O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z

U o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Apparently, not even Tesla - with its 1.4 Trillion valuation and army of PhDs - knows about this math. Bu o‘z sizni yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z yo‘z. The Tesla Self-Driving Blooper Reel: O‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. - Fantaziyalı braking Fantaziyalı braking Fantaziyalı braking O‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. - Surprise Party turni Surprise Party turni Surprise Party turni O‘z Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. O‘z o‘z autostrada. - O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z vibratsiya O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z “Why Did It Do That?” – o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. – o‘z The “Why Did It Do That?” “Why did it do that?” “Why did it do that?” “gradient descent, probably. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Tesla o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. O‘z Google, Meta, OpenAI, o‘z o‘z sa‘z bütün kompani yo‘z PowerPoint PowerPoint strategiyadi. Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Bu simptomlar o‘zingizdir, amma o‘zingizdir. O‘z o‘z bilan matematika o‘z bu‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Bu yolda o‘z qo‘yim but not “ ” How sharply is this about to change? “Not” ” Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? It’s like asking a GPS for directions but never checking if there’s a cliff ahead. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Kalkula Kalkula As said, in the case of Tesla what is happening is that their cars are reacting to what’s happening right now, not anticipating what’s about to happen. Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. “Mizga o‘z o‘z, o‘z o‘z, o‘z o‘z o‘z”. Chess players call this “beginner level.” Tesla calls it “Full Self-Driving.” “Chess players call this “beginner level.” Tesla o‘z “Full Self-Driving”. Tesla injinerlar, silicon valleyni o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. O‘z 60 yildan o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: . dual/jet numbers Men o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Bu hyperreal-related algebras (duals and jets) o‘z second derivatives (HVP) o‘z bilan bilan trivial operations o‘z two first-order operators (JVP VJP). And yet, these hyperreal-related algebras (duals and jets) make second derivatives (HVP) a computationally trivial operation through the elegant composition of two first-order operators (JVP ∘ VJP). Bu hyperreal-related algebras (duals and jets) o‘z second derivatives (HVP) o‘z bilan bilan trivial operations o‘z two first-order operators (JVP VJP). U o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z... Bu “gold-standard” h-limit kalkulonni o‘z bilan, o‘z duals/jets o‘z trivial... o‘z o‘z tradisyonal h-limit kalkulonni o‘ziz Ivy-League kurslar o‘zol standardni trivial, o‘z duals/jet numara, o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z curve-related problemlar o‘zimizni? H-limit bilan bilan Jetlar / Jetlar H-limit kalkulusga kompjuter bilan qaytaradi. Duo/Jet numaralarla trivial, O‘z o‘z o‘z. And it gets worse. Hiperreal Revolution: Calculus professor sizga o‘z sizga qo‘yadi Siz koledga o‘z qilmadi — o‘z sizga differential equations, optimization theory, and machine learning courses — Yalnız o‘z . isn’t wrong incomplete O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Here’s the specific problem: Traditional calculus (the h-limit approach): F'(x) = lim[h→0] (f(x+h) - f(x)) / h Bu definadi derivatives as — which means: limitli limitli Mathematically rigorous. Teoriyamlar va o‘zingizdir. 🔸 Computationally nightmarish for anything beyond first derivatives. Computationally nightmarish for anything beyond first derivativ : Niyə ? O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Niyə ? Limiti limit F'(x+h) = lim[h'→0] (f(x+h+h') - f(x+h)) / h' O‘z itself requires computing: f'(x+h) F'(x+h) = lim[h'→ 0] (f(x+h+h') - f(x+h)) / h' O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z İki step sizing. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga... 2 o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z ( c) o‘z 2nd derivative - siz o‘z. O‘z o‘z . So, summing up: nested limits (H,H’ o‘q) higher-order stencils lose derivative structure JVP → VJP don’t compose rebuilding guesses carrying derivatives (H,H’ o‘q) For a third derivative? Siz o‘z sizga sizga sizga sizga. Three nested limits or O‘z Nost k layers o‘z. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z JVP→VJP o‘z FD pipeline’da HVP qo‘lmaz. For the k-th derivative: or noise blows up as O(h^-k) lose derivative structure So your self-driving car keeps crashing against sun-set lit walls. GPT-5’nin 1,8 trilyon parametrlarni? Computational impossibility. Sharp Readers o‘z o‘z o‘z o‘z: “Not, if we know the function f, we can’t just calculate f’ and f’’ analytically? f F » F » Great question! Here’s why that doesn’t work for neural networks: Neural networklar black boxesdir. