Expansões para Esquemas de Hilbert: Antecedentes da Perspectiva Tropical

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

2. Antecedentes da perspectiva tropical

Introduzimos aqui brevemente a linguagem da geometria tropical e logarítmica no contexto deste problema. Para mais detalhes sobre o conteúdo desta seção, consulte o artigo [Log], notas de aula [Ran22a], bem como a primeira seção de [MR20].

2.1 Tropicalização e expansão

As subdivisões da tropicalização definem expansões de X. A seguir, desejaremos estudar possíveis modificações birracionais do esquema X em torno do divisor D. Na linguagem tropical, estas são expressas como subdivisões.

Uma subdivisão da tropicalização define uma modificação birracional de X da seguinte maneira. A subdivisão

2.2 Construção Maulik-Ranganathan

Relembraremos brevemente alguns pontos-chave de [MR20]. O objetivo de seu trabalho é estudar o espaço de módulos de feixes ideais de tipo numérico fixo que encontram transversalmente o divisor de fronteira. Algumas motivações importantes para o estudo de tal objeto vêm da geometria enumerativa. Por exemplo, um método comum usado para resolver problemas de contagem de curvas em uma dada variedade suave é degenerar esta variedade em uma união singular de componentes irredutíveis mais simples. A propriedade da transversalidade é então crucial para garantir que todo comportamento interessante dos feixes ideais no objeto degenerado ocorra com apoio no interior dos componentes irredutíveis mais simples, o que nos permite estudá-lo com mais facilidade. Uma das principais dificuldades com esta abordagem é que muitas vezes, como nesta configuração, o espaço das roldanas transversais ideais em relação a D é não compacto. Construir a compactação apropriada produzirá um espaço que é plano e próprio sobre C. Em [MR20], Maulik e Ranganathan formulam a teoria de Donaldson-Thomas do par (X, D), começando por construir compactações do espaço de feixes ideais em X transversal a D.

Discutimos [MR20] especificamente no que diz respeito ao caso que nos interessa aqui, nomeadamente o de uma degeneração X! C conforme descrito acima, onde buscamos estudar o espaço de módulos de feixes ideais com polinômio de Hilbert constante fixa m, para algum m ∈ N em relação ao divisor de fronteira D = X0. A ideia chave é construir a tropicalização de X, denotada por ΣX , e um mapa de tropicalização correspondente, que é utilizado para compreender como obter as propriedades de transversalidade desejadas nas nossas compactações.

Existência e unicidade de limites transversais. Maulik e Ranganathan introduzem noções de transversalidade dimensional e transversalidade forte, que, no caso específico dos esquemas de pontos de Hilbert, são equivalentes à estabilidade de Li-Wu (ver Seção 5.3 para uma definição desta condição de estabilidade). No entanto, em geral, para subregimes de dimensões superiores, este não será o caso.

Esta operação resulta em não-unicidade, pois estamos fazendo uma escolha de subdivisão poliédrica e em geral não há escolha canônica.

A adição destes vértices tubulares na tropicalização significa que existem mais componentes potenciais em cada expansão, o que interfere nos resultados de unicidade previamente configurados. Na verdade, lembre-se que trop(Z ◦ ) nos deu exatamente o número certo de vértices no complexo dual para que cada família de subesquemas Z ◦ ⊂ X◦ tenha um único representante de limite. Portanto, para refletir isso, a estabilidade de Donaldson-Thomas exige que os subesquemas sejam estáveis em termos de DT se e somente se forem esquemas de tubos precisamente ao longo dos componentes do tubo. Dizemos que um subesquema unidimensional é um tubo se for a pré-imagem esquemática de um subesquema zerodimensional em D. No caso dos esquemas de pontos de Hilbert, esta condição se traduzirá simplesmente em um subesquema Z de dimensão 0 sendo DT estável se e somente se nenhum componente do tubo contiver um ponto de suporte de Z e todos os outros componentes irredutíveis expandidos por nossas ampliações contiverem pelo menos um ponto de suporte de Z.

Maulik e Ranganathan definem um subesquema como estável se for fortemente transversal

e DT estável. Para invariantes numéricos fixos, a subpilha de subesquemas estáveis no espaço de expansões forma uma pilha Deligne-Mumford, própria e separada, de tipo finito sobre C.

Comparação com os resultados deste artigo. A construção que apresentamos neste artigo tem a surpreendente propriedade de não precisarmos rotular nenhum componente como tubos para que a pilha de objetos estáveis que definimos seja adequada. Este é um artefato das escolhas específicas de explosões a serem incluídas em nossas degenerações expandidas. O trabalho de Maulik e Ranganathan mostra-nos que isto não é esperado em geral. Conforme mencionado na Seção 1.3, discutiremos em um próximo artigo como construir pilhas adequadas de objetos estáveis em casos onde diferentes escolhas de expansões são feitas e se torna necessário introduzirmos também uma condição de estabilidade de Donaldson-Thomas.