Değişmeyen crepant çözünürlüklerin mutasyonları: Değiştirici modüllerin Değişimleri ve Mutasyonları

Bağlantı Tablosu

• Özet ve Giriş
• Modifiye modüllerinin değişimi ve mutasyonları
• Yarı simetrik gösterim ve GIT bölümü
• Ana sonuçlar
• Calabi-Yau kavşaklarının tamamlanmasına yönelik başvurular
• Ek A. Matris çarpanlarına ayırma
• Ek B. Gösterim Listesi
• Referanslar

2. Modifiye modüllerinin değişimi ve mutasyonları

2.1. Değişmeyen crepant çözünürlüğü. Bu bölüm, bu makalede incelenen bazı temel kavramların tanımını hatırlatmaktadır.

(1) Eğer EndR(M) (maksimum) bir Cohen-Macaulay R-modülü ise, dönüşlü bir R modülü M'ye değiştirici modül adı verilir.

(2) Dönüşlü bir M modülünün değişmeli olmayan bir crepant çözünürlüğü (=NCCR) Λ = EndR(M) verdiğini söylüyoruz, eğer M değişiyorsa ve Λ cebiri sonlu global boyuta sahipse.

Açıklama 2.4. NCCR tanımımızın [Van3] veya [IW1]'deki tanımdan farklı olduğunu unutmayın. Ancak R, d-sCY ise tanımımız diğer tanımlara eşdeğerdir. Bkz. [Van3, Lemma 4.2] veya [IW1, Lemma 2.23].

K ∈ addL'den öyle ki, indüklenen morfizm α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) örtendir. Eğer L = N ise, α'ya M'nin sağ (addL)-yaklaşımı deriz. Bir sağ (L ekle)N - yaklaşıklık α: K → M'nin M'sinin minimal olduğu söylenir, eğer herhangi bir endomorfizm φ ∈ End(K) tatmin ediciyse α◦φ = α bir otomorfizmdir ve K'nin herhangi bir doğrudan K′ toplamı Ker(α)'da içermiyorsa α'nın indirgendiğini söyleriz. Doğru yaklaşımın minimum olması durumunda azaltılacağına ve R'nin yerel olarak tam olması durumunda bunun tersinin de geçerli olduğuna dikkat edin.

Tanım 2.6. R normal bir d-sCY olsun ve M, N, L ∈ ref R olsun.

Lemma 2.7. Gösterim yukarıdakiyle aynıdır

(1) Eğer L ′ ∈ addL ise bir dahil etme vardır

azaltılmış takaslarla sınırlandırıldığında bu durum geçerliliğini koruyor.

(2) Eğer N′ ∈ N eklerse, bir dahil etme vardır

azaltılmış takaslarla sınırlandırıldığında bu durum geçerliliğini koruyor.

(3) Başka bir tam alt kategori olan S ′ ⊆ ref R için bir ekleme vardır

Eğer R tamamen yerel ise, benzer dahil etme azaltılmış değişimler için de geçerlidir.

Kanıt . (1), (2) ve (3)'teki ilk iddia açıktır. (3)'teki ikinci iddia, eğer R tam yerel ise, iki yaklaşım α: K → M ve α ′ : K′ → M′ ancak ve ancak α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ ise azaltılır. → M ⊕ M′ azalır.

Kanıt . Hom(N, M ⊕ N)'nin Cohen-Macaulay olduğunu varsayalım ve tam bir dizi düşünün

0 → F Ker α → FK → FM → 0.

Şimdi bu diziye Hom(-, FR) funktorunu dönüşlü eşdeğerlikle birlikte uygulamak ikili dizinin şunu kanıtlıyor:

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

kesindir.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

kesin olarak kalır. Orijinal dizideki tüm modüller dönüşlü olduğundan, dönüşlü eşdeğerlik ve dualite bir izomorfizm verir

ve dizinin kesinliğini ima eden K ve Ker α için benzer izomorfizmler

0 → Hom(N ∗ , M∗ ) → Hom(N ∗ , K∗ ) → Hom(N ∗ ,(Ker α) ∗ ) → 0.

Böylece ikili morfizm

K∗ → (Ker α) ∗

M∗ çekirdeği ile bir sağ (L ∗ ekle)N∗ -yaklaşımıdır, bu da ilk iddiayı kanıtlar. İkinci iddia da benzer bir argümanın sonucudur.

Aşağıda, bir değiştirme modülünün doğrudan toplamının değiştirilmesinin, güzel durumlarda yeni bir değiştirme modülü sağladığı belirtilmektedir.

Lemma 2.10. M ∈ ref R olsun. Aşağıdaki denklik geçerlidir.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Kanıt. R'nin yerel olduğunu varsayabiliriz. M dönüşlü olduğundan yönü (⇒) göstermesi yeterlidir. R Gorenstein olduğu için birebir boyutu sonludur. Dolayısıyla sonuç [BH, Önerme 3.3.3 (b)]'den çıkar.

Lemma 2.11. R bir Gorenstein normal halkası olsun ve M, N ∈ ref R olsun. O halde

Kanıt . Yönü kanıtlamak yeterlidir (⇒). Hom(M, N) ∈ CM R olduğunu varsayalım. Bu durumda Lemma 2.10, Hom(M, N) ∗ ∈ CM R anlamına gelir. Ancak Lemma [IW1, Lemma 2.9]'a göre Hom(M, N) ∗ ∼ izomorfizmi vardır. = Hom(N, M), bu da Hom(N, M) ∈ CM R olduğunu gösterir.

m < 0'ın benzer olduğu durumun kanıtı.

Açıklama 2.13. Sağ yaklaşım genel olarak benzersiz olmadığından sağ/sol mutasyon da benzersiz değildir. Bununla birlikte, sağ/sol mutasyon, eklemeli kapanmaya kadar benzersizdir [IW1, Lemma 6.2] ve eğer R, tam lokal ise, minimal mutasyonlar, izomorfizme kadar benzersizdir.

Teorem 2.14 ([IW1, Önerme 6.5, Teorem 6.8, Teorem 6.10]). M ∈ ref R, değiştirici bir R modülü olsun.

2.3. Devirme demetleri ve mutasyonlar. Bu bölümde demetlerin cebirsel yığınlar üzerinde eğilmesi anlatılmaktadır. Cebirsel yığınların türetilmiş kategorilerine ilişkin bazı temel gerçekleri hatırlayarak başlıyoruz.