Piyango Numaralarını Kırın

Benim ülkemde, katılımcıların 37'lik bir havuzdan 6 sayıyı ve 7'lik bir havuzdan başka bir sayıyı seçtiği haftalık bir loto oyunu var. Oyunun ilk kısmına odaklanalım ve 37'lik bir havuzdan bir sayı daha seçmeyi bir kenara bırakalım. 7.

K/N formundaki piyangolar söz konusu olduğunda, burada k, toplam N sayı havuzundan (bizim durumumuzda, 37) istenen seçimlerin sayısıdır (bizim durumumuzda, 6), ortak bir soru şudur: bu sayıların kazanan kombinasyonun parçası olma şansı eşittir.

Bu soruyu araştıralım.

2009'dan 2023'e kadar uzanan 1609 çizimin istatistiklerini web sitelerinden topladım.

Daha sonra CSV dosyasındaki verileri bir nesneye dönüştürdüm:

 { '09/09/2023': [13, 17, 24, 30, 35, 37], '07/09/2023': [7, 17, 19, 25, 35, 37], '05/09/2023': [2, 3, 5, 9, 36, 37], '02/09/2023': [4, 12, 22, 27, 30, 34], '29/08/2023': [6, 8, 15, 19, 26, 31], '26/08/2023': [6, 7, 14, 21, 25, 34], '22/08/2023': [2, 6, 10, 23, 24, 29], ... }

Nesnedeki anahtar, çekilişin tarihine karşılık gelir ve ilişkili değer, söz konusu çizim için kazanan kombinasyon olarak ortaya çıkan sayıların bir dizisidir.

Daha sonra çizimlerden elde edilen tüm sayıları içeren bir dizi oluşturdum:

 numbers = np.array(list(lotto.values())).flatten() [13, 17, 24, 30, 35, 37, 7, 17, 19, 25, 35, 37, 2, 3, 5, 9, 36, ...]

Bunu takiben dizideki her değerin oluşum sayısını (frekans) hesapladım:

 count = np.bincount(numbers)[1:] [268, 256, 257, 242, 255, 273, 247, 277, 260, 267, 289, 294, 271, 239, 254, 255, 263, 243, 246, 271, 265, 254, 252, 243, 291, 271, 258, 264, 275, 258, 251, 244, 263, 256, 267, 251, 264]

Bu sonuçlar 1 sayısının 268 kez, 2 sayısının ise 256 kez çekildiğini vb. göstermektedir.

Piyango sonuçlarındaki sayıların dağılımının nispeten eşit olduğu görülüyor. Bunu daha da doğrulamak için dağılımın düzgünlüğünü doğrulamak amacıyla bir test yapabiliriz.

N ayrı sayının eşolasılığını test etmek için şu yaklaşımı takip edebilirsiniz:

• n piyango çekilişinde her i = 1, ..., N sayısının ortaya çıktığı gözlemlenen frekansı (Oi) hesaplayın.

• Ei = (nk) / N formülünü kullanarak her sayı için beklenen sayıları (Ei) hesaplayın; burada n, piyango çekilişlerinin toplam sayısıdır, k, her çekilişte seçilen sayıların sayısıdır (bu durumda, 6) ve N, olası sayıların toplam sayısıdır (bu durumda 37).

• Gözlemlenen sayıları (Oi) beklenen sayımlarla (Ei) karşılaştırmak için Pearson istatistiğini veya ki-kare istatistiğini kullanın. Pearson istatistiğinin formülü genellikle şu şekilde ifade edilir:

• Gözlemlenen ve beklenen sayıları kullanarak ki-kare istatistiğini hesaplayın.

• Hesaplanan ki-kare değerinin istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek için ki-kare testi gibi istatistiksel bir test gerçekleştirin. Bu, sayıların dağılımının eş olasılık altında beklenenden önemli ölçüde farklı olup olmadığını değerlendirmenize yardımcı olacaktır.

  
  

Hesaplanan ki-kare değeri istatistiksel olarak anlamlı değilse, bu, sayıların makul derecede eşit bir şekilde dağıldığını gösterir ve bu da eş olasılık hipotezini destekler. Bununla birlikte, eğer X^2 değeri anlamlı ise bu, eş olasılıktan bir sapmaya işaret eder.

Sayıların eşolasılığı için ki-kare testini gerçekleştirecek bir fonksiyon oluşturalım:

 def chi2(data, size, expect, p_value = 0.05): pl = size * 1/expect df = expect - 1 x2_crit_1 = stats.chi2.ppf(p_value, df) x2_crit_2 = stats.chi2.ppf(1 - p_value, df) x2 = 0 for i in range(expect): x2 += ((data[i] - pl) ** 2)/pl accepted = x2_crit_1 < x2 < x2_crit_2 if x2_crit_1 < x2_crit_2 else x2_crit_2 < x2 < x2_crit_1 return x2, accepted

Bu fonksiyon, ki-kare istatistiğinden oluşan diziyi döndürür ve 1 - 2 * p-value olasılığıyla kabul edilen eşolasılığın, yani bu ayrık tekdüze dağılımın uç değerlerinin düşük olasılığa sahip olduğu sonucunu verir.

