Expansões para esquemas de Hilbert: perspectiva de pilha

Tabela de links

• Resumo e introdução
• Antecedentes na perspectiva tropical
• A construção ampliada
• Estabilidade do TGI
• Perspectiva de pilha
• A pilha de módulos canônicos
• Referências

5. Perspectiva da pilha

5.1 Pilhas e condições de estabilidade

Antes de descrevermos as degenerações expandidas como pilhas, comentamos o papel das pilhas neste problema e as condições de estabilidade definidas na Seção 5.3.

Mudança básica . Nosso objetivo é construir degenerações de esquemas de pontos de Hilbert como bons espaços de módulos. Nas provas das Proposições 6.1.2 e 6.1.4, utilizaremos o critério valorativo para provar o fechamento universal e a separatividade. Veremos que este argumento só se aplica à mudança de base, e é por isso que é necessário trabalharmos com pilhas em vez de esquemas.

Nas seções seguintes, ao estudar pilhas de quocientes, desejaremos, portanto, considerar o sublocus do locus estável estável do GIT contendo apenas subesquemas de dimensão zero de comprimento m que são suavemente suportados em uma determinada fibra de X[n]. Construir uma compactação na qual os limites são representados por subesquemas suavemente suportados também será útil para aplicações futuras, pois nos permite decompor o problema de um esquema de Hilbert de m pontos em uma superfície singular em produtos de esquemas de Hilbert de menos de m pontos em componentes suaves.

Definição 5.1.1. Dizemos que uma fibra em alguma degeneração expandida X[n] tem codimensão de base k se exatamente k direções de base desaparecem nesta fibra. Isso é independente do valor n.

Tornando as degenerações expandidas suficientemente grandes. Finalmente, se construirmos um quociente GIT único no qual nem todos os subesquemas limites são suavemente suportados, então os limites dados pelos fechamentos de órbita contendo apenas subesquemas com suporte singular não estarão em uma fibra da codimensão base esperada. Isto dá a intuição de que a degeneração que escolhemos é muito pequena. Dito isto, pode ser útil pensar sobre este quociente GIT se o que estamos tentando fazer é simplesmente resolver singularidades de uma forma que preserve algumas boas propriedades do espaço, por exemplo, no contexto da construção de modelos mínimos para degenerações do tipo III de esquemas de Hilbert de pontos em superfícies K3.

5.2 Construção expandida para pilhas

5.3 Condições de estabilidade.

Observamos que como o locus liso das fibras de X[n] é invariante em G, restringir o functor a este locus preserva a invariância em G. As restrições dos loci semiestáveis e estáveis aos loci de subesquemas suavemente suportados produzem, portanto, subesquemas abertos G-invariantes.

Temos as seguintes inclusões:

Estabilidade Li-Wu. Relembramos aqui a noção de estabilidade utilizada em [LW15], para compará-la com a estabilidade do TGI e construir uma condição de estabilidade apropriada para este caso.

Estabilidade do GIT modificada. Como afirmado acima, só queremos permitir que subesquemas de dimensão zero de comprimento m sejam estáveis se o seu suporte estiver no lugar geométrico suave de uma fibra. Contudo, restringir a condição de estabilidade do TGI a este locus faz com que o espaço dos subregimes estáveis deixe de ser universalmente fechado. Na verdade, não existe uma única condição GIT que possa representar todos os subesquemas de dimensão zero m de comprimento desejado como subesquemas suavemente suportados. Devemos, portanto, definir uma condição de estabilidade do GIT modificada que reúna várias condições de estabilidade do GIT, a fim de obter o locus estável desejado.