Este artigo não está relacionado ao desenvolvimento de produção, mas diz respeito à programação. Discutirei a Programação Dinâmica (DP) e como usar a experiência anterior em computação de maneira eficaz. Espero que você ache interessante.  Introdução à Programação Dinâmica  O termo Programação Dinâmica foi   pela primeira vez pelo famoso matemático americano, um dos maiores especialistas em tecnologia da computação, Richard Bellman, na década de 1950. A Programação Dinâmica (DP) é um método de resolver tarefas complexas, dividindo-as em subproblemas menores.  usado  O tipo de problemas que o DP pode resolver deve atender a dois critérios:    . A programação dinâmica significa que a solução para subproblemas menores pode ser usada para resolver o problema inicial. A subestrutura ótima é a principal característica do paradigma “Dividir para Conquistar”. 1. Subestrutura ideal  Um exemplo clássico de implementação é o algoritmo merge sort, no qual recursivamente dividimos o problema nos subproblemas mais simples (matrizes de tamanho 1), após os quais fazemos cálculos com base em cada um deles. Os resultados são usados para resolver a próxima camada (subproblemas maiores) até que a camada inicial seja alcançada.    . Na ciência da computação, diz-se que um problema tem subproblemas sobrepostos se o problema puder ser dividido em subproblemas que são reutilizados várias vezes. Em outras palavras, executar o mesmo código com os mesmos dados de entrada e os mesmos resultados. Um exemplo clássico desse problema é o cálculo de um N-ésimo elemento em uma sequência de Fibonacci, que veremos a seguir. 2. Subproblemas sobrepostos  Poderíamos dizer que DP é um caso especial do uso do paradigma Dividir e Conquistar, ou uma versão mais complexa dele. O padrão é adequado para resolver tarefas que envolvem combinatória, onde um grande número de combinações diferentes é calculado, mas a quantidade N de elementos é frequentemente monótona e idêntica.  Nos problemas de subestrutura ótima e subproblemas sobrepostos, temos numerosos cálculos e operações repetidas, se aplicarmos uma abordagem de força bruta. DP nos ajuda a otimizar a solução e evitar a duplicação da computação usando duas abordagens principais: memoização e tabulação:    é implementada por meio de recursão. Uma tarefa é dividida em subproblemas menores, seus resultados são armazenados na memória e combinados para resolver o problema original por meio do uso repetido. 1. A memorização (abordagem de cima para baixo)    esta abordagem usa memória de pilha por meio de chamadas de métodos recursivos Contras:    Flexibilidade para tarefas de DP. Prós:    é implementada usando um método iterativo. Os subproblemas do menor ao inicial são calculados sucessivamente, iterativamente. 2. A tabulação (abordagem bottom-up)    gama limitada de aplicação. Esta abordagem requer uma compreensão inicial de toda a sequência de subproblemas. Mas em alguns problemas isso não é viável. Contras:    uso eficiente de memória, pois tudo é executado em uma única função. Prós:  A teoria pode parecer tediosa e incompreensível — vejamos alguns exemplos.  Problema: Sequência de Fibonacci  Um exemplo clássico de DP é calcular um N-ésimo elemento em uma sequência de Fibonacci, onde cada elemento é a soma dos dois anteriores, e o primeiro e o segundo elementos são iguais a 0 e 1.  Por hipótese, focamos inicialmente na natureza da subestrutura ótima, pois, para calcular um valor, precisamos encontrar o anterior. Para calcular o valor anterior, precisamos de determinar aquele que veio antes dele e assim por diante. A natureza das subtarefas sobrepostas é ilustrada no diagrama abaixo.  Para esta tarefa, examinaremos três casos:  Abordagem direta: quais são as desvantagens?  Uma solução otimizada usando memoização  Uma solução otimizada usando tabulação  Abordagem direta/de força bruta  A primeira coisa que você pode pensar é inserir a recursão, somar os dois elementos anteriores e fornecer o resultado.   /** * Straightforward(Brute force) approach */ fun fibBruteForce(n: Int): Int { return when (n) { 1 -> 0 2 -> 1 else -> fibBruteForce(n - 1) + fibBruteForce(n - 2) } }  Na tela abaixo, você pode ver uma pilha de chamadas de função, para calcular o quinto elemento da sequência.   