Expansões para esquemas de Hilbert: a pilha de módulos canônicos

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

6. A pilha de módulos canônicos

6.1 Propriedade e propriedade Deligne-Mumford

Existência e unicidade de limites para objetos especiais. Precisamos estabelecer algumas definições antes de provarmos o seguinte resultado auxiliar sobre a existência e unicidade de limites para elementos especiais, ou seja, quando a fibra Xη sobre o ponto genérico de S é ela própria uma fibra especial modificada.

Começamos por provar a existência e unicidade de limites no primeiro caso utilizando o critério valorativo. Seja V a componente irredutível de Xη no interior da qual P se encontra. Observe que como P tende para uma codimensão maior ou igual a um estrato de X, então para que seu limite seja suavemente suportado em uma extensão de (Zη, Xη), será necessário expandir pelo menos um componente ∆ nesta extensão. Existe uma suavização do interior de V na fibra sobre o ponto genérico para o interior desta componente ∆ expandida em tal extensão de (Zη, Xη) se e somente se esta componente ∆ for igual a V na fibra sobre o ponto genérico. Além disso, se não existir tal componente ∆ igual a V, então nenhuma das coordenadas x, y ou z pode tender para zero (porque ambos os lados das equações definidoras devem tender para zero).

Propriedade Deligne-Mumford. Finalmente mostramos que ambas as pilhas de objetos estáveis construídas possuem automorfismos finitos.

Prova . Isto decorre diretamente dos resultados desta seção.

6.2 Um isomorfismo de pilhas

Precisaremos também do seguinte resultado de Alper e Kresch [AK16].

Agora estamos em condições de provar o seguinte teorema: