Um teorema do espelho para pacotes tóricos não divididos: resumo e introdução

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Teoria de Gromov-Witten do gênero zero
• Pacotes Tóricos
• Cones Lagrangianos de feixes tóricos
• Teorema do espelho para um produto de fibrados projetivos
• Teorema do Espelho para Pacotes Tóricos
• Apêndice A. Transformação Equivariante de Fourier e Referências

Abstrato

Construímos uma função I para fibrados tóricos obtidos como um quociente GIT fibra de um fibrado vetorial (não necessariamente dividido). Esta é uma generalização da função I de Brown para fibrados tóricos divididos [5] e da função I para fibrados projetivos não divididos [21]. Para provar o teorema do espelho, estabelecemos uma caracterização de pontos nos cones Lagrangianos de Givental de fibrados tóricos e provamos um teorema do espelho para a teoria torcida de Gromov-Witten de um produto de fibra de fibrados projetivos. O primeiro resultado generaliza a caracterização de Brown para fibrados tóricos divididos [5] para o caso não dividido.

1. Introdução

A teoria de Gromov-Witten do gênero zero de uma variedade projetiva suave X desempenha um papel significativo na geometria simplética, geometria algébrica e simetria de espelho. Pode ser estudado por um teorema do espelho [13], ou seja, encontrando um ponto conveniente (chamado de função I) no cone Lagrangiano de Givental LX [14]. O cone LX é uma subvariedade Lagrangiana de um espaço vetorial simplético de dimensão infinita HX, chamado de espaço Givental, e é definido por invariantes gravitacionais de Gromov-Witten do gênero zero. Um teorema do espelho para X nos permite calcular invariantes de Gromov-Witten de gênero zero de X e estudar a cohomologia quântica.

Esta é uma generalização do resultado de Brown [5, Teorema 2], que dá a mesma caracterização para fibrados tóricos divididos. Existem também resultados de caracterização semelhantes para outras variedades/pilhas; veja [8, 23, 11].

Este resultado é uma generalização direta do teorema do espelho para fibrados projetivos não divididos [21, Teorema 3.3]. O ingrediente chave da prova é o teorema quântico de Riemann-Roch [9, Corolário 4] e o fato bem conhecido [24] de que os invariantes de Gromov-Witten do lugar geométrico zero de uma seção regular de um fibrado vetorial convexo sobre uma variedade X são dados por invariantes torcidos de Gromov-Witten de X.

O plano do papel é o seguinte. Na Seção 2, relembramos a definição de invariantes de GromovWitten e introduzimos os cones de Givental não equivariantes/equivariantes/torcidos e o teorema quântico de Riemann-Roch. Na Seção 3, introduzimos a noção de fibrados tóricos divididos/não-divididos e resumimos a estrutura da cohomologia e dos semigrupos gerados pelas classes de curvas efetivas, que serão necessários nas seções subsequentes. Na Seção 4, estabelecemos um teorema de caracterização (Teorema 4.2) para pontos no cone Lagrangiano de um fibrado tórico. Na Seção 5, provamos um teorema do espelho para a teoria torcida de Gromov-Witten de um produto de fibra de fibrados projetivos sobre B. Na Seção 6, provamos o resultado principal (Teorema 6.1) deste artigo, ou seja, um teorema do espelho para ( possivelmente feixes tóricos não divididos. No Apêndice A, explicamos brevemente uma transformada de Fourier dos cones de Givental e verificamos que nossa função I coincide com a transformada de Fourier da função I de um fibrado vetorial.

Reconhecimentos . O autor está profundamente grato a Hiroshi Iritani pela sua orientação e apoio entusiástico durante a escrita deste artigo. Ele também gostaria de agradecer a Yuan-Pin Lee e Fumihiko Sanda pelas discussões muito úteis. Este trabalho foi apoiado pela JSPS KAKENHI Grant número 22KJ1717.