Разложения схем Гильберта: Аннотация и введение

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Предыстория тропической перспективы
• Расширенная конструкция
• Стабильность GIT
• Перспектива стека
• Канонический стек модулей
• Рекомендации

Абстрактный

Целью данной статьи является расширение расширенной конструкции вырождения Ли и Ву для получения хороших вырождений схем Гильберта точек на полустабильных семействах поверхностей, а также обсуждение альтернативных условий устойчивости и параллелей с конструкцией GIT Гульбрандсена, Галле и Хулек и логарифмические конструкции схем Гильберта Молика и Ранганатана. Мы строим хорошее вырождение схем Гильберта точек в виде правильного стека Делиня-Мамфорда и показываем, что оно представляет собой геометрически значимый пример конструкции, возникшей из работ Молика и Ранганатана.

1. Введение

Исследование пространств модулей — центральная тема алгебраической геометрии; среди пространств модулей схемы Гильберта составляют важный класс примеров. Они широко изучались в геометрической теории представлений, перечислительной и комбинаторной геометрии, а также как два основных примера гиперкелеровых многообразий, а именно схемы Гильберта точек на поверхностях K3 и обобщенные многообразия Куммера. Важным направлением в этой области является понимание локального пространства модулей таких объектов и, в частности, способов, с помощью которых вырождению гладких схем Гильберта можно придать модульную компактификацию.

Например, мы можем рассмотреть геометрию относительных схем Гильберта на вырождении, центральный слой которых имеет особенности нормального пересечения. Тогда мы можем задаться вопросом, как можно разрешить особенности такой схемы Гильберта, сохраняя при этом некоторые ее свойства, или как ее можно выразить как хорошее пространство модулей. Тогда это становится проблемой компактификации относительно границы, заданной особым местом. Исторически важным методом, используемым в задачах модулей и компактификации, была геометрическая теория инвариантов (GIT). Совсем недавно работа Маулика и Рангантана [MR20] исследовала, как методы тропической и логарифмической геометрии могут использоваться для решения таких вопросов для схем Гильберта. Это основано на предыдущей работе Ли [Li13] и Ли и Ву [LW15] по расширенным вырождениям для схем Quot и работе Ранганатана [Ran22b] по логарифмической теории Громова-Виттена с расширениями.

Короче говоря, цель данной статьи — предоставить явные примеры таких компактификаций и исследовать связи между этими методами.

1.1 Базовая настройка

Как отмечено в разделе 1.3, этот тип конструкции можно применить для построения вырождений III типа схем Гильберта точек на поверхностях K3. Это будет описано в дальнейшей работе.

1.2 Предыдущая работа в этой области

Вслед за [LW15] Гулбрандсен, Галле и Хулек [GHH19] представляют GIT-версию приведенной выше конструкции в случае гильбертовых схем точек. Они строят явное расширенное вырождение, т. е. модифицированное семейство на большей базе, слои которого соответствуют раздутиям компонент X0 в семействе. Они представляют линеаризованное линейное расслоение на этом пространстве для действия естественного тора и могут показать, что в этом случае критерий Гильберта-Мамфорда упрощается до чисто комбинаторного критерия. Используя это, они накладывают условие устойчивости GIT, которое восстанавливает трансверсальные нульмерные подсхемы Li и Wu, и доказывают, что соответствующий стек-фактор изоморфен таковому у Li и Wu. Поводом для данной работы было построение вырождений типа II схем Гильберта точек на поверхностях K3. Действительно, хорошие вырождения типа II поверхностей К3 представляют такие особенности в специальном слое, представляющем собой цепочку поверхностей, пересекающихся по гладким кривым.

Существует более поздняя работа Маулика и Ранганатана [MR20], основанная на более ранних идеях Ранганатана [Ran22b] и результатах Тевелева [Tev07], в которой они используют методы логарифмической и тропической геометрии для построения соответствующих разложений X ! C. Это позволяет им определять стеки модулей поперечных подсхем, начиная со случая, когда X0 — любое простое многообразие нормальных пересечений. Они показывают, что построенные таким образом стопки являются собственными и Делиня-Мамфорда. Более подробную информацию об этом см. в разделе 2.2.

1.3 Основные результаты

Пусть Х! C — полустабильное вырождение поверхностей. В следующих разделах мы предлагаем явные конструкции расширенных вырождений и стопок нульмерных подсхем стабильной длины m на этих расширенных семействах, которые, как мы показываем, обладают хорошими свойствами.

Возможность выбора различных расширений. В данной статье мы обсуждаем лишь конкретный выбор модели для схемы точек Гильберта, которую мы называем стеком канонических модулей. В предстоящей работе мы исследуем, как эти методы можно расширить для описания других вариантов моделей. Мы рассмотрим подход, который аналогичен работе Кеннеди-Ханта над логарифмическими схемами Квот [Ken23], а также восстановим некоторые геометрически значимые варианты стеков модулей, возникающие на основе методов Молика и Ранганатана [MR20]. В частности, мы обсудим, как компоненты трубки и стабильность Дональдсона-Томаса влияют на картину в этих более общих случаях (определения см. в разделе 2.2).

1.4 Организация

В разделе 2 мы начнем с ознакомления с логарифмической и тропической геометрией, а также с обзора работ Молика и Ранганатана из [MR20], к которым мы будем обращаться в последующих разделах. Затем в разделе 3 мы излагаем расширенную конструкцию схем, а в разделе 4 обсуждаем, как на этой конструкции могут быть определены различные условия устойчивости GIT. В разделе 5 мы описываем соответствующий стек разложений и семейство над ним, основываясь на построенных нами расширенных вырождениях в виде схем. В разделе 6 мы распространили наши условия устойчивости на этот случай. Затем мы показываем, что стопки определенных стабильных объектов обладают желаемыми свойствами Делиня-Мамфорда и правильности.

Благодарности . Я хотел бы поблагодарить Грегори Шанкарана за всю его поддержку на протяжении всего проекта. Благодарю также моих докторских экзаменаторов Аластера Кроу и Дхрува Ранганатана за их многочисленные полезные комментарии. Эта работа была проведена при финансовой поддержке Студенческой премии Университета Бата. Я также благодарен Патрику Кеннеди-Ханту и Тибо Пуаре за множество интересных бесед.