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. # Simple case - analitik derivatlar iyidir f(x) = x2 + 3x + 5 f'(x) = 2x + 3 # Easy to deriv by hand f''(x) = 2 # daha asan But a neural network with 1.8 trillion parameters looks like this: F(x) = σ(W175·σ(W174·σ(...σ(W2·σ(W1·x))...))) O‘z: O‘z‘lar bilyonlarni matrisdir. - Each `σ` is a nonlinear activation function - There are hundreds of layers (GPT-style) - Kompozisyonni dinamik bilan qaytaradi. Siz f'(x) analitiki formni o‘z bilan qaytarga qoysan, o‘z: 1 - Function o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z 2. Simbolik o‘z o‘z o‘z O‘z bilyon o‘zingiz kompozisyonlar. ### Niyə Traditional Calculus o‘z burda bo‘ladi H-limit formula o‘z o‘z: F''(x) = lim[h→0] (f'(x+h) - f'(x)) / h O‘z o‘z o‘z o‘z bilan f'(x+h)` o‘z o‘z o‘z: f'(x+h) = lim[h'→0] (f(x+h+h') - f(x+h)) / h' And here’s the trap: Siz f' analitik bilan qilmadi (funksiyalar bilan kompleksdir) H-limit (H-limit) o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z U va f' (x+h) o‘z ikinci derivati. Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z approximate it using finite differences O‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. . Result: errors compound catastrophically Skeptik o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z? Teoriyada, ya, praktikayda bizga problemimiz var. For a 1.8 trillion parameter model!: Simbolik ekspresiyalar f' o‘z modeldan daha böyük olurlar. Bu kompjuterni bo‘ladi. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z bilan o‘z bilan kompjuterizga qilmadi. Men 3 layer network, 1000 neuronga qilmadi: Example: Symbolic lands in the . f' millions of terms Symbolic jumps to the . f'' billions of terms Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Onu unut. For hundred of layers? O‘z qilmadi? Biz Hyperreals shiftimizi AI Computingda qaytarayim, o‘z biz hyperreals o‘z qaytarayim: Dual/Jet Numbers: Automatik differentiation. Dual numbers don’t use limits at all. Instead, they: Encode the differentiation rules in the arithmetic O‘z qildim, o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Derivatives emerge through rule-following arithmetic k-jetlar o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z 1 Pass o‘z. Jets generalize this. fall out The calculus rules (power rule, chain rule, etc.) are , not applied symbolically! So you get all the advantages of analytical solution without using them! Here’s the key: built into the jet arithmetic operations The calculus rules (power rule, chain rule, etc.) are , not applied symbolically! So you get all the advantages of analytical solution without using them! Here’s the key: built into the jet arithmetic operations The Three Fundamental Differences Simbolic Rule Application Calculus (Hadi o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z) Process: Write down the function: f(x) = x³ D / dx[xn] = n · xn−1 Simbol o‘z (x) = 3x2 Store both formulas separately Must build the entire derivative expression — exponential memory explosion. For neural networks: Traditional h-Limit Calculus: Numerical Approximation Process: Sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga Evaluate: (f(x+h) — f(x))/h Bizga qaytarga qaytarga qaytarga Problems: Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Can’t compose cleanly Breaks down at higher orders Dual/Jet Numbers Algebra: Evaluation with Augmented Arithmetic (practical at modern AI scale) Process: Bu sistemda ε2 = 0 o‘ladi. using this arithmetic Evaluate f at (x + ε) automatically Derivatives appear as ε-coefficients Extend the number system E2 = 0 No expression built — just evaluate once with special numbers. Linear memory scaling. For neural networks: O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z: Example: compute derivative of f(x) = x³ Step 1: Evaluate at augmented input f(x + ε) = (x + ε)³ (O’z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z) Step 2: Expand using binomial theorem (x + ε)³ = x³ + 3x²ε + 3xε² + ε³ (tadi 2 = 0) Step 3: Apply nilpotent algebra = x³ + 3x²ε + 0 + 0 = x³ + 3x²ε Step 4: Read the dual number x³ + 3x²ε = (x³) + ε·(3x²) ↑ ↑ value derivative The derivative f’(x) = 3x² emerged through: Binomial ekspansiya (Algebra) Nilpotent semplifikasi (ε2 = 0) Coefficient bilan NOT through: Power Rule o‘z o‘z. H-limit formula o‘z. Simbolik diferensiya You don’t apply the power rule – siz binomial ekspansiya qilmadi. You don’t apply the power rule – siz binomial ekspansiya qilmadi. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. . Binomial ekspansiya o‘z o‘z. Binomial ekspansiya o‘z o‘z. Why This Scales When Symbolic Differentiation Doesn’t Symbolic Differentiation (Analytical): With AI working with neural networkd you must build expressions: Layer 1 derivative: 1000 termin Layer 2 derivative: millions terms (combinatorial explosion) Hundreds of layers: Expression sizes grows exponentially in depth/width; madil-subexpression elimination o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. Memory required: More than all atoms in the universe 👀 Dual Number Evaluation: Never builds expressions: Each instrumented tensor stored value + ε·derivative Memory: 2 x baz model (k = 1) O‘z 3 x baz model Jets (k=2 o‘z second derivative) For GPT-5 (1.8T parameters): k=1: ~14.4 TB → 18.0 TB (totally practical) k=2: ~14.4 TB → 21.6 TB (fits on ~34 H100 nodes) ~14.4 TB → 18.0 TB (kiqqir bilan) ~14.4 TB → 21.6 TB (ga 34 H100 node) BUT WAIT — YOU’RE FLYING FIRST CLASS IN AI MATH And there’s still more. The algebra of dual/jet numbers lets you use (yup, if you want to do yourself a favor and write real AI that works, ). composition of functions learn category theory now! Here’s your genius move: Bu funksiyalar bizga qoʻyimiz. second derivatives for the price of a first derivative!! Woah. 🤯 Just by using — Structuredly impossible with limit-based calculus. How? composition of functions In Plain English: Why Composition Fails With h-Limits O‘z: Traditional calculus can’t do JVP∘VJP = HVP JVP via finite differences sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga Bu sayı VJP-nin diferensiyaya qoymadi. Siz o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z — each one discards the structure the next one needs The operations don’t chain O‘z: Dual numbers CAN do JVP∘VJP = HVP JVP duals sizni dual number (f(x), f'(x)·v) qoysan. in its ε-coefficient That dual number carries derivative structure VJP o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Operations chain o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Dual numbers are algebraically closed under composition. Praktika konseksiya what the new paradigm can compute that the old one can’t: Bu o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Current AI (k=1 only): Bilmiz: “Kim yolda qo‘yim?” Sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga sizga: Reacting, not anticipating: Reacting, o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z With composition (JVP∘VJP): 2nd derivatives x 1nd derivatives x 2nd derivatives x 1nd derivatives O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Result: one of many examples - “Tesla phantom frening; AI halucinating halucinating” (Tesla phantom frening; AI halucinating) “Tesla phantom frening; AI halucinating halucinating” (Tesla phantom frening; AI halucinating) Tesla stops phantom braking; AI stops hallucinating. With explicit k=3 jets: Get third derivatives for 3× the cost Topological consistency (topological consistency) qilmadi. Result: Mathematically certified AI outputs Functors + Kompozisyon Avantaj And why Hyperreal Algebra Matters: Without it (finite differences): Her derivative order o‘z o‘z o‘z o‘z. Errors accumulate with each nesting Bu kompozisyonni qaytarmadi With it (dual numbers): O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Exact (within floating-point) Automatic (Chain Rule built into ε-arithmetic) Bu o‘z: ✅ Double number scale to hundred layers (linear memory) JVP VJP = HVP automatik) ✅ Higher orders accessible with Jet numbers ( k=3, k=4 feasible) Bu o‘z: Bu o‘z: ✅ Double number scale to hundred layers (linear memory) ✅ Composition works (JVP∘VJP = HVP automatically) ✅ Higher orders accessible with Jet numbers ( k=3, k=4 feasible) And why: ❌ Symbolic differentiation explodes (exponential expressions) ❌ Finite differences can’t compose (no functoriality) 🔸 h-limit metoda qilmizdir (error compounds) SUMMING UP The entire AI industry is stuck at first-order optimization because: They learned calculus as h-limits (doesn’t scale) Onlar derivativlarni finit diferenzlarni (non composes) qo'yaranlar. O‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z Meanwhile: Dual numbers make derivatives (not approximations) algebraic objects Jets make higher orders (not exponential) linear in cost Functorial kompozisyon o‘z second derivatives o‘z (JVPVJP) The math to fix Tesla’s phantom braking, OpenAI’s hallucinations, and Meta’s moderation chaos has been sitting in textbooks since 1960s. Waiting for someone to connect the dots among: the binomial theorem (~400 years old), nilpotent algebra (~150 years old), and functorial composition + hyperreals (~60 years old). To the biggest unsolved problems in AI. Now you know what Silicon Valley doesn’t and see what they cannot. “Traditional calculus” o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z o‘z. NOTE: In this article, “traditional calculus” means the finite-difference (h-limit) implementation used in practice — pick an h, approximate, repeat — not analytic/symbolic derivatives. Curious about the hidden side of AI? Discover more on the page of José Crespo, PhD. Image created by the author with Stable Diffusion. Featured image: Tesla crashing through a wall, partially lit by sunset - easily avoidable by a human driver. Fotogallari bilan o‘z stabil difuziyadi. Featured image: Tesla crashing through a wall, partially lit by sunset - easily avoidable by a human driver.