Observe que a função   é chamada cinco vezes e   três vezes. Funções com uma assinatura, com os mesmos parâmetros, são iniciadas repetidamente e fazem a mesma coisa. Quando o número N aumenta, a árvore aumenta, não linearmente, mas exponencialmente, o que leva a uma duplicação colossal de cálculos. fib(1) fib(2)   Análise Matemática:    O (2n), Complexidade de tempo:    O(n) -> proporcional à profundidade máxima da árvore recursiva, pois este é o número máximo de elementos que podem estar presentes na pilha de chamadas de função implícitas. Complexidade do Espaço:    Essa abordagem é extremamente ineficiente. Por exemplo, são necessárias 1.073.741.824 operações para calcular o 30º elemento. Resultado:  Memoização (abordagem de cima para baixo)  Nesta abordagem, a implementação não é muito diferente da solução de “força bruta” anterior, exceto a alocação de memória. Que seja a variável memo, na qual coletamos os resultados dos cálculos de qualquer função fib() concluída em nossa pilha.   Deve-se notar que teria sido suficiente ter um array de inteiros e referir-se a ele por índice, mas, por uma questão de clareza conceitual, foi criado um mapa hash.   /** * Memoization(Top-down) approach */ val memo = HashMap<Int, Int>().apply { this[1] = 0 this[2] = 1 } fun fibMemo(n: Int): Int { if (!memo.containsKey(n)) { val result = fibMemo(n - 1) + fibMemo(n - 2) memo[n] = result } return memo[n]!! }  Vamos nos concentrar novamente na pilha de chamadas de função:   A primeira função concluída que grava o resultado no memorando é a destacada   . Ele retorna o controle para o   destacado. fib(2) fib(3)  O   destacado encontra seu valor após somar os resultados das chamadas   e   , insere sua solução no memorando e retorna o controle para   . fib(3) fib(2) fib(1) fib(4)  Chegamos ao estágio de reutilização da experiência anterior - quando o controle é retornado para   , a chamada   aguarda sua vez nele.   por sua vez, em vez de chamar (   ), usa toda a solução finalizada do memorando e a retorna imediatamente. fib(4) fib(2) fib(2) fib(1) + fib(0)    é calculado e retorna o controle para   , que só precisa iniciar   . Na última analogia,   retorna imediatamente um valor do memorando sem cálculos. fib(4) fib(5) fib(3) fib(3)  Podemos observar uma redução no número de chamadas de funções e cálculos. Além disso, quando N aumenta, haverá exponencialmente menos reduções.   Análise Matemática:   Complexidade de tempo: O(n)   Complexidade Espacial: O(n)    há uma diferença clara na complexidade assintótica. Esta abordagem reduziu-o a linear no tempo, em comparação com a solução primitiva, e não o aumentou na memória. Resultado:  Tabulação (abordagem de baixo para cima)  Conforme mencionado acima, esta abordagem envolve cálculo iterativo de um subproblema menor para um subproblema maior. No caso de Fibonacci, os menores “subproblemas” são o primeiro e o segundo elementos da sequência, 0 e 1, respectivamente.  Sabemos bem como os elementos se relacionam entre si, o que é expresso na fórmula:   . Como conhecemos os elementos anteriores, podemos facilmente calcular o próximo, o seguinte e assim por diante. fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2)  Ao somar os valores que conhecemos, podemos encontrar o próximo elemento. Implementamos esta operação ciclicamente até encontrarmos o valor desejado.   /** * Tabulation(Bottom-up) approach fun fibTab(n: Int): Int { var element = 0 var nextElement = 1 for (i in 2 until n) { val newNext = element + nextElement element = nextElement nextElement = newNext } return nextElement }   Análise Matemática:   Complexidade de tempo: O(n)   Complexidade Espacial: O(1)    Esta abordagem é tão eficaz quanto a memoização em termos de velocidade, mas utiliza uma quantidade constante de memória. Resultado:  Problema: Árvores Binárias Únicas  Vejamos um   mais complexo: precisamos encontrar o número de todas as árvores binárias estruturalmente únicas que podem ser criadas a partir de N nós. problema  Uma   é uma estrutura de dados hierárquica, na qual cada nó possui no máximo dois descendentes. Como regra geral, o primeiro é chamado de nó pai e tem dois filhos – o filho esquerdo e o filho direito. árvore binária  Vamos supor que precisamos encontrar uma solução para N = 3. Existem 5 árvores estruturalmente únicas para os três nós. Podemos contá-los em nossa cabeça, mas se o N for aumentado, as variações aumentariam imensamente e seria impossível visualizá-las em nossa cabeça.   Esta tarefa poderia ser atribuída à combinatória. Vamos descobrir quais combinações podem ser formadas e como podemos encontrar um padrão para sua formação.  Cada árvore começa no nó superior (vértice da árvore). A árvore então se expande em profundidade.  Cada nó é o início de uma nova árvore filha (subárvore), conforme mostrado na tela. A subárvore esquerda é verde e a direita é vermelha. Cada um tem seu próprio vértice.   Vejamos um exemplo de tarefa, onde N = 6 no nível conceitual. Chamaremos nossa   . função de cálculo numOfUniqueTrees(n: Int)  No nosso exemplo, são dados 6 nós, um dos quais, de acordo com o princípio mencionado anteriormente, forma o vértice da árvore, e os outros 5 — o restante.   