dị. Trong lịch sử, một phương pháp quan trọng được sử dụng trong các bài toán mô đun và nén là Lý thuyết bất biến hình học (GIT). Gần đây hơn, công trình của Maulik và Ranganthan [MR20] đã khám phá cách sử dụng các phương pháp hình học nhiệt đới và logarit để giải quyết các câu hỏi như vậy đối với sơ đồ Hilbert. Điều này được xây dựng dựa trên công trình trước đây của Li [Li13], Li và Wu [LW15] về suy biến mở rộng cho sơ đồ Quot và công trình của Ranganathan [Ran22b] về lý thuyết Gromov-Witten logarit với các khai triển.

Nói ngắn gọn, mục đích của bài viết này là cung cấp các ví dụ rõ ràng về việc nén như vậy và khám phá mối liên hệ giữa các phương pháp này.

1.1 Thiết lập cơ bản

Như đã đề cập trong Phần 1.3, kiểu xây dựng này có thể được áp dụng để xây dựng sự thoái hóa loại III của sơ đồ Hilbert của các điểm trên bề mặt K3. Điều này sẽ được mô tả trong công việc trong tương lai.

1.2 Công việc trước đây trong lĩnh vực này

Tiếp theo [LW15], Gulbrandsen, Halle và Hulek [GHH19] trình bày phiên bản GIT của cấu trúc trên trong trường hợp sơ đồ điểm Hilbert. Chúng xây dựng một sự thoái hóa mở rộng rõ ràng, tức là một họ đã được biến đổi trên một bazơ lớn hơn, mà các sợi của nó tương ứng với sự bùng nổ của các thành phần X0 trong họ. Họ trình bày một bó đường được tuyến tính hóa trên không gian này cho hoạt động hình xuyến tự nhiên và họ có thể chỉ ra rằng trong trường hợp này, tiêu chí Hilbert-Mumford đơn giản hóa thành tiêu chí tổ hợp thuần túy. Bằng cách sử dụng điều này, họ áp đặt điều kiện ổn định GIT để phục hồi các sơ đồ con không chiều ngang của Li và Wu và chứng minh rằng thương số ngăn xếp tương ứng là đẳng cấu với thương số của Li và Wu. Động lực của công việc này là xây dựng sự thoái hóa loại II của sơ đồ điểm Hilbert trên bề mặt K3. Thật vậy, sự thoái hóa tốt loại II của bề mặt K3 thể hiện những loại kỳ dị này trong sợi đặc biệt, đó là một chuỗi các bề mặt giao nhau dọc theo những đường cong trơn tru.

Có công trình gần đây hơn của Maulik và Ranganathan [MR20], dựa trên những ý tưởng trước đó của Ranganathan [Ran22b] và kết quả của Tevelev [Tev07], trong đó họ sử dụng các kỹ thuật logarit và hình học nhiệt đới để xây dựng các khai triển thích hợp của X ! C. Điều này cho phép họ xác định các nhóm moduli của các sơ đồ con ngang bắt đầu từ trường hợp X0 là một giống lai bình thường đơn giản bất kỳ. Họ cho thấy rằng các ngăn xếp được xây dựng như vậy là phù hợp và phù hợp với Deligne-Mumford. Để biết thêm chi tiết về điều này, xem Phần 2.2.

1.3 Kết quả chính

Hãy để X! C là sự thoái hóa bán bền của bề mặt. Trong các phần sau, chúng tôi đề xuất các cấu trúc rõ ràng của sự thoái hóa mở rộng và các ngăn xếp có chiều dài ổn định m các sơ đồ con không chiều trên các họ mở rộng này, mà chúng tôi cho thấy là có các đặc tính tốt.

Cho phép lựa chọn mở rộng khác nhau. Trong bài viết này, chúng tôi chỉ thảo luận về một lựa chọn mô hình cụ thể cho sơ đồ điểm Hilbert mà chúng tôi gọi là ngăn xếp mô đun chính tắc. Trong công việc sắp tới, chúng tôi sẽ nghiên cứu cách mở rộng các phương pháp này để mô tả các lựa chọn mô hình khác. Chúng tôi sẽ xem xét một cách tiếp cận tương tự với công việc của Kennedy-Hunt về sơ đồ Quot logarit [Ken23], cũng như khôi phục một số lựa chọn có ý nghĩa về mặt hình học của các ngăn xếp mô đun phát sinh từ các phương pháp của Maulik và Ranganathan [MR20]. Đặc biệt, chúng ta sẽ thảo luận về cách các thành phần ống và độ ổn định của DonaldsonThomas xuất hiện trong bức tranh trong những trường hợp tổng quát hơn này (xem Phần 2.2 để biết định nghĩa).

1.4 Tổ chức

Chúng tôi bắt đầu, trong Phần 2, bằng cách đưa ra một số thông tin cơ bản về logarit và hình học nhiệt đới, cũng như tổng quan về công trình của Maulik và Ranganathan từ [MR20] mà chúng tôi sẽ đề cập đến trong các phần sau. Sau đó, trong Phần 3, chúng tôi đặt ra một cách xây dựng mở rộng trên các lược đồ và, trong Phần 4, chúng tôi thảo luận về cách có thể xác định các điều kiện ổn định GIT khác nhau trên cách xây dựng này. Trong Phần 5, chúng tôi mô tả một loạt các khai triển tương ứng và họ trên đó, xây dựng trên các thoái hóa mở rộng mà chúng tôi đã xây dựng dưới dạng sơ đồ. Trong Phần 6, chúng tôi mở rộng các điều kiện ổn định cho cài đặt này. Sau đó, chúng tôi chỉ ra rằng các ngăn xếp của các đối tượng ổn định được xác định có các thuộc tính Deligne-Mumford và tính đúng đắn mong muốn.

Sự nhìn nhận . Tôi muốn cảm ơn Gregory Sankaran vì tất cả sự hỗ trợ của anh ấy trong suốt dự án này. Tôi cũng xin cảm ơn các giám khảo tiến sĩ của tôi, Alastair Craw và Dhruv Ranganathan, vì nhiều nhận xét hữu ích của họ. Công việc này được thực hiện với sự tài trợ của Giải thưởng Sinh viên Nghiên cứu của Đại học Bath. Tôi cũng biết ơn Patrick Kennedy-Hunt và Thibault Poiret vì nhiều cuộc trò chuyện thú vị.