 N = 37 chi2(count, len(numbers), N) (25.183136523720748, True)

Elbette, eş olasılık için ki-kare testini gerçekleştirmek üzere SciPy kütüphanesindeki yerleşik işlevselliği kullanabilirsiniz:

 from scipy import stats chi2_statistic, p_value = stats.chisquare(count) (25.18313652372074, 0.9115057832606053)

Çiftlerden başlayarak bu sayıların kombinasyonlarını inceleyelim:

 from itertools import combinations pairs = list(combinations(range(1, N), 2))

Bu adımı takiben, bu çiftlerin oluşumlarını izleyen bir 2 boyutlu matris oluşturuyoruz:

 pairs_count = np.zeros([N] * 2, dtype=int) for pair in pairs: for draw in lotto.values(): if pair[0] in draw and pair[1] in draw: pairs_count[pair[0]][pair[1]] += 1 pairs_count = pairs_count[1:, 1:] 

Bu, (a, b) ve (b, a) çiftlerinin eşdeğer olduğu gerçeğini açıkladığı için üçgen bir matris oluşturur ve biz yalnızca (a, b) çiftlerinin oluşumlarını sayarız.

Fonksiyonum şunu veriyor:

 counts = pairs_count.flatten() counts = counts[counts > 0] chi2(counts, sum(counts), len(counts)) (589.2721893491138, True)

ve SciPy şunları sağlar:

 chi2_statistic, p_value = stats.chisquare(counts) (589.2721893491124, 0.8698507423203673)

Üçüzleri düşünmeye ne dersiniz:

 comb3 = list(combinations(range(1, N), 3)) comb3_count = np.zeros([N] * 3, dtype=int) for comb in comb3: for draw in lotto.values(): contains = comb[0] in draw and comb[1] in draw and comb[2] in draw if contains: comb3_count[comb[0]][comb[1]][comb[2]] += 1 comb3_count = comb3_count[1:, 1:, 1:] counts = comb3_count.flatten() counts = counts[counts > 0] chi2(counts, sum(counts), len(counts)) (6457.575829383709, False)

Muhtemelen matrisin yüksek seyrekliğinden dolayı bir şeyler ters gitti. Ki-kare değeri, alt kritik ki-kare eşiğinin altına düşer:

 6457.575829383709 < 6840.049842653838

Ancak SciPy kullanıldığında sonuç şöyledir:

 chi2_statistic, p_value = stats.chisquare(counts) (6457.575829383886, 0.9999997038479482)

Şimdi en sık çekilen sayıyı belirleyelim:

 count.argmax() or list(count).index(max(count)) 11

Hemen sonuca varmayalım. Bu sayının yıllar içinde nasıl geliştiğini inceleyebiliriz:

 year_result = dict() for year in range(2009, 2024): new_dict = {k:v for (k,v) in lotto.items() if str(year) in k} year_result[year] = np.bincount(np.array(list(new_dict.values())).flatten())[1:].argmax() { 2009: 16, 2010: 10, 2011: 11, 2012: 24, 2013: 32, 2014: 34, 2015: 21, 2016: 25, 2017: 5, 2018: 10, 2019: 24, 2020: 11, 2021: 12, 2022: 14, 2023: 11 }

Veya alternatif olarak zaman içindeki kümülatif değişiklikleri analiz edebiliriz:

 year_result = dict() arr = [] for year in range(2009, 2024): new_dict = {k:v for (k,v) in lotto.items() if str(year) in k} arr += list(np.array(list(new_dict.values())).flatten()) year_result['2009 - ' + str(year) if year > 2009 else str(year)] = np.bincount(arr)[1:].argmax() { '2009': 16, '2009 - 2010': 10, '2009 - 2011': 11, '2009 - 2012': 20, '2009 - 2013': 20, '2009 - 2014': 20, '2009 - 2015': 34, '2009 - 2016': 20, '2009 - 2017': 10, '2009 - 2018': 10, '2009 - 2019': 10, '2009 - 2020': 10, '2009 - 2021': 10, '2009 - 2022': 24, '2009 - 2023': 11 }

Son olarak aynı çizimlerin meydana gelip gelmediğini de araştırabiliriz:

 lotto_counts = {} for k, v in lotto.items(): v_str = str(v) if v_str in lotto_counts: lotto_counts[v_str] += [k] else: lotto_counts[v_str] = [k] result = {k: v for k, v in lotto_counts.items() if len(lotto_counts[k]) > 1} { '[13, 14, 26, 32, 33, 36]': ['16/10/2010', '21/09/2010'] }

Bu olayların neredeyse arka arkaya gerçekleştiğini belirtmek eğlenceli.

Piyango verileri dünyasına yolculuğumuzu tamamlarken, rakamlar ve olasılıklar arasında çılgın bir yolculuğa çıktık. Çiftlerden ve üçlülerden en popüler sayıları tespit etmeye kadar bazı ilginç bilgileri ortaya çıkardık.

Piyangolar tamamen öngörülemezlik ile ilgilidir, ancak perdenin arkasına bakıp bu oyunların tuhaflıklarını keşfetmek eğlencelidir. İster oyuncu ister meraklı bir gözlemci olun, sayılar dünyasının her zaman bir veya iki sürprizi vardır.