Мутации некоммутативных крепантных резолюций: обмены и мутации модифицирующих модулей

Таблица ссылок

• Аннотация и введение
• Обмены и мутации модифицирующих модулей
• Квазисимметричное представление и коэффициент GIT
• Основные результаты
• Приложения к полным пересечениям Калаби-Яу
• Приложение A. Матричные факторизации
• Приложение Б. Список обозначений
• Рекомендации

2. Обмены и мутации модифицирующих модулей.

2.1. Некоммутативное крепантное разрешение. В настоящем разделе напоминаются определения некоторых основных понятий, изучаемых в данной статье.

(1) Рефлексивный R-модуль M называется модифицирующим модулем, если EndR(M) является (максимальным) R-модулем Коэна-Маколея.

(2) Будем говорить, что рефлексивный модуль M дает некоммутативную крепантную резольвенту (=NCCR) Λ = EndR(M), если M модифицирующий модуль и алгебра Λ имеет конечную глобальную размерность.

Замечание 2.4. Обратите внимание, что наше определение NCCR отличается от определения в [Van3] или [IW1]. Однако если R d-sCY, наше определение эквивалентно другим определениям. См. [Ван3, лемма 4.2] или [IW1, лемма 2.23].

из K ∈ addL такой, что индуцированный морфизм α ◦ (−): Hom(N, K) → Hom(N, M) сюръективен. Если L = N, мы просто называем α правой (addL)-аппроксимацией M. Правая (add L)N - аппроксимация α: K → M M называется минимальной, если любой эндоморфизм φ ∈ End(K), удовлетворяющий α◦φ = α — автоморфизм, и мы говорим, что α приведено, если любое прямое слагаемое K′ группы K не содержится в Ker(α). Заметим, что если правая аппроксимация минимальна, то она редуцирована, а в случае, когда R полностью локально, справедливо и обратное.

Определение 2.6. Пусть R — нормальный d-sCY и M, N, L ∈ ref R.

Лемма 2.7. Обозначения такие же, как выше

(1) Если L ′ ∈ addL, существует включение

что остается верным и при ограничении сокращенного обмена.

(2) Если N′ ∈ add N, существует включение

что остается верным и при ограничении сокращенного обмена.

(3) Для другой полной подкатегории S ′ ⊆ ref R существует включение

Если R полностью локально, аналогичное включение справедливо и для приведенных замен.

Доказательство . (1), (2) и первое утверждение в (3) очевидны. Второе утверждение в (3) следует из того, что если R полно локально, то две аппроксимации α: K → M и α′ : K′ → M′ редуцируются тогда и только тогда, когда α ⊕ α ′ : K ⊕ K′ → M ⊕ M′ редуцируется.

Доказательство . Предположим, что Hom(N, M ⊕ N) является последовательностью Коэна-Маколея, и рассмотрим точную последовательность

0 → F Кер α → FK → FM → 0.

Теперь применение функтора Hom(−, FR) к этой последовательности вместе с рефлексивной эквивалентностью доказывает, что двойственная последовательность

0 → M∗ → K∗ → (Ker α)

это точно.

0 → Hom(FM, FN) → Hom(FK, FN) → Hom(F Ker α, FN) → 0

осталось быть точным. Поскольку все модули в исходной последовательности рефлексивны, рефлексивная эквивалентность и двойственность дают изоморфизм

и подобные изоморфизмы для K и Ker α, из которых следует точность последовательности

0 → Hom(N∗, M∗) → Hom(N∗, K∗) → Hom(N∗,(Ker α)∗) → 0.

Таким образом, двойственный морфизм

K∗ → (Ker α)∗

является правой (добавьте L∗)N∗ -аппроксимацией с ядром M∗, что и доказывает первое утверждение. Второе утверждение следует из аналогичного рассуждения.

Ниже говорится, что замена прямого слагаемого модифицирующего модуля в хороших ситуациях дает новый модифицирующий модуль.

Лемма 2.10. Пусть M ∈ ref R. Имеет место следующая эквивалентность.

M ∈ CM R ⇐⇒ M∗ ∈ CM R

Доказательство. Мы можем предположить, что R локально. Поскольку M рефлексивно, достаточно указать направление (⇒). Поскольку R горенштейново, его инъективная размерность конечна. Таким образом, результат следует из [BH, Proposition 3.3.3 (b)].

Лемма 2.11. Пусть R — горенштейново нормальное кольцо и M, N ∈ ref R. Тогда

Доказательство . Достаточно доказать направление (⇒). Предположим, что Hom(M, N) ∈ CM R. Тогда из леммы 2.10 следует, что Hom(M, N) ∗ ∈ CM R. Но по лемме [IW1, лемма 2.9] существует изоморфизм Hom(M, N) ∗ ∼ = Hom(N, M), что показывает, что Hom(N, M) ∈ CM R.

Доказательство для случая m < 0 аналогично.

Замечание 2.13. Поскольку правая аппроксимация, как правило, не уникальна, равно как и мутация вправо/влево. Однако правая/левая мутация уникальна с точностью до аддитивного замыкания [IW1, лемма 6.2], и если R полностью локально, минимальные мутации уникальны с точностью до изоморфизма.

Теорема 2.14 ([IW1, предложение 6.5, теорема 6.8, теорема 6.10]). Пусть M ∈ ref R — модифицирующий R-модуль.

2.3. Наклонные связки и мутации. В этом разделе обсуждаются наклонные расслоения над алгебраическими стопками. Мы начнем с напоминания некоторых основных фактов о производных категориях алгебраических стеков.