A partir de agora, interagimos com os restantes nós. Isso pode ser feito de várias maneiras. Por exemplo, usando todos os cinco nós para formar a subárvore esquerda ou enviando todos os cinco para a subárvore direita. Ou dividindo os nós em dois – 2 à esquerda e 3 à direita (veja a tela abaixo), temos um número limitado dessas variantes.   Para alcançar o resultado   , precisamos considerar todas as variantes para distribuição de nossos nós. Eles são mostrados na tabela:  numOfUniqueTrees(6)  A tabela mostra 6 distribuições diferentes dos nós. Se descobrirmos quantas árvores únicas podem ser geradas para cada distribuição e somarmos, alcançaremos nosso resultado final.   Como encontrar o número de árvores únicas para distribuição?   Temos dois parâmetros: Nós esquerdos e Nós direitos (coluna esquerda e direita da tabela).      . O resultado será igual a: numOfUniqueTrees(leftNodes) * numOfUniqueTrees(rightNodes)   Por que? À esquerda teremos X árvores únicas e, para cada uma, poderemos colocar Y variações únicas de árvores à direita. Multiplicamos isso para obter o resultado.  Então, vamos descobrir as variações para a primeira distribuição (5 à esquerda, 0 à direita)    , pois não temos nós à direita. O resultado é   — o número de subárvores exclusivas à esquerda com uma direita constante.  numOfUniqueTrees(5) * numOfUniqueTrees(0) numOfUniqueTrees(5)  Calculando   . numOfUniqueTrees(5)  Agora temos o menor subproblema. Estaremos operando com ele como fizemos com o maior. Nesta fase, a característica das tarefas DP é clara – subestrutura ótima, comportamento recursivo.  Um nó (o nó verde) é enviado ao vértice. Distribuímos os (quatro) nós restantes de forma análoga à experiência anterior (4:0), (3:1), (2:2), (1:3), (0:4).  Calculamos a primeira distribuição (4:0). É igual a   por analogia anterior.  numOfUniqueTrees(4) * numOfUniqueTrees(0) -> numOfUniqueTrees(4)  Calculando   . Se alocarmos um nó ao vértice, teremos 3 restantes. numOfUniqueTrees(4)  Distribuições (3:0), (2:1), (1:2), (0:3).  Para 2 nós existem apenas duas árvores binárias exclusivas, para 1 — uma. Anteriormente já mencionamos que existem 5 variações de árvores binárias únicas para três nós.  Como resultado — distribuições(3:0), (0:3) são iguais a 5, (2:1), (1:2) — 2. Se somarmos 5 + 2 + 2 + 5, obtemos 14 .numOfUniqueTrees   = 14. numOfUniqueTrees(4)  Vamos inserir o resultado do cálculo na variável memo de acordo com a experiência de memoização. Sempre que precisarmos encontrar variações para quatro nós, não as calcularemos novamente, mas reutilizaremos a experiência anterior.  Voltemos ao cálculo (5:0), que é igual à soma das distribuições (4:0), (3:1), (2:2), (1:3), (0:4). Sabemos que (4:0) = 14. Vamos voltar ao memorando, (3:1) = 5, (2:2) = 4 (2 variações à esquerda * 2 à direita), (1:3) = 5, (0:4) = 14. Se somarmos isso, obtemos 42,   = 42. numOfUniqueTrees(5)  Voltemos ao cálculo de   , que é igual à soma das distribuições. numOfUniqueTrees(6)  (5:0) = 42, (4:1) = 14, (3:2) =10 (5 à esquerda * 2 à direita), (2:3) = 10, (1:4) = 14, (0: 5) = 42. Se somarmos isso, obtemos 132,   . numOfUniqueTrees(5) = 132  Tarefa resolvida!  Resultado: observemos os subproblemas sobrepostos na solução onde N = 6. Na solução direta,   seria chamado 18 vezes (tela abaixo). Com o aumento de N, as repetições do mesmo cálculo seriam muito maiores.  numOfUniqueTrees(3)  Destaco que o número de árvores únicas para (5 à esquerda, 0 à direita) e (0 à esquerda, 5 à direita) será o mesmo. Apenas em um caso eles estarão à esquerda e no outro à direita. Isso também funciona para (4 à esquerda, 1 à direita) e (1 à esquerda, 4 à direita).  A memorização, como abordagem de programação dinâmica, permitiu otimizar a solução para uma tarefa tão complexa.  Implementação     class Solution { fun calculateTees(n: Int, memo:Array<Int?>): Int { var treesNum = 0 if(n < 1) return 0 if(n == 2) return 2 if(n == 1) return 1 if(memo[n]!=null) return memo[n]!! for (i in 1..n){ val leftSubTrees = calculateTees( i - 1, memo) val rightSubTrees = calculateTees(n - i, memo) treesNum += if(leftSubTrees>0 && rightSubTrees>0){ leftSubTrees*rightSubTrees } else leftSubTrees+leftSubTrees } memo[n] = treesNum return treesNum } }  Conclusão  Em alguns casos, resolver tarefas por meio de Programação Dinâmica pode economizar muito tempo e fazer o algoritmo funcionar com máxima eficiência.  Obrigado por ler este artigo até o fim. Ficarei feliz em responder suas perguntas.

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